北京市石景山区2013届高三数学一模试题 理（含解析）新人教A版

1、2013年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）（2013石景山区一模）设集合M=x|x24），N=x|log2 x1，则MN等于（）A2，2B2C2，+）D2，+）考点：交集及其运算专题：计算题分析：求解二次不等式和对数不等式化简集合M，N，然后直接利用交集的运算求解解答：解：由M=x|x24=x|2x2，N=x|log2 x1=x|x2，则MN=x|2x2x|x2=2故选B点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及对数不等式的解法，是基础的计算题2（5分）（2013

2、石景山区一模）若复数（ai）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（）A1B1CD考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复数的运算法则化为复数（ai）2=a212ai再根据在复平面内对应的点在y轴负半轴上的特点即可得出解答：解：aR，复数（ai）2=a212ai复数（ai）2在复平面内对应的点（a21，2a）在y轴负半轴上，解得a=1故选A点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义、在y轴负半轴上的点的特点是解题的关键3（5分）（2013石景山区一模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向

3、量与共线的概率为（）ABCD考点：古典概型及其概率计算公式专题：平面向量及应用；概率与统计分析：利用古典概型的概率计算公式和向量共线定理即可得出解答：解：由题意可得：基本事件（m，n）（m，n=1，2，6）的个数=6×6=36若，则6m3n=0，得到n=2m满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件因此向量与共线的概率P=故选D点评：熟练掌握古典概型的概率计算公式和向量共线定理是解题的关键4（5分）（2013石景山区一模）执行右面的框图，输出的结果s的值为（）A3B2CD考点：程序框图专题：图表型分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦

4、不满足条件就退出循环，从而到结论解答：解：第1次循环，S=3，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，第4次循环，S=2，i=5，第5次循环，S=3，i=6，框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足20142013，退出循环，循环次数是2013次，即输出的结果为3，故选A点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题5（5分）（2013石景山区一模）如图，直线AM与圆相切于点M，ABC与ADE是圆的两条割线，且BDAD，连接MD、EC则下面结论中，错误的结论是（）AECA=90°BCEM=DMA+DBACAM2=ADAEDADD

5、E=ABBC考点：与圆有关的比例线段专题：选作题分析：A利用圆的内接四边形的性质可得BDE+BCE=180°，再利用已知即可判断出；B利用弦切角定理可得AMD=MED；由四边形BDEC是圆的内接四边形ABD=CED，即可判断出答案；C由切割线定理可得AM2=ADAE，即可判断出；D利用排除法，或割线定理得ADAE=ABAC，进而得到ADDEABBC=AB2AD2，而AB与AD不一定相等，据此判断出解答：解：A四边形BDEC是圆的内接四边形，BDE+BCE=180°，BDE=90°，BCE=90°，故A正确；B.直线AM与圆相切于点M，由弦切角定理可得AM

6、D=MED；由四边形BDEC是圆的内接四边形，ABD=CED，CEM=MED+CED=DMA+DBA，故正确；C直线AM与圆相切于点M，由切割线定理可得AM2=ADAE，故C正确；D由割线定理得ADAE=ABAC，AD（AD+DE）=AB（AB+BC），ADDEABBC=AB2AD2，而AB与AD不一定相等，故错误故选D点评：熟练掌握圆的内接四边形的性质、弦切角定理、切割线定理、割线定理是解题的关键6（5分）（2013石景山区一模）在的二项展开式中，x的系数为（）A10B10C40D40考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x

7、的系数解答：解：在的二项展开式的通项公式为 Tr+1=25rx102r（1）r（x）r=（1）r25rx103r令103r=1，可得r=3，故x的系数为 （1）3253=40，故选C点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题7（5分）（2013石景山区一模）对于直线l：y=k（x+1）与抛物线C：y2=4x，k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：联立方程组可知l与C有唯一交点的充要条件为k=0，或k=±1，由集

8、合1，1是1，0，1的真子集可得答案解答：解：联立方程组，消去y并整理得，k2x2+2（k22）x+k2=0，当k=0时，上式变为4x=0，解得x=0，l与C有唯一交点，当k0时，需=4（k22）24k4=0，解得k=±1，故l与C有唯一交点的充要条件为k=0，或k=±1，由1，1是1，0，1的真子集可得前者是后者的充分不必要条件，故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及直线与圆锥曲线的交点问题，属基础题8（5分）（2013石景山区一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好

