备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题32推理与数列的结合：类比与归纳

1、专题 32 推理与数列的结合：类比与归纳考纲要求：1. 了解数列的概念（定义、数列的项、通项公式、前n项和）2. 了解数列中与推理相关的思想与方法；3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.基础知识回顾：1.函数的迭代：设 f 是D D的函数，对任意x D, 记 fCQx） = X, fCRx）= f（X）ff）（X）=f f（X）j|f（n*Xx）=f f ），则称函数f f x）为f （x）的n次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其f（nQx）通常具备某些特征（特征与n）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特 点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到fnx的

2、通式2. 周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。3. 数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）4. 数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用维角标aj进行表示，其中i代表行，j代表列。例如：a34表示第3行第4列。在题目 中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点

3、，确定所求数 的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。应用举例：类型一：与通项公式有关的推理例 1：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（）A61B.90C.91D127-3 -思路思路； 从所给團中可发现第耳个團可以溯在前一个團的基础上从所给團中可发现第耳个團可以溯在前一个團的基础上， 外面阖上一个正六边形外面阖上一个正

4、六边形 且这个正六边且这个正六边 形形的毎条边有轉个小正方略设第用个團的聲巣总数为的毎条边有轉个小正方略设第用个團的聲巣总数为几町，几町，贝何知贝何知只耳只耳) )比比/ /5-1)梦的蜂巣数即为外梦的蜂巣数即为外 围的蛭围的蛭巢数。巢数。即即6-6( (每条边朴个，茸中顶点被计算了两次每条边朴个，茸中顶点被计算了两次 所以要所以要减减6儿所以有儿所以有/()-/(-1) = 6(-1) 联想联想到到数列数列中用到中用到的累加的累加法，从而由法，从而由/(n)-/(l) = 6x(-l) + (rt-2)+- +1=3-3/:,且且/(1) = 1贝贝U于于5)=3/?芻芻十十 也川也川= =

5、6可得可得/(/(6) = 36】一】一3披披6 + 1 = 91答案：C类型二、与数列的性质有关的推理 例 2 :若数列:an ?是等比数列，且an0,则数列bn二n现J|l n门，N”也是等比数列若数列：an是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为()aa Hi ana4+a2+HI+anAbnn是等差数列B.bn1 2n是等差数列nnC=晌耳I %是等差数列D. bn =是等差数列思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算(乘除法，乘方开方)，到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算(加减，数乘)。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方，所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应

6、类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该 性质为：若数列：an是等差数列，则bn= 比比 川川an是等差数列。这个命题是正确的，n证明如下：证明：设等差数列an的公差为d，则a a2 川川 an an 1a aa?川川a.bn 1n +1n_ n印印a? HI寺寺1- n 1印印a? HI %n(n +1)_ na.1- - 印印a?HI a._an.iV a. p 川川. .a.-i- a.n(n +1)n(n +1)Ta为等差数列 a. 1-ai hn 1 -i d, i =1,2,IH,nnd n_1d2Wn/ 呼dn (n +1)n(n +1)n(n +1)2.b初公差是2的等差数列

7、答案：B37 9 11,43=13 15 17 19，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是61，则思路思路：观蔡这几个等式不难岌现以观蔡这几个等式不难岌现以T特征特征：i）R R 可分解为算个连续奇数的和可分解为算个连续奇数的和（羽从羽从，开皓逑些奇数开皓逑些奇数是是 按按3.工卫工卫殳殳顺次排列的召所顺次排列的召所以以在第川个数时在第川个数时， 所用的奇数的总數所用的奇数的总數为为2 + 3 + 5+打5一1）个。个。2 2从从3幵始尊幵始尊起，起，6堆第亘二堆第亘二+ +1=30个个奇数奇数“nn = = l lf f可知可知所用的所用的奇数总奇数总数为数为27个，个，肖肖 阳阳可知可知2

8、2所用的奇数总数対站所用的奇数总数対站个。个。所所m = 8答案：C类型三、与前n项和数阵有关的推理例 4 :将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字2014出现在（）1234567 Xy10112 33!4 15 16A第 44 行第78 列B第 45 行第 78 列C第 44 行第77 列D第 45 行第 77 列思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第k行最后一个数为k2，所以考虑离2014较近的完全平方数：442=1936,452=2025，所以2014位于第45行，因为1936是第 44 行的最后一个数，所以2014为第 45 行中第2014-1936严78个数，

9、即位于 第 45 行第 78 列答案：B例 3:对于大于1 的自然数m的三次幕可用奇数进行一下方式的“分裂”：23=35,m的值是（）A6B.7C.8D.9-5 -例 5:从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()12 34567S91014 15托17“92023 2427 2829332333435 3637 58 39 40A2097B2112C.2012D.2090思路：当三甬刑在移动时，现察其规律，内部的数如果设第一行的数思路：当三甬刑在移动时，现察其规律，内部的数如果设第一行的数为水为水心

10、心则则第二行的数湖第二行的数湖” + 7卫卫+ +8卫卫+ +9,其和为其和为3( + 8),第三行的数为第三行的数为也也+ +14卫卫+ +诂诂卫卫+ +16旳旳+ +灯卫灯卫+ +墟墟，蔚昉蔚昉5(c+ 16),所以这九个数的不咙所以这九个数的不咙JSa+ 3(a+ 8)+5(+ 16) =9+104,代入到各个选项中看能否算出代入到各个选项中看能否算出。即可。通过即可。通过计阜计阜可得：可得：9+104 = 20120,O=212符合题意符合题意答案：C例 6:把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵,思路：观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数，偶数行均为偶数。所以可知ay=20

