2019-2020学年广东省东莞市东华高中高一(上)期中数学试卷(含答案解析)

1、D. 1,3, 5)D. y = /后D. y = ln(x - 1)B. 160,+oo)D. 02019-2020学年广东省东莞市东华高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1 .若集合/ = xx = 5 2n,n G N, B = xx > 1,则力 A B =()A. 0B. 3C. 3,52 .下列函数中哪个与函数y = 口/相同()A. y = x-2xB, y = -x-2xC. y = -x2x33 .下列函数中，在区间(1,+8)上为减函数的是()A y = ±B. y= 2X1C. y =- 14 .已知函数M%） = 4/

2、丘一8在5,20上是单调函数，则k的取值范围是（）A. (-co, 40C. (-00,40 U 160,+oo)第9页，共14页5.已知a =(六产A. a < b < cni Q，b = 20192019*B. c <b < ac=】og-2019,则(2019'C. c < a < bD. b < c < a6.函数f（x）=： 一 1gx的零点所在的区间是（）A. (8,9)B. (7,8)C.(9,10)7.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于等，则该圆锥的体积为（ 3A. 167rB. 87r8.正方体0BCD一力/iQD

3、i中，朋、N分别为棱BC和棱Cq的中点，则 异面直线A1cl和MN所成的角力（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.已知logVI,那么a的取值范围（ A. 0 < a < !已知函数f(x)=A. -10D. 0 < a < :或q > 1ax3 +bx + 8,且f(-2) = 10,则f(2)的值是()B. 6C. 6D. 1011.设偶函数%)满足汽%)=%38。20),则幻f(%-2)>0=()A. xx < -2或x > 4B. xx <。啦 > 4C. xx <

4、; 0或% > 6D. xx < 2或% > 212 .下列函数中，对于任意的满足条件f(x)+f(x) =0的函数是()A 7(%) = %?B. /(%) = sinxC. /(%) = cosxD. /(%) = log2(x2 + 1)二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13 .函数/乃=备 +电(2X + 1)的定义域是 .14 .计算：2log23 + lgV5 + lgV20 =.15 .如图是正方体的展开图，其中直线AB与CO在原正方体中所成角的大小是16 .已知f(x) =g(x) + 2函数.g(x)是定义在R上的奇函数，若"2019) =

5、 2019, /(-2019) =.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17 .全集 U = R,已知集合乂 = X|3<% V 10, N = x|2<%<7(l)MUN, M ClN；(2)图中阴影部分表示的集合.18 .已知函数"幻=1。02三丝，(一1<%< 1)为奇函数，其中为不等于1的常数: 3十X(1)求”的值：(2)若对任意的 W -1,1,恒成立,求小的范围.19 .今年来，网上购物已经成为人们消费的一种趋势，假设某网上商城的某种商品每月的销售量y(单位:千件)与销售价格式单位：元/件)满足关系式：/ =鼻+4a-6)2,其中1

6、VXV6,机为 x-X常数.已知销售价格为4元/件时，每月可售出20千件.(1)求利的值；(2)假设每件商品的进价为1元，试确定销售价格x的值，使该商城每月销售该商品所获得的利润最大.(结果保留一位小数).20 .设 a 为实数,函数f(%) = (% 。> + |% q|-a(a 1).(1)若f(0)Kl,求的取值范围：(2)讨论/>(X)的单调性；(3)当a >2时，讨论f (%)+ |幻在R上的零点个数.21 .如图，在梯形A8CQ中，AB/CD, BC LCD. CD = 2AB = 2施，乙力DC = 45。，梯形绕着直线 A8旋转一周.(i)求所形成的封闭几何体

7、的表面积;(2)求所形成的封闭几何体的体枳.22 .已知函数八» =。2" + 2一%为奇函数.(1)求实数a的值;(2)若对于任意的不等式/(/一1)+/(一)0恒成立，求A的取值范围.答案与解析L答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，是基础题.分别求出集合A, B,由此能求出8.【解答】解：。集合4 = 幻 = 5 2n,n W N,= 5,3, 1, 1, 3 ,B = xx > 1,力n 8 = 3,5.故选：C.2 .答案：B解析：解：因为原函数有意义，所以 <o,所以函数 = 7=团7=云=八中，所以与函 数y = IP相同的函数为y = 八二故

8、选民给出的函数含有根式，先分析其定义域为x40,根式内可以开出-”.本题考查了判断两个函数是否为同一函数，解答的关键是看两个函数的定义域与对应关系是否相同, 属基础题.3 .答案：A解析：解：对于A,函数y =占,在区间(1,+8)上为减函数，满足题意；对于8,函数y = 2“T,在定义域R上是增函数，不满足题意；对于C，函数y = 在定义域1,+8)上是增函数，不满足题意：对于。，函数y = ln(xl),在定义域(1,+8)上是增函数，不满足题意.故选：A.根据题意，判断四个选项中的函数在区间(1,+8)上是否为减函数即可.本题考查了基本初等函数的单调性问题，是基础题目.4 .答案：C解析

