特岗教师考试数学专业知识总复习题纲

1、特岗教师考试数学专业知识总复习题纲集合一、复习要求1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5 、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导1 、集合的概念：( 1 )集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；( 2)集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集 y|y=x 2,表示非负实数集，点集(x , y)|y=x 2 表示开口向上，以y

2、 轴为对称轴的抛物线；( 3)集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0, 1, 2, 3,;描述法。2、两类关系：( 1 )元素与集合的关系，用或 表示；( 2)集合与集合的关系，用， =表示，当A B 时，称 A 是 B 的子集；当A B时，称A是B的真子集。3、集合运算(1)交，并，补，定义：AC B=x|x CA 且 xCB, AU B=x|x A,或 x C B, CA=x|x UI,且x A,集合U表示全集；(2)运算律，如An( bu C)=(An B)u (An C),cu (AnB)=(cua)u( cub),CU (AU B) = (CUA) n

3、 ( CUB)等。4 、命题：( 1 )命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；(2)复合命题的形式：p且q, p或q,非p；( 3)复合命题的真假：对p 且 q 而言，当q、 p 为真时，其为真；当p、 q 中有一个为假时，其为假。对p 或 q 而言，当p、 q 均为假时，其为假；当p、 q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时，非p 为假；当p 为假时，非p 为真。(3)四种命题：记“若 q则p”为原命题，则否命题为“若非 p则非q"，逆命题为“若q则p "，逆否命题为"若非 q则非p其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶

4、数个。5、充分条件与必要条件(1)定义：对命题“若 p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件，两种命题均为真时，称 p 是 q 的充要条件；( 2)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合 A,满足条件q的所有对象组成集合 q,则当A B时，p是q的充分条件。B A时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；( 3)当p 和

5、q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想。6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。7 、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学 问题。三、典型例题例 1、已知集合 M=y|y=x2+1, xCR, N=y|y=x+1 , xCR,求 MA N。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。 M=y|y=x 2+1, xC R=y|y > 1 , N=y|y=x+1 , xC R=y|y C RMAN=M=y|y >1

6、说明：实际上，从函数角度看，本题中的M N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合y|y=f(x), xC A应看成是函数 y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合 (x, y) |y=x 2+1, xCR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例y|y >1=x|x >1。例 2、已知集合 A=x|x 2-3x+2=0 , B+x|x 2-mx+2=0,且 AA B=B,求实数 m范围。解题思路分析：化简条件得 A=1, 2, AA B=B B A根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=4

7、, B=1或2 , B=1, 22当 B=(j)时， =m-8<02 2 m 2.2，、一0当B=1或2时，m无解1 m 2 0或 4 2m 2 0当 B=1, 2时,m=3综上所述，m=3或 2, 2 m 2.2说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当 B=1或2时，不能遗漏4 =0。例3、用反证法证明：已知 x、yCR, x+y > 2,求证x、y中至少有一个大于 1。解题思路分析：假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y >2矛盾假设不成立 x、y中至少有一个大于 1说明；反证

8、法的理论依据是：欲证“若 p则q”为真，先证“若 p则非q”为假，因在 条件p下，q与非q是对立事件(不能同时成立，但必有一个成立)，所以当“若 p则非 q”为假时，“若p则q” 一定为真。例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。解题思路分析：利用“”、“"符号分析各命题之间的关系D C B AD A, D是A的充分不必要条件说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线：ax-y+b=0经过两直线 1： 2x-2y-3=0 和2: 3x-5y+1=0交点的充要条解题思路分析：从必要性着手，

9、分充分性和必要性两方面证明。由 2x 2y 3 0 得 J,2 交点 P (" U)3x 5y 1 04 ' 4过点P1711a 4417a+4b=11充分性：设a, b满足17a+4b=11, 11 17a一 b 4代入方程：ax y 11 17a 041117整理得：（y 12） a（x 17） 044此方程表明，直线 恒过两直线y H 0 x 17 0的交点（17 U）4'44 ' 4而此点为1与2的交点充分性得证综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，

