2020版高考数学大二轮复习3.3三角变换与解三角形学案(理)

1、第3讲三角变换与解三角形考点1三角恒等变换1 .三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”.2 .三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是"1"的代换，1 = sin 2 8 + cos2 0 =tan450等；(2)项的分拆与角的配凑： 如 sin 2 a +2cos2 a = (sin 2 a + cos2 a ) + cos2 a , a = (a B)+ B等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.兀例 1(1)2019 全国卷H已知 a 0, , 2sin 2 a = cos 2 a

2、+ 1,贝U sin a =1 A.5D.2 ,55-18 -(2)2019 天津南开大学附属中学月考已知sin a =坐，sin B且a, B为锐角，则a + §为()兀A. 7 B.C.D.7t3sin 2 a .因为a 0, y ,所以解得 sin a = W5 5,故选B.(2)sin a邛且a,，2 53为锐角，cos a =一片,53 ：10 cos §=3-，【解析】(1)本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.由 2sin 2 a = cos 2 a + 1 ,得 4sin

3、 a cos a = 1 2sin 2 a + 1,即 2sin a cos a = 1 cos ”=寸1sin2a,所以 2sin a1 sin. COS( a + B )醇噂Y臂浮又。- 兀 、，a + 3 =.故选 A.【答案】(1)B(2)A的技法领悟 1化简三角函数式的规律规律解读一角T “角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理 地拆分，从而止确使用公式二名二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”三结构三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式 要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等温馨提醒(

4、1)常用技巧：弦切互化，异名化向名，异角化向角，降哥或升哥，“1”的代换等.(2)根式的化简常常需要升哥去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负对接训练、(2cos 2 0 j-1. 2019 山东济南长清月考 若Z=，3sin 2 0 ,则sin2 0=()cos 4 + eA.1B. 233C. -3 D .3(兀解析：通解/2cos 2 8兀cos -+ 0V2sin 万 + 2 0兀,/3sin 2 0，.二= 2>j2sin -+ 0 = 3sincos -+ 92 0, ：.!啦sin -4-+ 0 =-而cos 2 0 +-2- , ：.1 ,sin 2 0

5、 +- - 2娟sin兀0,得 sin 0 +- = .sin 2 0 = cos ：+2 8 =2sin 2 -+ 9 1 =一点 故选 C.2432力yf2cos 2 0 k . cJ2 cos2 0 - sin 2 0 巾. c优解 . a=pin 2 e, .，华=sin 2 0,cos 彳十当 cos 9 sin 92（cos 8+sin 8）=道sin 2 8, . 3sin 22 8 4sin 2 84=0,得 sin 2 0 = -1.3故选C.答案：C兀2. 2019 全国高考信息卷若a为第二象限角，且sin 2 a = sin a + cos（兀一a ）, 则2cos 2”

6、一；的值为（A. 1 B.5a是第二解析：.sin 2 a = sin a +_2- cos（兀一a）, 1- 2sin a cos a = - cos2 a ,象限角，cos a w0,2sina = cos4sina = cos a = 1 sin a ,sin 2 a15,2c cos a = sin a =/2cos 2 a - = cos 2 a + sin 2 a = cos 2 a sin 2 a + 2sin一二故选A.5答案：A考点2利用正、余弦定理解三角形1 .正弦定理及其变形a b c 、一在ABC43, snA= sn"B= sn-C= 2R（R 为ABC勺外

7、接圆半径）.变形：a=2RsinA, sin Ac= sin A ： sin B : sin C等.2 .余弦定理及其变形在 ABC中，a2=b2+c2-2bccosA;、/222b2 + c2a2变形：b + c a = 2bccosA, cosA=-2bc3 .三角形面积公式S>A ABC= absin C= bcsin A= acsin B. 222例2 (1)2019 全国卷 ABC勺内角A, B, C的对边分别为 a, b, c.若b=6, a = 2c, B= 3,则 ABC勺面积为(2)2019 江西南昌段考在 ABC中，内角 A B, C所对的边分别为 a, b, c,若

