2020届高三数学一轮复习第八章《平面解析几何》8-5精品练习

1、KHQHZY课后强化作业、选择题1 .（文）（2020 山东潍坊）已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±4x,则该双曲线的离心率是（A.C.17174B.D.15154答案C解析设双曲线方程为2x b2=1则由题意得，an2ac2a2 = 1617 e= 4 .2b2= 1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰2（理）（2020 河北唐山）过双曲线与- a在线段ORO为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为A. 2B. ：5C. ：'2D. ：3答案C解析如图，FM/L l ,垂足为M.M在OF的中垂线上，.OFM等腰直角三角形，MOF= 45° ,b即一

2、=1,e= '2.a,2. （2020 全国I文）已知Fi、F2为双曲线C x2-y2=1的左、右焦点，点 P在C上，/FiPF>=60 ,贝U | PF1| | PF>| =（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案B解析 在FiPE中，由余弦定理粤嗯铲| PF| | PF| 2一| FF2|2+2| PF| | PF2| PF| - | PF>|4 a2 4c2 2b2+ 1 =2|PF| PE|PF| | PE|+ 1,. b=1,| PFi| - I PF2|=4.3.（文）（2020 合肥市）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线2）2+y2=1都相切，则双曲线

3、C的离心率是（）C的两条渐近线与圆（xA.2或 2C.小或d¥或乎答案解析焦点在x轴上时，由条件知b 1c2 - a2 1a=4 丁=3e=a=¥,同理,焦点在y轴上时，a。3,此时 e= 2.2,一 x（理）已知F1、F2是双曲线- a2y2=1(a>0, b>0)的两个焦点, b以线段 FiF2为边作正 MFF2,若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.C.4+2 3J3+i2B.#1D.m+ 1答案D解析设线段MF的中点为P,由已知 FiPE为有一锐角为60°的直角三角形,. | PF|、| PE|的长度分别为c和、/3c.由双曲线的

4、定义知：（杂1）c=2a,=或+1.4.已知椭圆券+5yn2=1和双曲线2m21有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（A.x= ±15 b. y=± 2 xC.x= ±D. y= ±答案D解析由题意 c2= 3m25n2= 2m2+3n2,双曲线渐近线的斜率k= 土型L= 士率.21m 4方程为y= ±5.（文）（2020 湖南师大附中模拟）已知双曲线22m，1，直线1过其左焦点F1，交双曲线左支于AB两点，且| AB = 4, F2为双曲线的右焦点，ABF的周长为20,则m的值为（）A. 8B. 9C. 16D. 20答案解析由已知，| A

5、EB +|AF2|+|BF2|=20,又 | AB =4,则 | AF2|+| BF2|= 16.据双曲线定义，2a=|AF2|-|AF1|=|BF2| |BF| ,所以 4a= | AF| 十 | BF2| (| AF| + | BF|)=16-4= 12,即a=3,所以ma2=9,故选B.(理)(2020辽宁锦州）ABC中，A为动点,，一 mB、C为定点，B -2, 0m j上C1, 0 (其中 m>0,且m为常数），一 一 1.且满足条件 sin C sin B= 2sin A,则动点A的轨迹方程为（一 2 一 216y 16x .m 3m 一2B.r-16y-=1163C.2:1

6、6x 16y23m2m= 1(x> )4_ 2_ 216x 16yD.-m-3m1答案解析依据正弦定理得:|AB| AC=2| BC=2<|BC.点A的轨迹是以R C为焦点的双曲线的右支，且 a=m c=m1,3m2223mb = c"76，双曲线方程为16x2 16y223mm = 1(x>4)226.设双曲线与一3=1（ a>0, b>0）的两焦点为F1、F2,点Q为双曲线左支上除顶点外的任 a b一点，过F1作/ F1QF的平分线的垂线，垂足为 P,则点P的轨迹是（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分D.圆的一部分C.抛物线的一部分答案D解析延长F

7、iP交QE于R则| QF| = | QR.| QF| | QF| =2a,|QF| -|QR = 2a= | RF| ,1又|OP = 2|R同，|Op=a.227 .(文)(2020 温州市十校)已知点F是双曲线 :看=1(a>0, b>0)的左焦点，点E是该B两点，若 AB%锐角三角形,双曲线的右顶点，过 F且垂直于x轴的直线与双曲线交于则该双曲线的离心率 e的取值范围是（）A. (1 ,+ 0°)B. (1,2)C. (1,1D. (2,1 +2)答案解析由题意易知点F的坐标为（一c, 0） , A -c,b2ab2 a,E(a, 0),因为AB右锐角三角形，所以