9、：【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，考查函数单调性.根据二次函数的图象和性质，若函数h(x) = 4 Lx8在5,20上是单调函数，则区间5,20应完全在对称轴的同侧，由此构造关于4的不等式，解得左的取值范围.O【解答】解：函数h(%) = 4/ - Zcx - 8的对称轴为x = p若函数人(乃=4x2-kx- 8在5,20上是单调函数，则鼻5或建20, 88解得A < 40或A > 160,故女的取值范围是(一8,40 U 160,+QO),故选C.5 .答案：C解析：【分析】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题.由指数函数、对数函数的性质易

10、知，OVa VI, b> 1, c=1,比较大小即可.【解答】解：.°Va=(短)2。】9 V (短)。=1,b = 2019短 > 20190 = 1*c = log 1 2019 = -log20192019 = -1, 2019c < a <b.故选c.6 .答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点存在性定理，属于基础题.先判断函数单调性，再由/<(9)=1lg9>0, /(10) = -1<0,即可判断零点所在区间.【解答】 解：；f(X)= ： - Igx在(0, +8)单调递减,9，f(9) = l-lg9> OJ(1O

11、) = -l<0,二函数/(")=； lg%的零点所在的区间是(9,10).故选c.7 .答案：A解析：解：母线长为5的圆锥的侧而展开图的圆心角等于各，所以侧而展开图的弧长为：2 = 5X萼=8，由弧长=底而周长，即87r = 2仃，r = 4,所以圆锥的高为h = Vs2 - 42 = 3»所以圆锥体积 P = -X7rXr2Xh=-X7rX 42 X3 = 167r. 33故选:A.求出侧而展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体枳.本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题.8 .答案：C解析：【分析】本题考查异而直线所成的角，其求解步骤是作

12、角，证角，求角，属于基础题.延长。到H,使得长度为正方体棱长的一半，连接M并延长，交AB于E,则E是AB中点,易证得NNM”即为直线AiG和MN所成的角，且此三角形是正三角形，易得答案.【解答】解：延长QC到"，使CH长度为正方体棱长的一半，连接并延长，交于E,则上是A8中点，故有/1Q,则6MH即为直线4G和MN所成的角，由N是中点，可彳导MN = HN = MH,故是正三角形，故直线41G和MN所成的角是60。.故选C.9 .答案：D解析：【分析】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算 能力，属于基础题和易错题.运用对数函数的单调性

13、，分a>l, OVa VI两种情况，注意先求交集，再求并集即可.【解答】解：loga： V 1 = logaa,当q>1时，不等式即为a则有a>l成立；当OVa VI时，不等式即为a V即有OVaV=.综上可得，a的范围为a > 1或0 V a V 9故选：D.10 .答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，构造函数是解决问题的关键，属基础题.构造函数g(x) = a，+ bx，可判断其为奇函数，由已知易得g(2) = 2,进而可得g(2),而/'(2)= 9(2)+ 8,代入计算即可.【解答】解：记函数0(“)=。/+",定义域为R,则9(一“)

14、= -a%3 -bx= g(x),所以函数g(x)为奇函数，必有g(-2) = 。(2),由题意可得f(2) = g(-2) + 8 = 10,解得g(-2) = 2,所以 g(2) = -2,故 f(2) =。(2) + 8= -2 + 8 = 6.故选C.11 .答案：B解析：当x > 0时，不等式f(x) > 0等价于久3 8 > 0,解得4 > 2.由于函数f(x)是偶函数，所以x G R 时，/(%) > 0的解集为x|x < 一2或% > 2,故f(x -2) > 0的解集为x|x < 0或% > 4.12 .答案：B解析

15、：解：对于任意的满足条件f(x)+f(x) = 0的函数是奇函数.A,非奇非偶函数；8奇函数，C,。是偶函数，故选民对于任意的X 6 R,满足条件f（x）+f（x） = 0的函数是奇函数，分析选项，即可得出结论.本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.13 .答案：（一表2）解析：解：要使函数有意义，则CUUo'（x <21即即一号VXV2，2故函数的定义域为（一表2）,故答案为：（一32）根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域.本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件.14答案:4解析：【分析】本题考查了指数恒等式、对数运算性质，考查

16、了推理能力与计算能力，属于基础题.利用指数恒等式、对数运算性质即可得出.【解答】解：原式=3 +1g（我X俩）=3 + Z10 = 4.故答案为4.15 .答案：60°解析：【分析】本题考查异而直线所成的角，将展开图进行还原是解题的关键.将展开图还原成正方体，利用平移法求解.【解答】解：原正方体如图所示：由于且/B = MC,故直线AB与CD成的角等于。与CM成的角.由/CMD为等边三角形，LMCD = 60°,故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60。.故答案为:60°.16 .答案：-2015解析：【分析】本题考查抽象函数、利用奇偶性求函数值，属于基础题

17、.根据函数g(x)是定义在R上的奇函数得出g(-2019) = -2017,从而可得;'(一2019) = g(2019) + 2, 即可求得答案.【解答】解:因为/"(%) = g(%) + 2,所以 f(2019) = g(2019) + 2 = 2019,即 g(2019) = 2017,因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以 g(2019) = -2017,f (一2019) = g(2019) + 2 = -2017 + 2 = -2015.故答案为一 2015.17 .答案：解：(1)由已知，画出数轴：2 37 10 f可得M UN = x12<x <