8、asin BCosC+ csin Bcos1 一 一， 一 一A= 2b,且a>b,则B等于()5兀a.6- B.7t37t6(1)本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查方程思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.解法一因为a=2c,兀b=6, B=, 3所以由余弦定理 b1 2 = a2 + c2 2accos B,得 62= (2 c)2+ c2 2X2 cx ccos?,得3c=2、/3,所以.1a= 4 ,：3,所以 ABC的面积 S= 2acsinB=2X4/3X2#Xsin 5=64 3解法二 因为a=2c,兀b=6, B=,

9、 3所以由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accos B,得 62= (2 c)2+ c2 2X 2 cX ccos ,得3c=23,所以a= 4 ；13,所以 a2= b2+ c2,兀所以A=所以 ABC1IAsin Bcos C+ sin Csin的面积 S= 2-X 2 313 X 6= 6J31Bcos A= 一sin 2B,又 sinLL，1Bw0,所以 sin Acos C+ cos Asin C= 2,r11，即 sin( A+ C)=2,因为A+ C=兀B,所以sin(1 r1j ,兀一B)=5,即sin B= 2.又a>b,所以A>B,所以B为锐角，所以 B

10、兀=6.故选D.(2)DF技法领悟(1)正、余弦定理的适用条件“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.(2)三角形面积公式的应用原则一一 ，111，对于面积公式 S= 2absin C= 2acsin B= bcsin A, 一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式.与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化对接训练3. 2019 广西南宁摸底联考在 ABC中，角 A B, C的对边分别为 a, b, c,已知c:十,C=y, sin B= 2sin A,则 ABC勺周长是（）A. 3邓

11、B . 2+斓C. 3+乖 D . 4+乖解析：因为sin B= 2sin A,所以由正弦定理得 b=2a,由余弦定理得 c2 = a2+ b2- 2abcosC= a2+4a2-2a2=3a2,又 c=，3,所以 a=1, b= 2.故ABC勺周长是 3 +。3.故选 C. 答案：C4. 2019 福建泉州阶段检测已知 ABC勺内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若cos,bcos A+ acosB= 2,则 ABC勺外接圆面积为(A. 4兀B . 8兀C. 9 兀 D . 36 兀而矫 由人属聿田/曰 b b2+ c2- a2a2+ c2 b2b2+ c2 a2+ a2 + c2

12、- b2/日解析：由余弦定理得 b -+ a - =2,即=2,得2bc2ac2cc=2,由cos C= 竽得sin C= 3.设 AB。卜接圆的半径为 R由正弦定理可得2R=csin C6,得R= 3,所以 ABC勺外接圆面积为 兀过=9兀.故选C.答案：C考点3正、余弦定理的综合应用. . .A+ C例32019 全国卷出 ABC勺内角A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知asin一厂：bsinA(1)求 B;(2)若 ABC锐角三角形，且 c= 1,求 ABCW积的取值范围.【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的 化归与转化能力、运算求解能力

13、，考查的核心素养是数学运算.A+ C（1）由题设与正弦定理得sin Asin? = sinBsin A一,一A+ C因为 sin Aw0,所以 sin2- = sinB.=2sin 昆osP 22A+ CB » B由 A+ B+ C= 180 ,可得 sin 2= cos2,故 cos2B= 60° .一， B 一 B 1 一 一， 因为cos5w0,故sin 2=2.又B是三角形内角，因此(2)由题设及(1)知 ABC勺面积S>aabc= 4a.由正弦定理得a=sin Ccsin A sin 120° C 13sin C sin C 2tan C+ 2.A

14、+ C= 120。，所以由于 ABC为锐角三角形，故 0° <A<90° , 0° < C<90° .由（1）知0°, 13330 < C<90 ,故 <a<2,从而得-<及 ab(<T 282因此， ABO积的取值范围是 坐,坐 82U）技法领悟T1.注意利用第（1）问中的结果：在题设条件下，如果第 （1）问中的结果第（2）问能用得上，可 以直接用，有些题目不用第（1）问中的结果甚至无法解决，如本题即是在第（1）问中的基础上求解.2.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注