9、点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法专题：压轴题；新定义分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可解答：解：根据题意：当x0时，x0，则f（x）=（x）24（x）=x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x24x，则函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的函数是y=x24x由题意知，作出函数y=x24x（x0）的图象，看它与函数

10、f（x）=log2x（x0）交点个数即可得到友好点对的个数如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2即f（x）的“友好点对”有：2个故答案选 C点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）（2013石景山区一模）直线2sin=1与圆=2cos相交弦的长度为考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：先将原极坐标方程=2cos两边同乘以后化成直角坐标方程，再将2sin=1也化成极坐标方程，后利用直角坐标方程进行求解即可解答：解：将圆=2cos化

11、为直角坐标方程为（x1）2+y2=1，直线2sin=1化为直角坐标方程为y=，代入（x1）2+y2=1，得x=1±则直线2sin=1与圆=2cos相交弦的长度为1+（1）=故答案为：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得10（5分）（2013石景山区一模）在ABC中，若，则C=考点：正弦定理专题：计算题；压轴题分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理

12、即可求出C的度数解答：解：b=a，根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，sinA=，又ab，得到AB=，A=，则C=故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键11（5分）（2013石景山区一模）在等差数列an中，a1=2013，其前n项和为Sn，若=2，则S2013的值等于2013考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则 =An+B若=2，则可得是以1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得S2013的值解答：

13、解：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则 =An+B，成等差数列若=2，则 =a1=2013，是以1为公差的等差数列=2013+2012×1=1，S2013的值等于2013，故答案为2013点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及构造法的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题12（5分）（2013石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是考点：简单空间图形的三视图；点、线、面间的距离计算专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，ADBC，ADDC，AD=2，DC=3

14、，BC=4据此可计算出最长的一条侧棱长解答：解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，ADBC，ADDC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5则最长的一条侧棱PB，其长度是=故答案为：点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键是基础题13（5分）（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求

15、得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果解答：解：，=|=，|=1，|=1，=（）（）=2+2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目14（5分）（2013石景山区一模）对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3，in）（n是不小于3的正整数），若对任意的p，q1，2，3，n，当pq时有ipiq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2则数组（5，2，4，3，1）的逆序数等于8；若数组（i1，i2，i3，in）的逆

16、序数为n，则数组（in，in1，i1）的逆序数为考点：进行简单的合情推理专题：新定义分析：由于数组中包含的数字比较少，数组（5，2，4，3，1）中的逆序可以列举出共有8个，对应于含有n个数字的数组中，首先做出任取两个数字时可以组成的数对，减去逆序的个数，得到结果解答：解：由题意知数组（5，2，4，3，1）中的逆序有5，2；5，4；5，3；5，1；2，1；4，3；4，1；3，1逆序数是8，若数组（i1，i2，i3，in）中的逆序数为n，这个数组中可以组成C=个数对，数组（in，in1，i1）中的逆序数为n=，故答案为：8；点评：本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能

17、够利用条件来解决问题，本题考查排列组合数的应用，考查列举法，是一个非常新颖的问题，是一个考查学生理解能力的题目三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（2013石景山区一模）已知函数（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，求ABC的面积考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理专题：解三角形分析：（）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令 2k2x+2k+，kz，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间（）由已知，可得 sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦

18、定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由 S=absinC，运算求得结果解答：解：（）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x =sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）令 2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kz（）由已知，可得 sin（2A+）=，因为A为ABC内角，由题意知0A，所以 2A+，因此，2A+=，解得A=由正弦定理 ，得b=，（10分）由A=，由B=，可得 sinC=，（12分）S=absinC=点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角

19、，属于中档题16（13分）（2013石景山区一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示（）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5

20、监测数据超标的天数，求的分布列及期望考点：离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（I）由茎叶图可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；（II）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标据此可得得出其概率；（III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出解答：解：（）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米

21、以下，故P（A）=（）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）=（）的可能值为0，1，2，3由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=的分布列如下表：0123PE=点评：正确理解茎叶图和“空气质量超标”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键17（14分）（2013石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC=90°，PD面ABCDAD=1，BC=4（1

