等离子体物理基础期末考试含答案

1、版权所有，违者必究！中文版低温等离子体作业一.僦等离子体密度n=2x101cm，电子温度Te=1.0eV,离子温度T=0.026eV,存在恒定均匀磁场 B B=800=800Gauss,Gauss,求(1)(1)德拜半径；(2)(2)电子等离子体频率和离子等离子体频率；(3)(3)电子回旋频率和离子回旋频率；(4)(4)电子回旋半径和离子回旋半径。解：1、九D=(LTeTi2)1/2=8.3d0心mm,(TeTi)ne2、版原子量为 40,22peK 旭)1/2-8.0GHz,pi-(9)1/2-29MHz,eB_eB4=一=14GHz,J=0.19MHzmemi4、设粒子运动与磁场垂直二、一

2、个长度为 2L 的柱对称磁镜约束装置，沿轴线磁场分布为B(z)=B0(1+z2/L2),并满足空间缓变条件。求：(1)带电粒子能被约束住需满足的条件。(2)估计逃逸粒子占全部粒子的比例。解：1、由 B(z)分布，可以求出Bm=2B0,由磁矩守恒得Vm_LV。，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足、一一12二.,y2、逃逸粒子百分比Pdsin-d-1-=29.3%2二023、r_meVerce-qB2meTe2=4.210mm,rcieBmiViqB2mE1.3mmeB12122mV03mVmBOBm，即V0_告一(1)当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有三、在高频电场E=E0c

3、oscct中，仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞，并且碰撞频率V；a=v/，；a正比于速度。求电子的速度分布函数，电子平均动能，并说明当电子遵守麦克斯韦尔分布。解：课件 6.66.6 节。电子分布函数满足对比coswt和sin0t的系数，(3)解得(4)代入(1.1)得Ta；:f0一)ma二vX(5)求时间平均得2一t3mevcv(v2f1)=21Hse/仰。maI:f1eE0cost；:f0t上-二eaGme二v(1.2)因为力的弛豫时间远远大于f1的弛豫时间，因此近似认为f0不随时间改变,f fi具有 w w 的频率，即卜f0二0:tf1(v,t)=f11(v)costf12(v)sint(2

4、.1)(2.2)(2.2)代入(1.2)中，得(3LfQcost-(储f；af12)sin,eEdf0,t=costmedv(3)22eE0Z226mev(1cos2*(,2dfot2eadv)2帚告片e2E；d(、6m2v2dv2、：2dvt2eavdf01：t2277vCeav(vf。(6)ma二v引入有效电场E*=E：t2v veaeaea代入(6)得f11eEo、：adfo,f12eE0dfo,2t2、.me(ea)dv(4)1-t2.WeaV(vf0(5)2一22dJEeffvdfodv3mxadv)=一(丁叱/便。工)二v2ma二vX(7)两端积分，得所以电子分布函数为双极性扩散中

5、，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，根据方向上有i=nu=nEj-D个n=_nE上-Dn=n”解方程(2)得径向双极性电场2e2E2ffdf02123me.eadvVfoTa开0八0=0majv(8)vf0:Aexp(-0mevdvTae2E；/3n1(2.；：)(9)其中 A 为归一化系数，电子动能为KeoO=2二mef0(v)v4dv0(10)f=Aexp(-22m6Vdv-2tF)Tae2E；/3me.(2.；：)v:Aexp(一0mevdvTae2E(2/3me/me、3/2mv2/2TeE:二()e,Te=Tao2：Te，3me(11)为麦克斯韦分布。四、设一长柱形放电室，

6、放电由轴向电场维持，有均匀磁场沿着柱轴方向，求:(1)(1)径向双极性电场和双极扩散系数；(2)(2)电子和离子扩散系数相等时，磁场满足的条件；(3)(3)当磁场满足什么条件时，双极性电场指向柱轴。解：课件 8.5 节。1、粒子定向速度u 满足(1)(2)LL+LL3、双极性电场指向柱轴等价于五、如果温度梯度效应不能忽略，推导无磁场时双极扩散系数和双极性电场。解：粒子运动方程qnE一p_mnmu=0若等离子体温度有梯度，即Vp=TVn+nT,有代入(2)得到匚Di-DenE二(3)(4)因此径向双极扩散系数为DJ_!不2、电子和离子扩散系数分别为TiiZ；2一mi.i1(eB/mi.i)Tem