15、意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第 （1）问中，没有将正弦定理表 示出来的过程，则不得分；第 （2）问中没有将面积表示出来则不得分.对接训练5. 2019 湖南长沙调研在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且c=2. ,兀，一，（1）若八=E，b=3,求sin C的值；42B2A_ 25，一 ，一（2）右 sin Acos 2+sin Bcos 2= 3sin C,且 ABC勺面积 S= sin C,求 a 和 b 的值.正弦定理sinHr si,彳导sin C= 721.,1 + cos B1 + cos A(2)由已知得si

16、n Ax 2+sin Bx 2=3sin C,sinA+sinAcos B+ sinB+ sinBcosA= 6sin C,sinA+sinB+ sin( A+ B)= 6sinC,sin A+ sin B= 5sin C,所以由正弦定理得a+b=5c=10,125又 S= ,absin C= _sin C,所以 ab= 25 由得a = b=5.考点4与解三角形有关的交汇问题 交汇创新解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交 汇命题成为高考的热点.例4 2019 石家庄质量检

17、测在ABC43, a, b, c分别是角A, B, C的对边，若ccos-2 LB+ bcos C= 2acos A, AM= -AB+ -AC；且 A阵 1,则 b+2c 的最大值是 . 33【解析】 通解ccos B+ bcosC= 2acos A,. sinCbos B+ sinBcos C= 2sin AcosA,1- sin( C+ E) = 2sinAcos A,sinA= 2sin AcosA 0v Av 兀,sin 院 0, . cos A2b 2c 2+ 2bc+ b =9.-2 bc< ;,42cW2/3,当且仅当 b=2c,b= 3即 3c= 2时等号成立，b+2c

18、的最大值为2y3优解ccos B+ bcosC= 2acos A,a2 + c2-b2 a2+ b2_2a+2a-2c=2acos A, a = 2acos=1, . A=j "阵2AB+22n 1 兀 . _2222AC 且 A阵 1, 2AB+ -AC2=1, -4c2+|bc+1b2=1,即 4c2 233333999 2.2.3.2.9= 4c + 2bc+ b = (b+ 2c) 2bo 4( b + 2c) ,，b + cosA= 1.OvAv兀，.A=?.AM= 2ABH- 1AC且 AM= 1,|ab- 1AC2= 1,gc2+ "223333399bc+1

19、b2 = 1,即 4c2+2bc+b2 = 9. . 2 bcw b'2c ,9= 4c2+ 2bc+ b2= ( b+ 2c)2-2bc>-3( b944+ 2c)2, .b+2cW2q3,当且仅当b=2c,即b = l3J3 c 2时等号成立，b+2c的最大值为t一囿技法领悟 1利用解三角形的知识解决平面向量问题是高考在知识的交汇处命制试题的一个热点.解 决这类试题的基本方法是根据正、余弦定理求出平面向量的模和夹角，从而达到利用解三角 形求解平面向量数量积的目的 .对接训练6.在 ABC中，角 AB,C所对的边分别为a,b,c,acosB+ bcosA=csinC,数列an满

20、足 an=(n2+2n)sin(2 n1)C,则数列an的前 100 项和 800=.解析：由 acos B+ bcos A= csin C 得sin A cos B+ sin Bcos A= sin 2Csin( A+ E) = sin 2C 一 2 . sin C= sin C,又0vCv 兀,sin O0, .sinC= 1,an = ( n2+ 2n)sin2n 1 兀2课时彳业8三角变换与解三角形2019河南开封定位考试已知cos7t2" +a1则cos 2 a的值为（）3A.7B.9C.1 D. 3兀解析：因为cos y+ a1 所以sin3a = ,则 cos 2 a