8、EA- EB>0,即EAEB- -c-ab2ac a)b2/口2>0,整理得3e2 a+ 2e>e4, .1.e(e3-3e-3+1)<0,，e(e+1)2(e2)<0,解得 e (0,2),又 e>1, . eC (1,2),故选B.2（理）（2020 浙江杭州质检）过双曲线条2b2= 1（a>0, b>0）的一个焦点 F引它的渐近线的垂线，垂足为FM y轴于E,若F阵ME则该双曲线的离心率为 （）A. 3B. 2=b,C. /3答案解析由条件知在 RtAOEF,c,.e=->1,a ，D. '2l：y=bx是线段FE的垂直平分线

9、，.|OE = |OF = c,又|FM = a2c2=4b2=4(c2a2),. e = V2.a2+b28 .若直线y = kx+2与双曲线xx24 2=x +2x+ - 1= x + 2x 1 y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A. 一卑年B. 0,卑C -¥，0D.-华,T答案D解析直线与双曲线右支相切时，k一邛,直线y=kx + 2过定点（0,2）,当k=- 13时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y=-x+2时，直线与双曲线右支有两个交八、5T<k<i.9.（文）（2020 福建理）若点O和点F（2,0）分别为双曲线212-y2=1（a&

10、gt;0）的中心和左焦OF3- FP的取值范围为()B. 3 +2/3,+oo)7D. 4, +°°)a2= 3,点，点P为双曲线右支上的任意一点，则A. 3 25，+8）7C. -4， + °°）答案B解析由条件知a2+1=22=4, x22双曲线方程为x-y2=i.3设 P点坐标为(x, y),则 Op= (x, y), FP= (x + 2, y),.y2 = x- 1,，OP FP= x2 + 2x+y2 343= 3(3)2_7I4又.x>M3（p为右支上任意一点）- Of3- fP>3+2#.故选 b.（理）（2020 新课标全国

11、理）已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是E的焦点，过F的直2x匕一线l与E相交于A, B两点，且AB的中点为N 12, 15）,则E的方程为（22A.TT-y- = 13 622D.-7 = 1答案B解析设双曲线的方程为a? + b?= 9,设 A(x1,x2 y23 b2=1(a>0, b>0),由题意知 c=3,yi), B(X2, y2)则有:x12 y12孑-LX22 y22孑一升=I,两式作差得:y1 y2b2X1 + X24b2x1 - x2 a2ydy2 5a2.kAB=g, x1 x2'L -15-0且 kAB= = 1 123所以4b2=5a2代入a2

12、+b2=9得a2=4, b2=5,所以双曲线标准方程是2x一422,故选B.10.（文）过椭圆22|2+b2= 1（ a>b>0）的焦点垂直于 x轴的弦长为2a,则双曲线孑一b2=1的离心率e的值是5A.4D.c.2答案解析将x=c代入椭圆方程得,2 c -2 + a2y = 1b2-1.2y 21-02X b2=Xb/xbab2 1-=ja, a 4b2 = 1a24a2 + ；a2454'（理）（2020 福建宁德一中）已知抛物线x2=2py（p>0）的焦点22F恰好是双曲线沁=1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为A. 2C. 1+ 2B

13、. 1± ,2D.无法确定答案C解析由题意知p=c,根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴,2b2- +、人、一 、对双曲线来说，这两个交点连线的长度是.，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p,. p=2c,手=4c,"Zac,解得e=1 土淄, C a = 2ac) . e 2e 1 = 0,e>1，.: e= 1 +y2.二、填空题2211 .（文）（2020 广东实验中学）已知P是双曲线，一卷=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为 3xy=0.设Fi、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|P团=3,则|PF| =答案5解析由双曲线的一条渐近