7、e、e1(eB/me、e)2=D_e(5)解方程(5)得e2B2ime5emi-【mee)miTi一%eTe(6)注意到中me,因此磁场满足B2mr-me,eTeE_=Tmi2222TieBem7Tempe2222c_,meeeBn,0emeen-2-222me-eeB当考虑maame,TeT,Tmime时,(7)简化为22.22.miime,eTe二eBTmii(8)(8)成立即双极性电场指向柱轴的条件是B2meTe2。eTi(1)d：,d,d：,、，(一)dx二dxdxdxqlTinT、TuE-m、mm、mnmmT=nu=JnE-Dn一DnT/T电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，

8、因此有-=nE-Divn-DMT/T-enE-Devn-DenT/T=e由方程（4）解得双极性电场满足匚Di-DeVnDi-DeTE二将（5）带入（4）,得解得，ni=ns（1-竺）口2。电子满足玻尔兹曼分布ne=nseTe,带入泊松方程得Musdens/：.：/T1/212屋=(e-(1-J/1s),eEs=-Musdx02did 中上式两端乘并对 x 积分，注意有|x4=0,|x=0,得xxdxdx(2)(3)其中=-q-m、m,Dom、m双极性扩散中,.eT因此双极性扩散系数为JeDi,dDeeeoie(6)六、推导出无碰撞鞘层解：课件 9.19.1 节。Child 定律和玻姆鞘层判据。

9、在无碰撞鞘层中作如下假设：电子具有麦克斯韦分布；离子温度为0K;等离子体-鞘层边界处坐标为 0,电场电势为 0,此处电子离子密度相等，离子速度为us。根据粒子能量守恒得1_21_2Mu=-Mus-e22根据粒子通量守恒得(1)(2)(3)1(吧)2=_enL(TeT_T+2Es(1-6/Es)1/2-2Es)(4)2dx;0(4)要保证右端为正，当|中|0时显然成立。当|较小时，对其线形展开得，1 e2：，21e2：，2之2 T-4Es化简得玻姆鞘层判据u之UB=(eT)2。M当阴极鞘层的负偏压较大时，re=nseTe电0,Es中,此时(4)近似等于；(%2二22售)/2,)1/22dx0M、

10、d中记J0=e0Us,(5)两边开方再积分，注意边界条件|xw=0,|x=0=0得dx(-叶=3山)1/2)/4x2；0M(6)中带入边界条件(s)=-V0,化简得无碰撞鞘层 Child 定律42eJ0(M)产1/2V0-2S七、设一无碰撞朗谬尔鞘层厚度为S,电压为 V,证明：一个初始能量为零的离子穿过鞘层到达极板所需时间为t=3s/%,这里v0=(2eV/m)1/2。解：朗缪尔鞘层中电势的分布为.3/43J/22e/4一二二(一)()x2；0m(1)4Child 定律为 J=92e1/2V3/2*口.、一%(一)一，带入(1)得鞘层电势分布满足ms中-V(x)4/3s由粒子能量守恒得1mv2

11、带入得(2),化简得(2)(3)dx一二vdtX2/3=v(一)s对于方程(4)将含 x 项移到左边，两边乘 dt 再积分，注意到初始条件x|t=0=0,得(5)(6)32/31/3.sx=tV0当粒子到达极板时，有x=s,带入(5)得(5)t=3s/v0八、一个截面为正方形(边长为 a)a)长方体放电容器内，纵向电场维持了定态等离子体，n设直接电离项为=Vin,并忽略温度梯度效应，求：c.ti(1)(1)在截面内等离子体密度分布和电离平衡条件：(2)(2)设纵向电流密度为j=enE,给出穿过放电室截面的总电流表达式。解：1、由平衡态粒子数守恒方程得-Daq2n=Vjn,化简得亥姆霍兹方程2n