10、从必要性着手，再检验充分 性。四、同步练习（1） 选择题1、设 M=x|x 2+x+2=0, a=lg（lg10）,则a与 M 的关系是A、a=M B 、M a C 、a M D 、M a2、已知全集 U=R A=x|x-a|<2, B=x|x-1| >3,且 An B=（j）,则 a 的取值范围是A、0,2 B > （-2,2）C 、（0, 2 D 、（ 0, 2）3、已知集合M=x|x=a2-3a+2 , aCR,N、x|x=b2-b, bC R,则M,N 的关系是A、M NB、M N C 、M=N D 、不确定设集合 A=x|x CZ 且-10 < x< -

11、1 , B=x|xZ,且|x| W 5,则AU B中的元素个数A、5、A、1110集合M=1, 2, 3, 4, 5的子集是15B、166、对于命题“正方形的四个内角相等”，A、所给命题为假BC它的逆命题为真D7、" a W 3 "是 COS a 丰 COS 3 ”的A、充分不必要条件BC充要条件8 、集合 A=x|x=3k-2玄早A、S B A B、16、31、15、32卜面判断正确的是、它的逆否命题为真、它的否命题为真、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件,kCZ, B=y|y=3 +1, Z, S=y|y=6m+1 , mC Z之间的关、S=B AC 、 S B=A

12、 D 、 S B=A9、方程m4+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0Vme 1 或 m<0B、0Vme 1C m<1D、me 110、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q： a, b是整数，则p是q的A、充分不必要条件B、必要不充分条件充要条件D、既不充分又不必要条件（2） 填空题11、已知 M=m 1m_4 Z, N=x| Jx_3 N,则 MA N=。2212 、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者 65人，则两者都爱好的人数最少是 人。13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是 。14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为

13、零”的逆否命题为 。15、非空集合p满足下列两个条件：(1) p 1,2, 3, 4, 5, (2)若元素aCp, 则6-a C p,则集合p个数是。（3） 解答题16、设集合 A=(x , y)|y=ax+1 , B=(x , y)|y二|x|,若 AC B 是单元素集合，求 a 取 值范围。17、已知抛物线 C: y=-x2+mx-1,点M (0, 3) , N (3, 0),求抛物线 C与线段MN有 两个不同交点的充要条件。18、设 A=x|x 2+px+q=0 w 4 , M=1 , 3, 5, 7, 9 , N=1, 4, 7, 10,若 AA M=（j）, AH N=A 求p、q的

14、值。19、已知a x2 1 , b=2-x , c=x2-x+1 ,用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小2于1。函数一、复习要求7、函数的定义及通性；2、函数性质的运用。二、学习指导1、函数的概念：(1)映射：设非空数集 A, B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与 之对应，则称从 A到B的对应为映射，记为 f ： A- B, f表示对应法则，b=f(a)。若A中不 同元素的象也不同，则称映射为单射，若 B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为 满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。(2)函数定义：函数就是定义在非空数集A, B上的映射，此时称数集 A为定义域，象集C=

15、f(x)|x C A为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲， 定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。求函数定义域，通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。要熟记基本初等函数的 定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函 数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定 义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求 已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法

16、及凑合法。求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不 等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等 数学范围内，用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就 是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。2、函数的通性(1)奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f( x) f(x) 0 ,f( x) fTT1 (f(x) W0)。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。函数的奇偶性

17、是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。(2)单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：定义法，即比差法；图象法；单调性的运算性质(实 质上是不等式性质)；复合函数单调性判断法则。函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大 小，解抽象函数不等式等。(3)周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。求周期的重要方法：定义法；公式法；图象法；利用重要结论：若函数f(x)满足