18、 10,M CN = (x3 <x <7.(2)图中阴影部分表示的集合为(CM) A N,: QM = xx < 3或% > IO.N = x2<x < 7,(G/M) nN = (x2<x < 3,即图中阴影部分表示的集合为刈2 <%<3.解析：本题考查集合的交集运算，并集运算，交、并、补的混合运算，皿，?图.(1)由己知，画出数轴： L1可得MUN, MCN： 2 37 10 r(2)先得到图中阴影部分表示的集合为(CuM) nN,再进行交集、补集的混合运算.18.答案:解：(1)%)=1。%要，(一14%«1)为奇函数

19、 3十X f(-x) = -f(x)» 即 1。2言=T。92 M即言=1对“一1，1恒成立：所以(5 +ax)(5-ax) = (5 + x)(5 - x)a = ±1,因为为不等于1的常数，所以。=一1(2) v f(x) = 2092M，(T <x <i)设t= -1< 1)，则f(t)=log2t，因为t =言=一1 +提在一1，1上递减所以;K"又因为f(t)=10g2t，在可勺上是增函数,所以/e叫因为对任意的X G -1,1 » /(x) > m恒成立，所以f(x)min > m所以m < log2解析：

20、(1)利用奇函数的定义f(-") = -f(x)，代入函数解析式得恒等式，利用恒等式中X的任意性 即可得“的值；(2)先将不等式f(x) > m恒成立问题转化为求函数f(x)在 G -1,1时的最小值问题，再利用复合函 数的单调性求最值即可本题考查了奇函数的定义及其应用，不等式恒成立问题的解法，复合函数的单调性及其最值的求法， 转化化归的思想方法19.答案：解：(l)：x = 4时，y = 20.代入关系式> = 3 + 4(“ 一6>，得？+ 4X2? = 20.解得m = 12.(2)由(1)可知，商品每月的销售量尸=三+4(“ 一6产，每月销售商品所获得的利润

21、./(%) = (x _ 1)言 + 4(% 6)2 = 4(- - 13/ + 48%) 132, (1<%<6), 从而/(%) = 4(3%2 - 26% + 48) = 4(3% 8)(x - 6)(1 <%< 6).令/=0.得% =：.且在IV XV：上，尸(幻>0,函数f(x)单调递增：在"V 6上，r(x)<0,函数f(x)单调递减，:是函数f(x)在(1,6)内的极大值点，也是最大值点，当X = ?欠2.7时，函数f(x)取得最大值.即销售价格为2.7元/件时，该店每月销售商品所获得的利润最大.解析：(1)把 = 4, = 20代

22、入关系式丫 =三+ 4。-6)2,解方程即可解出四(2)利用可得每月销售商品所获得的利润f(x) = (”- 1)六+ 4(“ - 6)已，利用导数研究其定义域上 的单调性与极值最值即可得出.本题主要考查函数的应用问题，求函数的解析式，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键.20.答案：解：(l)：f(0)<l /(0) = (0 a)2 + |x - a| a(a 1) = a2 + |a| a(a - 1) = |a| + a < 1.当a 4 0时，不等式为0 < 1恒成立，满足条件,当q>0时，不等式为a + a<l,a 0 < a < -,

23、2综上所述，的取值范围为( 8,勺；(2)当 < a时，函数f(x) =x2- (2a + l)x + 2a,其对称轴为 =上匚=a + 1> a,此时y = f(x)在(一8,a)时是减函数，当% > a时,f(x) = x2 + (1 - 2a)%,其对称轴为：x = a-< a,、= /'(功在(。,+8)时是增函数，综上所述，f(%)在(a,+8)上单调递增，在(一8,a)上单调递减，%2 + (2 - 2a)x,x > a x2 - 2ax + 2af 0 <x < a , x2 (2a + 2)x + 2a,x < 0当4 &

24、gt; a时，其对称轴为 = a 1,当04xVq时，其对称轴为x = a,当x>0时，其对称轴为x = a + l,g(x)在(一8,0)上单调递减，在(0, a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，,: g(0) = 2a > 0, g(a) = a2 + (2 2a)a = 2a a2 = (a l)2 + 1,第13贞，共14页又a > 2,g(a) = -(a - l)2 + 1 在(2, +8)上单调递减, g(a) < g(2) = 0,在(0,a)和(a,+8)上各有一个零点，综上所述a >2时，/(幻+ |幻在/?上有2个零点.解析：(1)根据/'(0)4 1列不等式，对“进行讨论解出”的范围，(2)根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间，(3)如(乃=/(“)+|灯，写出g(x)的解析式，利用二次函数的性质判断g(x)的单调性，根据零点存 在定理判断即可.本题考查了二次函数的图象和性质，以及函数零点存在定理，关键是分类讨论，属于中档题21 .答案：解：依题意，可知旋转后形成的几何体为一个圆柱中挖去了一个圆锥.由CD = 2/8 = 2机，BC 1 CD,4/DC = 45°,可得B