12、+k2n=0,k=&/Da(1)对(1)分离变量法求解。设n=X(x)Y(y),有V2X+X=0,V2Y+K；Y=0,九；+%2=k2(2)为了保证 XY 方向的对称性，所以有为=%=九=4片/2Da,考虑到边界条件n|工=0的限制，由(2)得X=sin,x,Y=sin,y,1二m二/a(3)注意到密度 n 恒正，所以自然数 m 只能等于 1,由(3)得密度分布和电离条件为二x.二y.222n=n0sinsin,-ia=2Daaa(4)2、总电流为aa,_二x-yI=jdxdy=e-LeREsinsin%xdy=00aa8eenEDa、i3-o2T九、电子静电波的色散关系为co=8pe

13、+kvth,这里vth=e。给出波的相速度和群速2me度；证明在大的波数 k k 时，波的相速度和群速度相等，并给出其值。证：群速vg=gdk3kvth2小2e+3k2v；/2相速vp=一pk.，3/4/2当k很大时v0=v0pg推导鞘层中的电场分布、电势分布、碰撞情形 ChildChild 定律及鞘层厚度与平均自由程的关系式。解：课件 9.29.2 节。粒子连续性方程满足口口=nsus(2eiE/二M)1/2将（1）代入高斯公式得，dEeniensus二二17-2dx；0；0（2eiE/二M）在鞘层边界近似有E（0）=0,解得电场分布为2/31/32/3E=(Senzus/20)(2ei/：

14、M)x令电势?t足G（0）=0,对（2）积分得电势分布为注意到J=e0us,（s）=-V,所以得到 Child 定律形式为3/2253/22e1i1/2VJ=-（-）;0（）F33二Ms由（4）得鞘层厚度与平均自由程的关系式为3/53/5,2-0、2/5/2eV1/51/5s二(二)L)(2)i33二MJH一、由流体运动方程，忽略掉粘性应力项，（1 1）推导出无磁场时电子、离子在等离子体中的定向速度表达式；（2 2）忽略温度梯度，证明定向速度为零时，带电粒子遵守波尔兹曼分布。十、一个碰撞阴极鞘层,忽略鞘层中电子密度和电离效应,取离子定向速度为2eEui二HMUi(1)2/3(ensus)2/3

15、(2ei/二M)J/35/3x(3)(4)(5)无磁场玻尔兹曼积分微分方程段v.柒 5=、nf在速度空间上积分。方程（1）左边第一项为.nnf3-3dv=（nfdv）ftft左边第二项为：:nft(1)解：1 1、课件 7 7 章。rqE3_qEf3_qEk.fHvnfdv=Zfdv=f=0,mkmbcvkkm-令 v=u+w,其中 u 为定向速度，w 为无规则速度。注意 u 不显含 v,第二项积分得mvv*nfd3v=xmvvl-nfd3v=m、vvnfd3vl二为333、=m(、*(uunfdvuwnfdv，wwnfdv)3、二m(u,、)unu(,，nu)m-.(nuwfdv),1233

16、mekwknfdvmwkwlnfdvk区.kT-X因为 w 为无规则速度，(8)第二项等于零；(8)的第四项为粘性应力项，这里忽略为零；(8)的第三项为压强的微观表达式，当粒子分布为各向同性的麦克斯韦分布时23123wknfdw=-nwfdw31009ao222m3/2等俯世地)n.dwxdwydwz(wxwWZ)()e2T32二T-所以mZ-ekJwjnfd3v=VnT(10)k区将粒子连续性方程(6),等式(10)代入积分(8),并认为粒子密度 n 不随空间改变，得i.3-.nn_fmvvWnfdv=mn(uW)u+mu=mu十nT(11)左边第三项为vnfd3v-、vkk：nf3一dv八

17、xkk(nvkfd3v)=、*(nu)(3)(4)右边碰撞项为nf3dv=、t、t由(2)-(5)得粒子连续性方程、/、n2n(nu)=-、：tft方程(1)两端乘上 mv,在速度空间上积分。方程mv-nf-d3v=m(vnf)d3v=2tft(1)左边第一项积分得fnu；:u：:nm=mnmuft；:tft(5)(6)(8)n(旦)3/24二e32二T0m2wnT2Twdw=m(9)t：:t第三项积分得mvqE*vnfd3v-%“，mvkekqE-nfdmkimFM_一二v3_=(-qnEifkekd3v)=-qnEkiNqnE-Tn=0代入 E=于方程(8)中，得1(q中，Tlnn)=0l