18、f(a-x)=f(a+x), f(b-x)=f(b+x), ab,则 T=2|a-b| 。(4)反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先 要判断函数是否具备反函数，函数 f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定 义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。设函数f(x)定义域为A,值域为C,则f -1 f(x)=x, x e Aff -1(x)=x , xCC8、函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程 中，充分发挥图象的工具作用

19、。图象作法：描点法；图象变换。应掌握常见的图象变换。4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。 在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的 函数模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法(变量代换法) 解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用 题的关键。5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。三、典型例题例1、已知f(x) &3 ,函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关

20、于直线 y=x对称，x 1求g(11)的值。分析：利用数形对应的关系，可知 y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化 g(x)问题为已知 f(x)。y=f -1 (x+1)x+1=f(y) x=f(y)-1y=f -1 (x+1)的反函数为 y=f(x)-1即 g(x)=f(x)-1g(11)=f(11)-1=-2评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当 f(x)存在反函数时，若 b=f(a), 则 a=f-1(b)。例2、设f(x)是定义在(-8, +8)上的函数，对一切 xC R均有f(x)+f(x+2)=0,?-1<x < 1时，f(x)=2x-1 ,求当1&

21、lt;xW3时，函数f(x)的解析式。解题思路分析：利用化归思想解题. f(x)+f(x+2)=0 . f(x)=-f(x+2)该式对一切xCR成立 以 x-2 代 x 得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当 1<xW3 时，-1<x-2 < 1 . f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5f(x)=-f(x-2)=-2x+5f(x)=-2x+5(1<xW3)评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。例3、已知g(x尸-x 2-3 , f(x)是二次函数，当 x -1 ,

22、2时，f(x)的最小值，且 f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。分析：用待定系数法求f(x)解析式设 f(x尸ax 2+bx+c (aw0)则 f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)为奇函数53 / 62f(x)=x 2+bx+3下面通过确定f(x)在-1 , 2上何时取最小值来确定b,分类讨论。f (x) (x )2 3 ,对称轴 x 242(1)当 b >2, bW-4时，f(x)在-1 , 2上为减函数 2(f(x)min f(2) 2b 72b+7=1b=3 (舍)(-1 , 2) , -4<b<2 时2(f(x)minb2

23、3f( -) 3241b 2也(舍负)b(3)当 w-1, b>2时，f(x)在-1 , 2上为增函数 2(f(X) min=f(1)=4-b . 4-b=1 b=3- f(x) x2JXx3,或 f(x) x3 3x 3评注：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值。例4、定义在 R上的函数y=f(x) , f(0) W0,当x>0时，f(x)>1 ,且对任意的 a、bC R,有 f(a+b尸f(a)f(b),(1)求证：f(0)=1 ;(2)求证：对任意的 xCR,恒有f(x)&g

24、t;0 ;(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x) - f(2x-x 2)>1 ,求x的取值范围。分析：(1)令 a=b=0,贝U f(0)=f(0). f(0) w0 . f(0)=1(2)令 a=x, b=-x则 f(0)=f(x)f(-x)f( x)1f(x)由已知x>0时，f(x)>1>0当 x<0 时，-x>0 , f(-x)>0f(x)1f( x)又 x=0 时，f(0)=1>0对任意 x e r f(x)>o(3)任取 x2>x1,贝U f(x 2)>0 , f(x 1)>0 , x2-x 1&g

25、t;0f(xc)- f(x2) f( x1) f(x2x1 ) 1 f(x1)1. f(x 2)>f(x 1) f(x)在R上是增函数(4) f(x) f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0) , f(x)在R上递增由 f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>00<x<3评注：根据f(a+b尸f(a) f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值。利用单调性的性质去掉符号“ f”得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法。例 5、已知 lgx+lgy=2lg(x-2y) ,求 log、.万x 的值。 y分析：在化对数