21、= 1 2sin2 a = 1 2X - 233=.故选B.9答案：B7t2.2019 河北省级示范性高中联合体联考已知tana = 2,且sinsin a + -4=mtan 2 a则 mi=(A.4-9 B 4C.9D.解析:依题意,兀sin a + - 4二,2 sina + cos atan 2 a2tan a1 tan a得sin asin a + costan a + 1兀一也-sin a cos a tan a 1 - 3,-42 sin a cos a44八 r4,所以3=4E解得339 .F 4.故选B.答案：B若 sin 2A+ sin 2Bk sin 2G 则4 ABC的

22、形状是A.锐角三角形 B .直角三角形C.钝角三角形 D .不能确定解析：. sin 2A+ sin 2B< sin 2C,a2+ b2< c2c a2+b2c2 " cos C=_ . v 02ab又 0 v Cv 180° ,.C为钝角， ABC钝角三角形，故选 C.答案：C的三角形的个数是4. 2019 黑龙江牡丹江一中月考 满足条件a=4, b=3j2, A= 45A. 1 B .2C.无数个 D .不存在解析：由正弦定理得sinB= bsinA= 3, 2<3<3,-45°<Bv60° 或 120° vB

23、a 4242<135° ,均满足 A+ Bv 180° ,B有两解，满足条件的三角形的个数是2,故选B.答案：B2 535. 2019 宁夏银川月考已知锐角 a, 3满足cos a=W，sin（ “一§） = 5,则sin 3的值为（）A.2155 B.C.第 D.25解析：: a是锐角，3是锐角，cos a , sin（ a - （3 ）5355, - -sin a =J5-, cos( aB ) =4, .sin 3 =sin a ( a B ) =gx4 芈 x -3 =25.故选 A. 555555答案：A6. 2019 广西两校第一次联考已知 si

24、n( a+ B)=；, sin( a 3)=1,则 log J23tan§ 1tana 2 一(A. - 1 B . - 21C.- D . 22解析：因为 sin( a + 3)=1, sin( a - (3)=；所以 sin 23c cos 3 + cos a sin12'sina cos 3 cos a sin 35a cos 3 =12, cos a sin 3112,_ tan S所以1tan B5,于无 log 5 tan a1 1 log .5 5 2= log 55-= 1.故选 A.答案：A7. 2019 云南曲靖月考一艘海轮从A处出发，以每小时 40海里的

25、速度沿南偏东 40的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是 南偏东70。，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么B, C两点间的距离是（）A. 10亚海里B . 1073海里C. 203海里 D . 20>/2海里解析：画出示意图如图所示，易知，在 ABC中，AB= 20海里，/ CAB= 30° , / ACB=45。，根据正弦定理得BCABsin 30sin 45,解得BC= 1脂（海里）.故选A.°北答案：A8. 2019 河北省级示范性高中联合体联考 ABC勺内角A, B, C的对边分别为a, b,什1c,右 3

26、sin A= 2sin C, b=5, cos C=一,3a=()A. 3C. 6解析:因为3sin A= 2sin C,由正弦定理得3a=2c,设 a=2k(k>0),贝U c= 3k.由余弦定理得cosa2+b2c2 25-5k2* -20b20k1 解得3k= 3或k= 5（舍去），从而a=6.故选C.3答案:9. 2019 广东仲元中学期中a2+ b2= 2c2,则cos C的最小值为在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2+b2 c2解析： , cos C=2aba2+b2=2c2C=a2+ b2 2ab 1,rr> TT= o,当且仅当 a=

27、 b时4ab4ab 21取等号，cos C的最小值为2故选C.答案：C10. 2019 河北五校第二次联考已知tan 2 a兀 兀y,万,函数 f (x) = sin( x+ a ) sin( x- a ) 2sin a ,且对任意的实数x,不等式兀f（x） >0恒成立，则sin a -的A.C. 一芈D. 一坐解析：由tan 2 a3 - 2tan a 31 ,一、4,即1tan2a=4'求信tan ”=3或颉a = 3.又对任息的头数 x, f (x) = sin( x+ a ) sin( x a ) 2sina =2sin a (cos x1)>0 恒成立，所以sin