14、线的方程为3xy = 0且b=3可得：a= 1,由双曲线的定义知 | PF| -| PF2| =2a,.| PF| -3=2,| PF| =5.x2 y2（理）（2020 东营质检）已知双曲线§a=1的右焦点为（5,0）,则该双曲线的渐近线 方程为.答案y=±2x3解析由题意知9+a= 13,a=4,故双曲线的实半轴长为a' =3,虚半轴长b' =2,从而渐近线方程为 y = ± |x.312. （2020 惠州市模考）已知双曲线/一y2=1（a>0）的右焦点与抛物线 y2=8x焦点重合, 则此双曲线的渐近线方程是 .答案y=±乎x

15、解析y2=8x焦点是（2,0）,2双曲线x2y2 = 1的半焦距c=2, a又虚半轴b=1,又 a>0,a=，22-12 =73,3.双曲线渐近线的方程是y=± t-x.313. （2020 北京东城区）若双曲线2 x-22yb2=1（a>0, b>0）的两个焦点为Fi, F2, P为双曲线答案1<e<2解析由题意| PF| | PF =2a| PF| =3| PF2|PF|PF=3a上一点，且| PF| =3| PF2| ,则该双曲线离心率的取值范围是.| PF| >| AF|1<e<2.14.下列有四个命题：若m是集合1,2,3,4

16、,5中任取的一个值，中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线的一条3渐近线方程为 mx-y=0,则双曲线的离心率小于4的概率为g.22若双曲线X2_b2=1（a>0, b>0）的一条渐近线方程为y=V3x,且其一个焦点与抛物线 y2=8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2； 兀.兀将函数y = cos2x的图象向右平移 至个单位，可以得到函数y= sin 2x- 的图象;在 Rt ABC, ACL BG AC= a, BC= b,则 ABCW外接圆半径 r =a、b、c,则三棱间，若三棱锥 S ABC勺三条侧棱SA SB SC两两互相垂直，且长度分别为Ma2+ b2+ c2锥S- ABC勺

17、外接球的半径 R= 2其中真命题的序号为.（把你认为是真命题的序号都填上）答案解析设双曲线方程为 Mx2 y2= 1,.a2=12 mb2=1, c2=a2+b2=2m+ 1e=a= ym+ 1<4,n<-T5，m取值 1、2、33 .一 .故所求概率为故正确.5根据双曲线?看=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为 y = V3x,可得b=<3,因此离心F c率 e = a/'a2+ b2a+炉a=2,正确;a函数，,一 小 ，一一， 兀1兀y= cos2x的图象向右平移6个单位得 y= cos2( x-) = cos(2 x7t7t3)=sinT+兀

18、(2x-V)=3sin(2 x + 不)的图象，错误;将三棱锥S- ABC补成如图的长方体，可知三棱锥S- ABC外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则 R=;1a2 b2c2,正确.三、解答题15.(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2, 一个焦点 R2,0)(1)求双曲线方程;(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点 M若| Mq=2|Qf ,求直 线l的方程.解析(1)由题意可设所求的双曲线方程为b>0)则有 e=a=2, c= 2, a= 1,则 b = 73所求的双曲线方程为x2-y=1.3(2) 直线l与y轴相交于 M且过焦点F( - 2,0) .I

19、的斜率k 一定存在，设为 k,则l ： y= k(x+2)令 x=0 得 M0,2 k). | MQ=2|QFf 且 M Q F 共线于 l .MQ= 2Q成 Mq= 2Qf当MQ= 2QF寸,xq= - 3, yQ= 3k ' q- > 3k - .q在双曲线x2y=i上，3.216 4k =1927当 MQ= 2QF寸，同理求得Q 4, 2k)代入双曲线方程得,4k23 -16-4-=1, . *=±2则所求的直线l的方程为：y=± ¥(x+2)或 y= 士 325(x+2)(理)(2020 湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0

20、),右顶点为(、/3,0) .(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l : y=kx + 42与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA-Ob>2(其中O为原点)，求k的取值范围.解析(1)设双曲线%卷=1,由已知得 a =、/3, c=2,再由 a2+b2=22得，b2=1,.Ia、，x22故双曲线C的方程为-y2=1.32(2)将 y=kx+42代入3y2=1 中得， 3(1 3k2)x262kx 9= 0.由直线l与双曲线交于不同的两点得1 3kA=672k 2+36 1 3k2 =36 1 k2 >0'k2 J且 k2<1 3设 A(Xa, yA) , B(Xb