26、式为代数式过程中，全面挖掘x、y满足的条件x 0, y 0由已知得x 2y 0 2 xy (x 2y)x=4y , x 4 y. x, , log 2 y log ,2 4 4例6、某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件,为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月 产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用y=abx+c (其中a, b, c为常数)或二次函数,已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。分析：设 f(x尸px 2+qx+r (pw0)f (1) p q r 1则 f (2)

27、 4p 2q r 1 f (3) 9p 3q r 1.3p 0.05 q 0.35 r 0.7f(4)=-0.05X 42+0.35 X4+0.7=1.3设 g(x)=ab x+cg(1) ab c 1则 g(2) ab2 c 1.2g(3) ab3 c 1.3a 0.8b 0.5c 1.4g(4)=-0.8 x 0.5 4+1.4=1.35 |1.35-1.37|<|1.3-1.37| 选用y=-0.8 x (0.5) x+1.4作为模拟函数较好。四、巩固练习(一) 选择题1 、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在-1 , 0上单调递增，设a=f(3) , b=

28、f( 21 ) , c=f(2)，则 a, b, c 大小关系是A、 a>b>c B 、 a>c>b C 、 b>c>a D 、 c>b>a2、方程loga(x 2) Jx 9>0且2金1)的实数解的个数是3、y (1)|11 、已知 f(x)=1og sx+3, x 1 , 9,则 y=f(x)2+f(x 2)的最大值是 。12、已知 A=y|y=x 2-4x+6 , y C N, B=y|y=-x 2-2x+18 , yC N,则 An B 中所有元素的 和是 o13、若()(x) , g(x)都是奇函数，f(x)=m ()(x)+ng

29、(x)+2 在(0, +8)上有最大值，则 f(x) 在(-8, 0)上最小值为 。14、函数 y=1og 2(x2+1) (x>0)的反函数是 。1a b a c x x x|的单调减区间是38, -1 ) U1 , +8)D、 ( - 8, +A (-00, 1) B 、 (1, +oo)Coo)9、函数y 10gl (x解答题16、若函数f(x) "ax1的值域为-1 , 5,求a, c。 x c 4x 12)的值域为 2A、(-8, 3 B 、(-8, -3 C 、(-3, +8) D 、 (3, +8)10、 函数y=1og 21ax-1|(awb)的图象的对称轴是直

30、线x=2,则a等于A 1 B 、二 C 、2 D 、-2226 、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为A、 3 B 、4 C 、6 D 、12(二) 填空题7 、已知定义在 R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当0WxW1时，f(x)=x ,则f(15)= 28、已知y=1og a(2-x)是x的增函数，则a的取值范围是 。9、函数f(x)定义域为1 , 3,则f(x 2+1)的定义域是 。15、求值:(三)17、设定义在-2 , 2上的偶函数 实数m的取值范围。f(x)在区间0 , 2上单调递减,若f(1-m)<f(m)10 、

31、函数 f(x)=x 2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=3 ,则 f(b x)与 f(c x)的大小关系18、已知0<a<1,在函数y=1og ax (x>1)的图象上有 A B, C三点，它们的横坐标分 别是 t , t+2 , t+4(1)若 ABC面积为 S,求 S=f(t);(2)判断S=f(t)的单调性；(3)求S=f(t)最大值。19、设 f(x)= a2, xCR2x 1(1)证明：对任意实数a, f(x)在(-8, +oo)上是增函数；(2)当f(x)为奇函数时，求 a;(3)当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k,解不等式f 1(

32、x) log2Lx。k20、设 0<a<1,函数 f(x)= log a x_3 的定义域为m, n,值log aa(n-1) , log aa(m- x 31),(1)求证：m>3(2)求a的取值范围。数歹U、复习要求11、 等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质;2、一般数列的通项及前 n项和计算。、学习指导1 、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数 的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整 数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。研究数列，首先研究对应法则通项公式：