28、兀a W 0,则 a C 2, 0 ,所以 tan a = 3, sin a-3, cos a =-.于是 sin 1010=sin兀兀c cos cos a sin 1尸X10.故选a25答案：A11. 2019 安徽五校联盟第二次质检若a是锐角，且cosa +?=!，则 cos a + W652解析： 因为 0V a < ,所以二-V a +-；_<二，又 cos a +_7T =,所以 sin a +- = 2663656-,则 cos a + -T- = sin a = sin a + = sin a +- cos二一cos a +_ sin = 526666664 J3

29、3 14/3-35X -2"5'2=I。.答案:4 V3-31012. 2019 陕西咸阳一中月考在ABC,内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且a= Tp, b=2, A=,则 ABC勺面积为37t解析：由正弦定理得sinbsin A 2sin 3212. 7B= -a-=巾 =丁,b<a, l- B<Acos B=十,sin C= sin( A+ B) = ,13 3ABC勺面积为 2absin C= -2-.13. 2019 陕西西安五中综合卷已知tan( a + B )=1, tan31兀3 =2,则 tan a +-=解析：.tan a=t

30、an( ”+3)3 =17, tan兀 a+7tan a +131 tan a43答案：414. 2019 湖南重点高中大联考已知a, b, c分别为锐角三角形 ABC内角A B, C的对边，absin C= c2-(a-b)2,若锐角三角形 ABC勺面积为4,则c的最小值为解析：由已知条件及余弦定理，可得absin C= a2+b22abcos C (a2 2ab+ b2) = 2ab2abcos C,即 2cos C= 2 sin G两边平方，得 4(1 - sin 2 Q=4-4sin C+ sin 2 C,因为 ,一,r40 < C< 90 ,所以可得 sin C=-,53

31、 , 14_ ,22则 c0s C=5 所以 2abX5 = 4,倚 ab=10,所以 C=a +b2- 2abcos C= a2+ b2-2abx1>2ab-fat)= 3ab=8,当且仅当 a=b 时取等号，所以555C>2a/2,即c的最小值为2山.答案：2 215. 2019 江苏宜兴月考已知sin 七=唔求cos a ；-5(2)求 f(x)=cos 2 x+2sin a sinx的最值.解析:兀(1) . sin a + 二10'a = cos7t410 X 2 + 10 X 235.(2)由(1)得 cos1.f (x) = cos 2 x+ 2sinx= 2

32、sin2 x+2sin x+1 = 2sin13当sin x = 2时，f(x)取得最大值2,当sin x=1时，f(x)取得最小值一3.16. 20 19 辽宁六校协作体期中设 ABC勺内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且 c cosC是a - cos B与b - cos A的等差中项.(1)求角C的大小；(2)若c=2,求 ABC勺周长的最大值.解析：(1)由题意得 acos B+ bcos A= 2ccos C,由正弦定理得 sin Acos B+ sin Bcos A1=2sinSosC,即 sin(A+B) = sinC= 2sinCcosC,解得cosC= 2, C是

33、二角形内角，所以 C= 60(2)方法一由余弦定理得c2=4=a2+b2 2abcos C= a2+ b2-ab= (a+ b)2-3ab>(a +a a b a b1b)23装一2 = £岩，得a+bw4,当且仅当a=b时等号成立，故 ABC周长的最大值为6.a b c 4 34 3方法二由正弦定理得-7 = -一B=-,故 ABC的周长为 a+b+c=Asin A sin B sin C 33(sin A+ sin B> +2 = 43sin A+ sin( A+ 60° ) + 2 =芈 3sin A+ 3cos A +2=4sin( A 33 22+ 30° )+2.丁 AS (0,120 ° ),，当 A= 60° 时， ABC 长的最大值为 6.17. 2019 湖北武汉部分重点中学第二次联考已知函数f (x) =cos2x+2、/3sin -2+x cos -2- + x sin 2x.兀(1)