11、15一定在奇数行中，先确定i的值，因为奇数构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以第k个奇 数ak=V k-1 2，因为2005 = 1 2 1008-1，所以可得2015为第1008个奇数，考虑2015前面的奇数共占了多少行。由第i行由i个奇数可得：前31个奇数行内奇数共有31 131一乩丄=961，前31个奇数行内奇数共有32 1聖一丑丄二1024，而设aiji,j jN是位于这个三角形数中从上往下数第i行，从左往右数第j列的数，如a32=5,若aj= 2015，则i j二23AR7石10liJ3I618A111B. 110C108D. 10512152 2961：1008”：1024

12、所以2015在第32个奇数行中，即i =63，再考虑j的值，第 31 个奇数行最后一个奇数为20151921961 2 -1 =1921，因为47,所以2015为第 32 个奇数2-7 -行的第 47 个数，即j =47，从而i j =110答案：C方法、规律归纳：（一）归纳推理：1、 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个 别到一般的推理2、 处理归纳推理的常见思路：（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律（2） 在寻找规律

13、的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是 变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意实战演练：1 .【安徽省六安市第一中学 2018 届高三上学期第三次月考】观察下列各式：.2,2小3,3.4,145,5一1010/、a b=1,a b =3,a b =4, a b =7, a b =11，贝U a b二()A 199B. 123C. 76D. 28【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列 1, 3, 4, 7, 11,苴规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求倩为数列中的第十项.继续写出此数列

14、为 b 3, 4, 7, 11, 13, 29, 47, 76, 123,第十项为 123,即a10+b10=123,故选BC.- D52.在数列an f中,2anan 1-2an-11冇：-一丄2an4，右a1，则a20仃的值为（）5A35【答吟吟- -如需如需- -黑黑绞绞 左左右两侧累加得到右两侧累加得到1-13的前处项的和，涓去一的前处项的和，涓去一些项，计算得到些项，计算得到。41故答案为故答案为小小点睛点睛：这个砸目考査的是数列的拥口问题这个砸目考査的是数列的拥口问题。首先数列求和选用的方法有首先数列求和选用的方法有，裂项求和裂项求和，主真用于分式能够通主真用于分式能够通过写成两项

15、过写成两项的形式从而消璋中间的项的形式从而消璋中间的项；分组求和分组求和，用于相邻两项之和是定值用于相邻两项之和是定值，或者有规律的或者有规律的；错位相错位相 减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。4.福建省三明市第一中学2018 届高三上学期期中考试】已知Sn为数列 订的前n项和,且log2Sn1二n 1,则数列G ?的通项公式为（）【解a- - a 2a1一仁3 1a 2a2一1 5氏=2a4,5可以看出四个循环一次故a20仃二a4 504. a故选B3.已知数列n -11，则数列；;；：an的前 40 项的和为（)A 19325c 4120A.BC D 204628441答案】

16、D【解析】由弔【解析】由弔+1 -% =（-1广广n(n+2)41*3911 I%)%) _ _如如+ +码码E_ _碍碍7 +码石码石Oas+-.- +fll =务务_ _石石+ +乔乔菸菸N 满足a1 =1,an 1 -an二-1-9 -【答案】BAan=2n3B.an二2nn = 1n _2C.an=2n -1an2n 1【解析】由log3( + l) = +b得S斤+1=2川当= 10寸，=3：当川2时，6=6=氐氐- -= =化化3 FZ = 1所叹数列纬的通项公式为的=；. 一 c2 w 2故选氏5 【天津市静海县六校 2018 届高三上学期期中联考】若数列:a中，a 3,an3n

17、J=4 n亠2，则a20i7的值为（）A1B.2 C 3D4【答案】C【解析】印=3,耳an=4 n - 2，. an 1 a 4 an i= ana an -2即奇数项偶数项构成的数列均为常数列，又Taj=3. a20仃=3故选C6 数列an中，已知对任意正整数n,有aa2 a3. .nan2，1则昇a?2an【答案】A80B. 16C. 26D30A2nB.14j1C.2n-1D. 4n-13【解当n =1时,ai二1，当门一2时，an=Sn-Sn/=21 -2-1= 2，所an=2n2 nJan =42a1a22 2一一2a3an1 4n1-1 4 424n41士 =丄4n-1，选B.1

18、437.各项均为正数的等比数列an f的前项和为Sn,若Sn=2,S3n=14，则Sqn二（-11 -【答案】D【解析】由等比数列的性质可得Snn-S2n,S4n-S3n成等比23=S2nSnSn?务=S2n=6=S2n -Sn =4二S4n -S3-2 26=S4n= 30,故选D.个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）八八111）r iiAivivB21,丄,CC,D20,1，丄I 2J12J2J【答案】B【解析【解析】趣分趣分析析: :由由题童亀因为数题童亀因为数列列兔兔是等差数列是等差数列，所所叹设数叹设数列列陽陽的通项公式的通项公式为为陽二硯陽二硯+ +（耳耳-1）0，则旳厂碣则旳厂碣+ +（鮎一鮎一1）乩乩所以所以生生= =节_?二因为巴因为巴是一个与是一个与耳无关的常数耳无关的常数所所畑畑- -“0或或J J 角角+（2x1）圧圧川川=0,所以所以色可肓堤色可肓堤1或或丄，丄，故选丘故选丘5 2考点：等差数列的通项公式 .9【浙江省嘉兴市第一中学 2017 届高三适应性考试】 已知数列 fa中的任意一项都为正实数，且对任意m, n N*，有aman= am，如果印。=32，则印的值为（）A-2B. 2C. 2D.-2【答案】Can =