33、an=f(n) , nCM,要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式 S： S = a1 + a2+-an,由Sn定义，得到数列中的重要公式：anS1n 1SnSn 1 n 2一般数列的an及S,除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列(1)定义，an为等差数列an+1-a n=d (常数)，n N+2an=an-1+an+1 ( n > 2, n N+)；(2)通项公式：an=an+(n-1)d , an=am+(n-m)d ;前n项和公式：Sn na1皿d幽22(3)性质：an=an+b,即an是n的一次型函数，系数

34、a为等差数列的公差；S n=an2+bn,即S是n的不含常数项的二次函数；k若an, bn均为等差数列，则an± Q,ak ,ka n + c (k, C为常数)均为等差数1 1列；当 m + n = p + q 时，am+an=ap+aq,特例： a1 + an = a2+an-1=a3 + an-2 =；当 2n=p+q 时，2an=ap+aq；当n为奇数时，S2n-1 =(2n-1)a n； S奇=a中，S偶=工a中。2 23 、等比数列(1)定义： a=q (q 为常数，anW0) ； an2=an-1 an+1 (n>2, nC N+)； an(2) 通项公式：an=

35、a1qn-1, an=amqn-m;na1q 1前 n 项和公式：Sna1(1 qn) a1anq；q 11 q 1 q(3)性质当 m+n=p+q时，aman=apaq, 特例： aian=a2an-i =a3an-2 =，k当2n=p+q时，an2=apaq,数列ka n , ai 成等比数列。i 14、等差、等比数列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方 程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；（3）若an为等差数列，则aan为等比数列（a>0且awl）；若an为正数等比数列，则log aan为等差数列（a&g

36、t;0且awl）。三、典型例题例1、已知数列an为等差数列，公差 dw0,其中aki , ak2 ,，akn恰为等比数歹U,若 ki=1, k2=5, k3=17,求 ki+k2+- - +kno 解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手 设an首项为ab公差为d a 1, as, a17成等比数列2 a 5 =a1a172. . （ a+4d） =a1（a 1+16d）a 1=2d设等比数列公比为 q,则q 些 an 4d 3 a1a1Xakn项来说，在等差数列中：akn a1 （31）d ka在等比数列中：akn a1qn 1 a13n 1kn 2 3n 1 1k1 k2 kn (2 30

37、 1) (2 311)(2 3n 11) 2(13n 1) n3n n 1注：本题把 k1 + k2+-+kn看成是数列kn的求和问题，着重分析 kn的通项公式。这是 解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。例2、设数列an为等差数列，3为数列an的前n项和，已知 $=7, Ss=75,Tn为数列 昆的前n项和，求Tn。n解题思路分析：法一：利用基本元素分析法c7 6S7 7a1 d 7设an首项为ab公差为d,则2c15 14S1515a1-d 75a12d 1. Sn2 n2. 之2 0 口 至n22 2此式为n的一次函数 Sn_为等差数列 nIn2 an 44法二：an为等差数列，设

38、Sn=An2+Bn2S7 A 7 7B 7_ 一 _2 _1252S15 A 1515B 75A 解之得：BSn -n2 5n ,下略22注：法二利用了等差数列前n项和的性质例3、正数数列an的前n项和为且2高 an 1 ,求: (1)数列an的通项公式；1(2)设bn ,数列bn的前n项的和为Bn,求证：Banan 1解题思路分析：(I)涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=$-Sn-1 2§ an 12 - 4S n = (an+1) 4Sn-1=(a n-1+1)2 (n>2) 4(S n-Sn-1 ) = (a n+1)2-(a n-1+1)24a n=an -a

39、n-1 +2an-2a n-1整理得：(a n-1 +an)(a n-a n-1 -2)=0a n>0(n>2)消元化归。 a n-a n-1 =2a n为公差为在 2 Snan 1a n=2n-12的等差数列中，令n=1, a1(II ) bn (2n11-Bn (一2 al11)(2n1一)a21)1La21(2 2n1) a3-)2n 111(一 一)anan 11 1 (一2 al112 2an 1注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4s=(a n+1)2 推出是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1 , n+1等去代替n,4Sn-1=(a n-1+1)2,它其实就实际