21、, yB),贝U Xa+Xb=XaXb =一 91 3k2由 OA OB>2 得，XaXb+ yAyB>2,xaxb+ y/yB = xAXB+(kxA+也)(kxB+ 也)=(k2 + 1) xaxb+ J2k(XA+ xb) + 2,29 厂，6x/2k3k2+7=( +1). 1 -3k2+k > 1-3k2+2= 3k2- 1口 3k2+7B -3k2+93k27>2'即飞笆7>0'-r 12解此不等式得a<k2<3 3由得；<k2<1,平<k<1或1<k< 一,.333故k的取值范围为T，-

22、当U冬1 .16. (2020 江苏苏州模拟)已知二次曲线。的方程：-r + Tyr = 1.9 k 4 k(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3) mi n为正整数,且m<n,是否存在两条曲线 G、C,其交点P与点E(-乖,0) , F2(小, 0)满足PF PF2=0?若存在，求m n的值；若不存在，说明理由.9 k>0解析(1)当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆.4 k>0当且仅当(9 - k)(4 k)<0,即4<k<9时，方程表示双曲线.y = x+ 1(2)解法一：

23、由上上_化简得，9-k+4-k=1(13 -2k) x2+2(9- k)x+(9 -k)( k-3) =0.”，k>6 或 kW4(舍)双曲线实轴最长，k取最小值6时，9 k最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为X7-yr=1. 3222解法二：若Ck表示双曲线，则 k (4,9)，不妨设双曲线方程为X2-y-=1,a 5 ay = x+1联立x2 y2 _ 消去y得, a2 5 a2 一(5 2a2) x2- 2a2x- 6a2 + a4= 0G与直线y = x+1有公共点，A=4a4 4(5 -2a2)( a4-6a2) >0,即 a4 8a2+15>0,a2w3 或 a

24、2>5(舍)，实轴最长的双曲线方程为 x-y=1. 3222x y .2解法三：双曲线 ;+7：=1 中 c=(9 k)+(k4)=5,，c=V5,，Fi(一册，0), 9 - k 4 - kv不妨先求得Fi(-a/5, 0)关于直线y=x+1的对称点F( 1,145),设直线与双曲线左支交点为 M则2a= | MF | MF = | MF| | MF w | F因=.-1-m 2+ 1-乖 2 =2小.awm,实轴最长的双曲线方程为 x-y-=1.32(3)由(1)知G、G、Q是椭圆，G、G、C7、。是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭 圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点，n

25、C5,6,7,8设| PF| =d1, | PF| =d2, m 1,2,3则根据椭圆、双曲线定义及PF PF2=0(即PFXPE),应有d1+ d2= 2 9- m| d1 d2| =249n,所以 m n = 8.d12+d22=20m= 2m= 3成成n= 6n = 5m= 1所以这样的Cn、G存在，且n= 72217.(文)(2020 全国n文)已知斜率为1的直线l与双曲线 C： 2-2=1(a>0, b>0)相交a b于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为 A,右焦点为F, |DF |BF=17,证明：过 A、R D三点的圆与x

26、轴相切.解析(1)由题意知，l的方程为：y=x + 2, 代入C的方程并化简得，(b2 a2) x2 4a2x 4a2- a2b2= 0设 B(xi, yi), D(x2, y2),4 a24a2 + a2b2则 xi + x2= b2_ a2, xi , x2= b2 a2 2,xi + x2皿 14a由M1,3)为BD的中点知 一2= 1,故£x =1.22 一即b =3a故 c= ;a2+ b2= 2a,.C的离心率 e = c=2. a(2)由知，C的方程为3x2-y2=3a2,_24+3aA(a, 0) , F(2a, 0) , xi + x? = 2, xi - x2=2

27、<0,故不妨设xH a, x2>a,| BF =7xi 2a2+ yi2 =弋xi 2a2+ 3xi2 3a2 = a - 2xi,| FD = x2 2a2+ y =、x2 2a2+ 3x22 3a2 = 2x2- a,| BF 1 FD = (a2xi)(2 x2a) 22=4xix2+ 2a( xi+ x2) a = 5a +4a+ 8.又| BF 1 FD = i7,故 5a2+4a+8= i7,解得a= i,或a= 一 - 5故| BD = 2| xi x2| = 124xi + x2 2 4xi . x2 = 6连结 MA 则由 A(i,0) , M")知|MA = 3,从而 MA= MB= MD / DAB= 90 ,因此以M为圆心，MA为半径白圆