18、nn=lnn0-这里lnn。为积分常数，所以由(16)得到玻尔兹曼分布_qi/Tn=rte十二、在等离子体源离子注入中，当负高压脉冲(幅值 V)V)加到金属靶上时，靶表面附近电子立即被排斥出鞘层区域，由于离子质量大，没有来得及运动，留下一个均匀的离子鞘层，设离子密度为常数 n,n,并假设在鞘层边界电场和电势为零，求平板、柱形和球形靶鞘层内电场和电势分布，以及鞘层厚度表达式。解：鞘层电势满足泊松方程1、对于直角坐标系，(1)为d2：J_en.2dx0(2)积分得E(x):一enxC1,中二-enx2C1XC2；。2p带入边界条件中(0)=V,E(s)=0,(s)=0,解得(12)右边碰撞项积分得

19、mv、nf3、n3dv=mvfdvmn、t、：t-、：tvf3dv=、nmumn、t、Ut(13)由、2、(11)、(12)、(13)得无磁场时带电粒子在等离子体中的定向速度表达式,：U,I、L 一,Umn(u*)u)-qnEnT=mnft、.t当定向速度U=0并且忽略温度梯度时，稳定状态下方程(7)变为(14)(15)(16)enen、2,2V.1/2E(x)=-(x-s),：/(x)=(x-s),s=()；02；0en2、对于球坐标系，(1)为1d2游enf(r)二rdrdr；0(4)积分得E(r)Ur(r)en2一r6；oC1c一C2r带入边界条件G(R)=、，E(s)=0,6(s)=0

20、,解得(3)(4)鞘层厚度 s 满足en/E(r)=(r3-03多)，力(r)=-ren/2一(r6；。2s-3s2)r(5)2s3-3Rs2R36；00RVen(6)3、对于柱坐标系，(1)为1d,d:：(r)=rdrdren(7)(7)积分得enE(r)r2；0en2r2C11nrC24；0带入边界条件(R)=,E(s)=0,6(s)=0,解得2E(r)=-en-(r-),(r)=en(r2-2s21nr-s2+2s1ns)(8)2；0r4；0鞘层厚度 s 满足2_2_2._2_4；0_s-R+2sInR-2sIns+V=0(9)en版权所有，违者必究！英文版低温等离子体作业1-1、Ina

21、strictlysteadystatesituation,boththeionsandtheelectronswillfollowtheBoltzmannrelation.n=n0exp(-q/kT)Showthattheshieldingdistanceisthengivenapproximatelyby(0kTeTi、1/2,D=(2)(TeTi)neandthatDisdeterminedbythetemperatureofthecolderspecies.解：英文版 1.41.4 节。泊松方程满足靖=(ni-ne)=-en0-(exp(-e/kTi)-exp(e/kTe)(1)；O；O

22、对(1)的右端做线性展开，保留电势的一阶项得26二典史mil；。kTeTi假设电势是球对称的，在球坐标系下(2)变成2:旦一吧.玛+(3rdrdr；0kTeT注意边界条件1rq=0,6|r=e=-e/4n讥r,解得电势分布并求出 hD表达式/，D,；0kTeTi、1/2,1D=(2)(TeT)ne当Te.T时，德拜长度取决于较小的温度T值。2-1、Themagneticmomentofachargedparticlegyratinginamagneticfieldisdefinedastheproductofthecurrentgeneratedbytherotatingparticletim

23、estheareaenclosedbytherotation.Showthatthisisequalto=W_/B.证：粒子所受的力 F 满足2F=mv/rc=qv父B=qv亚(1)解得粒子回旋半径和回旋频率为rc二mv/qBc=v_/rc=qB/m粒子在垂直磁场方向上圆周运动形成一个小的电流环，其电流满足2、3e4二；0r(4),；0kTeTi1/2,D:(-T)Tene=(；0灯2nei)1/2I=qf=qc/2=qB/2m(3)所以，此电流环的磁矩为2mvW2BB2-2、Considerauniformmagneticfieldandatransverseelectricfieldtha