40、上也就是说已知条件中的递推关系是关于 n的恒等式，代换就是对 n赋值。例4、等差数列an中，前m项的和为77 (m为奇数)，其中偶数项的和为33,且a1-am=18,求这个数列的通项公式。分析：利用前奇数项和和与中项的关系令 m=2n-1, n NkS2n 1(2n 1)an 77S 偶(n 1)an332n 177n 133n=4m=7 a n=11a i+am=2an=22又 ai-a n=18a i=20, am=2d=-31 一211bn (一) n ,已知bi+b2+b3=一 , bib2b3=_ ,求等差数列的通 288a n=-3n+23例5、设an是等差数列,项an o解题思路

41、分析： a n为等差数列b n为等比数列从求解b n着手b ib3=b223_ i2 =8b2=l2bi b3i78bib2-4bi 2bib3b2bn2(-)n i 23 2n 或 bn 14n1 22n 5481 abn (2)nan log 1 bn 2a n=2n3 或 a n=-2n+5注：本题化归为bn求解，比较简单。若用an求解，则运算量较大。例6、已知an是首项为2,公比为1的等比数列，Sn为它的前2(i )用 Sn 表不' Sn+1；n项和,(2)是否存在自然数 c和k,使得Sk 1 cSk c解题思路分析：2成立。(2)Sn 14(1Sk i cSkc3c (- S

42、k2)c Sk0 (*)1 、-Sk4(1 I)4231一Sk(-Sk 2)2-Sk022式(*)-Sk 2 c Sk2Sk+i>&-Sk 2 -Si 2 122又 Sk<4由得：c=2或c=3当c=2时 S1=2k=1时，c<Sk不成立，从而式不成立 -S2 2 - c222Sk1 23由 &<&+1 得：-Sk23 一 一当2 2时，|Sk 2 c,从而式不成立 当c=3时，S2,吩=3当k=1, 2时，C<S不成立式不成立ISk134c,ISk2ISk123 一 一当k>3时，-Sk 2 c,从而式不成立2综上所述，不存在自然数

43、 c, k,使Sk 1 c 2成立Sk c例7、某公司全年的利润为 b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相等)从大到小，由 1到n排序，第1位职工得资金b元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职n工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。(1)设ak (1wkwn)为第k位职工所得资金额，试求 a2, a3,并用k, n和b表示ak(不必证明)；(2)证明：ak<ak+1 (k=1, 2,，n-1 ),并解释此不等式关于分配原则的实际意义。解题思路分析：谈懂题意，理清关系，建立模型第1位职工的奖金a1bn第2位职

44、工的奖金a21(1l)bnn第3位职工的奖金a31(11)2nn第k位职，的奖金ak1(11)knnb1b ak ak1 /(1 1)k1b 0此奖金分配方案体现了 “按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。例8、试问数列 igi00sinn 1 的前多少项的和最大，并求这个最大值(lg2=0.3010 )解题思路分析：法一：an2 ( lg ,2)(n 1)a n为首项为2,公差为lg 22的等差数列n(n 1)2Sn2n( lg 2)0.07525n2 2.07525n2 220.07525(n 13.8)13.80.07525 n C Mn = 14 时，(Sn)ma=14.35法二：. a

45、1=2>0, d= lg ,2 0a n是递减数列，且 与必为最大值ak 0ak 102 (k 1)( lg2) 02 k( lg .2)0k 14.2k 13.2k=14 (S n)ma=S4=14.35四、同步练习(一)选择题1 、已知a, b, a+b成等差数列，a, b, ab成等比数列，且 0<log mab<1,则m取值范 围是A、m>1 B 、1<m<8 C 、m>8 D 、0Vm<1 或 m>82、设a>0, b>O, a, X1, X2, b成等差数列，a, y1, y2, b成等比数列，则 X1+X2与y1+