22、）求证：BDPC；（2）求直线AB与平面PDC所成角；（3）设点E在棱PC、上，若DE面PAB，求的值考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题；证明题分析：（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得BDDC，而PD面ABCD，则BDPD，PDCD=D，根据线面垂直判定定理可知BD面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BDPC；（2）在底面ABCD内过D作直线DFAB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成

23、角大小为，利用向量的夹角公式求出即可（3）先求出向量，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据=0，=0，求出，再根据DE面PAB，则=0求出即可解答：解：（1）DAB=90°，AD=1，AB=，BD=2，ABD=30°，BCADDBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分）BC2=DB2+DC2，BDDC，PD面ABCD，BDPD，PDCD=D，BD面PDC，PC在面PDC内，BDPC（5分）（2）在底面ABCD内过D作直线DFAB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，（6分）由（1）知BD面PDC，就是面PDC的法向

24、量，（7分）A（1，0，0），B（1，0），P（0，0，a）=（0，0），=（1，0），（8分）设AB与面PDC所成角大小为，cos=，（9分）（0，）=（10分）（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，0），P（0，0，a）C、（3，0），（11分）=（3，a），=（3，a），=+=（0，0，a）+（3，a）=（3，aa）（12分）=（0，0），=（1，0，a），设=（x，y，z）为面PAB的法向量，由=0，得y=0，由=0，得xaz=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），（14分）由D、E面PAB得：，=0，3a+aa=0，=（15分）点评：本题主要考查了直线与平面垂

25、直的性质，以及直线与平面所成角和与二面角有关的立体几何综合题，属于中档题18（13分）（2013石景山区一模）已知函数f（x）=ax1lnx，aR（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题专题：导数的综合应用分析：对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可解答：解：（）在区间（0，+）上，（1分）若a0，则f（x）0，f

26、（x）是区间（0，+）上的减函数； （3分）若a0，令f（x）=0得x=在区间（0，）上，f（x）0，函数f（x）是减函数；在区间上，f（x）0，函数f（x）是增函数；综上所述，当a0时，f（x）的递减区间是（0，+），无递增区间；当a0时，f（x）的递增区间是，递减区间是（6分）（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f（1）=0解得a=1，经检验满足题意（7分）由已知f（x）bx2，则 （8分）令，则 （10分）易得g（x）在（0，e2上递减，在e2，+）上递增，（12分）所以g（x）min=，即 （13分）点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0

27、时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值掌握不等式恒成立时所取的条件19（14分）（2013天津模拟）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且ABAF2（）求椭圆C的离心率；（）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程； （）在（）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质专题：综合题分析：（）由题意知F1（c，0），

28、F2（c，0），A（0，b），由知F1为BF2的中点，由ABAF2，知RtABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出椭圆的离心率（）由，知，RtABF2的外接圆圆心为（，0），半径r=a，所以，由此能求出椭圆方程（）由F2（1，0），l：y=k（x1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此能求出m的取值范围解答：解：（）由题意知F1（c，0），F2（c，0），A（0，b）知F1为BF2的中点，ABAF2RtABF2中，BF22=AB2+AF22，又a2=b2+c2a=2c故椭圆的离心率（3分）（）由（）知得，于是，RtABF2的外

29、接圆圆心为（，0），半径r=a，所以，解得a=2，c=1，所求椭圆方程为（6分）（）由（）知F2（1，0），l：y=k（x1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，代入得（3+4k2）x28k2x+4k212=0则，y1+y2=k（x1+x22）（8分）由于菱形对角线垂直，则故x1+x22m+k（y1+y2）=0即x1+x22m+k2（x1+x22）=0，（10分）由已知条件知k0，故m的取值范围是（12分）点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想20（13分）（2013石景山区一模）给定有限单调递增数列xn（nN*，n2）且xi0（1in），定义集合A=（xi，xj）|1i，jn，且i，jN*若对任意点A1A，存在点A2A使得OA1OA2（O为坐标原点），则称数列xn具有性质P（）判断数列xn：2，2和数列yn：2，1，1，3是否具有性质P，简述理由（）若数列xn具有性质P，求证：数列xn中一定存在两项xi，xj使得xi