24、tvariesslowlywithtime.Thentheelectricdriftvelocityalsovariesslowlywithtime.ThereforethereisaninertialforceF=-mdvDE/dt.ShowthattheFBvF二一fqB将（2）代入（3）,注意E_LB,mdE=-2(4)qB2dt这正是极化漂移的速度公式。2-3、ConsiderthemagneticmirrorsystemwithlengthL.ThemagneticfieldmaybeapproximatedbyB(z)=B0(13z2/L2),wheredenotesthecoor

25、dinatefromthemidplanealongthefield.z(1) whichparticlewillbeconfined?(2) Calculatetheprobabilityofloss.(3) Showthatparticlemotionissimpleharmonicandgiveoutthefrequency.解：1、1、由 B(z)分布，可以求出Bm=4B0,由磁矩守恒得12122mV0_2mVm_121,即丫0=一%,(1)BOBm-2-当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有vm_L之v0,因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜(4)polarizationdriftcan

26、bededucedbytheexpressionofthedriftinthegeneralforcefield.Soitisalsocalledinertialdrift.证：粒子在电场中的漂移速度为EBvE.B2所以粒子在时变电场中所受的惯性力为dvEF二一m出粒子在一般力场中的漂移速度为mdEB2dt(1)(2)(3)vDP=dE(一dtB)BmqB(B(dEdtdEB)(B*B)dt，小1中央，粒子速度满足v0_2V02、逃逸粒子百分比Pd:sinidl-100A4%3、在 z 轴方向，粒子受力F 等于粒子运动方程为Fz一旭dzFz(3)mz=Fz6B。L2(4)粒子运动为简谐振动，其

27、频率为5-1、AssumingthatthedistributionfunctionforelectronsistheDruyvesteyndistribution,calculatetheaverageelectronenergyandthedirectedvelocity.解：德留维斯坦分布为f=Aexp(23m/2228eEeav4)归一化系数 A 满足1=f(v)d3v=4二Aexp(一23me2228eEeaeav4)v2dv(2)23me2228eEea代入(2)得二A(3m2,8e2E2,、341/4.2)exp(-)d=1(3)ea0所以归一化系数4(3/4)(8)3/4(2m

28、e,222eEeaea)3/40.37严衣eEeaea3/2)0平均动能为123Kemevfdv=2二meAexp(-22me23me.(3/4)(8e2E2ea)3/4(_23me2228eEea23me2228eEeaea44v)vdv)目4exp(-)1/4d0m(5/4)3m2*2n/02=(3/4)()3-(5/4)3-(3/4).ma/meeEa=04.ma/meeEea4二eE，eadf2.4二eE2定向速度为ue=eav2dv=-吧fdv23medv3me022_4二eEea1/3me3/43me42(222)eXP(-222v)dv3R二】(3/4)8e2E2ea08e2E：

29、2二二/3、1/41/4eEea、1/21/41/2=-()()=0.69(eEea/mJ3】(3/4)8me*7-1、Considerahigh-pressuresteady-statedischargeconfinedinsideofarectangularboxhavingedgesoflengthametersalongx,bmetersalongy,andcmetersalongz.Thecenteroftheboxislocatedatx=0,y=0,z=0.TheplasmaiscreatedbyavolumeionizationG=ineandislostambipolardi

30、ffusionwithaconstantambipolardiffusioncoefficientistheelectron-neutralionizationfrequency.Assumethattheelectrondensityneisn0inthecenteroftheboxandiszeroonthewalls.(a)FindanexpressionforthedensityDa,、iandthedimensionsofthebox.v2ne=0,k=JvJDa(1)22qX+%X=0(2.1)V2Y+?；Y=0(2.2)V2Z+7;Z=0(2.3)发十九：十八；=k2(2.4)解

31、方程(2.1),考虑到边界条件X(-a/2)=X(a/2)=0和X之0得JIJIX(x)=cosx,x=一aa4eEea3】(3/4)me23mj3/4(c/i-22)8eEea2(_(2L22eEe)J/2exp(-.2)d.0tothewallsbyD.Herei iYane(x,y,z)insidethebox.(b)Findtherelationbetween解：由平衡态粒子数守恒方程得-DaV2n=vine,化简得亥姆霍兹方程对(1)分离变量法求解。设ne=X(x)Y(y)Z(z),有(3.1)叵I理有Y(y)=cosy,力=,bbnJIZ(z)=cosz,z=一cc注意到ne(0,0,0)=n0,由(3.1)(3.2)(3.