46、y2的大小关系是A X1+X2<y1+y2BC X1+X2<y1+y2D12、已知S是an的前n项和,A是等比数列B、X1+X2>y1+y2、X1+X2>y1+y2S=pn (PCR, nCM),那么数列a n、当Pw 0时是等比数列C 当PW0, PW1时是等比数列 D、不是等比数列13、 an是等比数列，且 an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 等于A 5 B、10 C 、15 D 、2014、 已知a, b, c成等差数列，则二次函数y=aX2+2bX+c的图象与X轴交点个数是A、0 B 、1 C 、2 D 、1 或 215、 设

47、mClog 2m的整数部分用 F(m)表示，则F(1)+F(2)+F(1024)的值是A 8204 B 、 8192 C 、 9218 D 、 80217 、若 X 的方程 X2-X+a=0 和 X2-X+b=0 (aw b)的四个根可组成首项为-的等差数列, 4则a+b的值为1124132431728、在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是A 1557 B 、 1473 C 、 1470 D 、 13689 、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行A、11700m

48、 B 、14700m C 、14500m D 、14000m10 、已知等差数列an中，|a3|二|a 9| ,公差d<0,则使前n项和9取最大值的正整数 nA 4或 5 B 、5或 6 C 、6 或 7 D 、8或 9(二)填空题11、已知数列an满足a1+2a2+3a3+ +nan=n(n+1)(n+2),则它的前 n项和Sn=。12、设等差数列an共有3n项，它的前2n项之和为100,后2n项之和为200,则该 等差数列的中间n项的和等于 。13、设数列an, bn (bn>0) , n C N+满足 an lg1一丝lgn (nCM),则nan为等差数列是bn为等比数列的

49、条件。14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为216cm5,则全面积的最小值是 cm2。15、若不等于1的三个正数a, b, c成等比数列，则(2-log ba)(1+log ca)=。(三)解答题16、已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。17、已知等比数列an的首项为a>0,公比q>-1 (qw1),设数列b n的通项 bn=an+1+an+2 (n C M),数列a n,b n的前n项和分另U记为 An, R,试比较 A与Bn大小。18、数列an中，a1=8, a4=2 且满足 an+2=2an+1-an (nC

50、Nk)(1)求数列a n通项公式；(2)设 Sn=|a 1|+|a 2|+ +|a n| ,求 Sn；1(3)设bn (nC N+) Tn=b1+b2+ - +bn,是否存在取大的整数 m 使得对于任n(12 an)意的nC Nk,均有Tnm成立？若存在，求出 m的值；若不存在，说明理由。32三角函数一、复习要求16、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2 、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等； 3、三角函数的图象及性质。二、学习指导1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不

51、一定(通常把角的始边放 在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同)。为了把握这些角之间的联系，引进终边 相同的角的概念，凡是与终边“相同的角，都可以表示成 k - 360°+a的形式，特例，终边 在X轴上的角集合 a | a =k 180°, kC Z,终边在y轴上的角集合 a | a =k 180°+90°, k C Z,终边在坐标轴上的角的集合 a | a =k 900, kC Z。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大 小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，

52、扇形弧长公式 二| a|R,扇形面积公式 S 1 R 1R2 | |,其中a为22弧所对圆心角的弧度数。2 、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函 数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设P(x , y)是角a终 边上 任一点(与原点不 重合)，记r |OP | JXy2 ,则yx,yxsin, cos ,tan, cot°rrxy利用三角函数定义，可以得到(1)诱导公式：即 k t 与a之间函数值关系(kC2Z),其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；(2)同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式

53、包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟 练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2 a =2cos2 a -1=1-2sin 2 a ,变形后得 cos21 cos2 , sin21cos2 ,可以作为降哥公式使用。22三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期 性的定义：设 T为非零常数，若对 f(x)定义域中的每一个 x,均有f(x+T尸f(x),则称T 为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT (kCZ, kw0)也为f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几 何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本