数据模型与决策课程案例分析

1、数据模型与决策课程案例分析生产战略数据模型与决策课程案例一一、问题提出好身体公司（BFI ）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家庭锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了BFI专利技术，这种技术提供给使用者除了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在， 这种功能也只有在很昂贵的、应用于理疗的举重机上才可以获得。在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI 现在收到的订单数量已经超过了这个时期BFI 的生产能力。 管理部门决定开始这两种器械的生产。这两种器械分别被BFI 公司命名为BodyPlus100和BodyPlus200,

2、由不同的原材料生产而成。BodyPlus100 由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架需要4小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间； 每个压力装置需要2 小时机器制造和焊接时间， 1 小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要 2 小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间。另外，每个BodyPlus100 还需要 2小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是 450 美元， 每个压力装置的成本是300 美元， 每个提升一下拉装置是250 美元。 包装成本大约是每单位50 美元。BodyPlus200包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个

3、腿部拉伸装置。生产一个框架需要5 小时机器制造和焊接时间，4 小时喷涂和完工时间；生产一个压力装置需要3 小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；生产每个提升一下拉装置需要2 小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间，另外，每个 BodyPlus200 还需要 2小时用来组装、测试和包装。 每个框架的原材料成本是650 美元， 每个压力装置的成本是400 美元， 每个提升一下拉装置是 250 美元，每个腿部拉伸装置的成本是200美元。包装成本大约是每单位75 美元。在下一个生产周期，管理部门估计有600 小时机器和焊接时间，450 小时喷涂和完工时间，140 小时组装、测试和包装时

4、间是可用的。现在的每小时劳动力成本是机器制造和焊接时间20美元，喷涂和完工时间15 美元，组装、测试和包装 12 美元。虽然对于BFI 来说由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但BodyPlus100 的市场建议价格是2400 美元，BodyPlus200 是 3500 美元。授权的BFI 销售商可以以市场价格的70% 来购买产品。BFI 的总裁相信BodyPlus200 的独特功能可以帮助BFI 成为高端锻炼器械的领导者。所以， 他认为 BodyPlus200 的数量至少会占到整个生产数量的25%。管理报告分析 BFI 的生产问题，为公司的总裁准备一份报告， 告诉他们你的发现和

5、建议。报告包括以下几个方面（不仅于此）：（ 1） BodyPlus100 和 BodyPlus200 的建议 生产数量是多少？（ 2） BodyPlus200 的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？（ 3） 了增加利润应扩展哪方面的努力？把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分- 1 -二、问题分析与模型建立根据案例对好身体公司（BFI ）两种器械产 品BodyPlus100和BodyPlus200的描述，用表格 形式列举出该两种产品的各项基本信息， 表格如下:零件产品原材料成本（美 元）BodyPl us100BodyPl us200BodyPl us100BodyPl us

6、200框架4254450650压力装置2132300400提升/下拉2222250250组装22腿拉200包装5075总共用时（h）85108总成本（美 元）10501575机器/焊接(h)600劳动成 本 (美元 /h)20喷涂/完工(h)45015组、测、包(h)14012售价(美 元)24003500表1.1(1) BodyPlus100 和 BodyPlus200 的建议设BodyPlus100的建议生产数量是x1 ,BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是乙 则目标函数：maxz=2400x1+3500x2 一 20(8x1+10x2) 15(5x1+8x2) 12(2x

7、1+2x2) =2141x1+3156x2约束条件：8x1+10x2 < 600I5x1+8x2 宙502x1+2x2 司40 x1 , x2 >0 BodyPlus200的数量占牛产数量至少25%的要求会怎样影响利润？设BodyPlus100的建议生产数量是 x1 , BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是乙 则 目标函数：maxz=2400x1+3500x2 一 20(8x1+10x2) 15(5x1+8x2) 12(2x1+2x2) =2141x1+3156x2约束条中8x1+10x2 < 6005x1+8x2 宙502x1+2x2 司40 x1 -3x2

8、 及 x1 , x2 >0三、模型求解与结果解释根据已经建立的模型，运用图解法对该问题 进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表 x1, 纵轴代表x2。(1) BodyPlus100 和 BodyPlus200 的建议 牛产数量是多少？根据问题(1)约束条件：作 8x1+10x2 = 600直线,令 x1=0,则 x2=60; 令 x2=0,则 x1=75同理，作 5x1+8x2=450, 2x1+2x2=140 两直线得图形如下:x2,2x1+2x2= 141 808x1+10x25x1+8x图1.1由图可知，阴影部分即为可行域范围，且当x1=150/7, y=300/7时，z最大，此时m

9、axz=181135.7可得最优解为：x1 = 150/7, y=300/7综上所述，建议生产BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200产品43台。该生产建议下各项约束条件情况如下：约束条件耗费时间可用时间机器/焊接(h)598<600喷涂/完工(h)449<450组、测、包(h)128<140表1.2(2) BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样景彳响禾I润？根据问题(2)的约束条件，即在问题(1) 的基础上增加x1-3x2硝这一项约束条件。因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2 =0 直线，令 x1=0,则 x2=0;令 x1

10、=90,则 x2=301BD2x142x2-15045得到图形如下：复1 2豆2 =0立45 g.1X0+= 6QQ5工1 十 3x150图L2由图可知，阴影部分即为可行域范围。对 比图1.1和图1.2可行域范围明显减小。当由此约束条件的情况下，当 x1=150/7, y=300/7 时，z 最大，此时 maxz=181135.7可得最优解为：x1=150/7, y=300/7此时的建议生产量仍为BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200产品42台。综上所述，有BodyPlus200的产量比例约 束时最大利润无影响。(3)为了增加利润应扩展哪方面的警力?根据表1.2,在最优解

11、情况下各项约束条件 情况来看，可以得出如下结论：1 .机器/焊接所用时间仅比可用时间少 2小 时；2 .喷涂/完工所用时间仅比可用时间少1小 时；3 .组、测、包所用时间比可用时间少 12个 小时，在其他条件允许的情况下可以再组装 6台 器械。针对上述结论，为增加利润提出如下建议：1 .增加机器制造和焊接时间的可用时间；2 . 增加喷涂和完工的可用时间。四、参考文献1 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇北京：机械工业出版社，2012数据模型与决策课程案例二投资战略- 9 -一、问题提出J.D.威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达1.2 亿美元的资金。公司运用一个很有价值的

12、模型，为每个客户安排投资， 分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说，投资在股票方面的资金占总投资20%-40% 之间，投资在收入基金上的资金应确保在20%-50% 之间，货币市场方面的投资至少应该占30%。此外， 公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希望投资800000 美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0.05。 公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10，收入基金的风险指数是0.07，货币市场的风险指数是0.01。 整个投资的风险指数是各项投

13、资所占总投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是18%， 收入基金的收益是12.5%， 货币市场基金的收益是7.5%。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。管理报告（ 1）如何将800 000 美元投资于这3 种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？（ 2） 假 设 客 户 的 风 险 承 受 指 数 提 高 到 0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？（ 3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从18%下降到 14% ，那新的最佳投资方案是什

14、么？（ 4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？（ 5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、问题分析与模型建立根据案例对J.D.威廉姆斯公司三种基金股- 11 -0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05票增长基金、收入基金和货币市场基金的描述,用表格形式列举出三种基金的各项基本信息， 表格如下：基金类 型年收益 率风险指 数投资限 额总投资 额总风险 指数股票基 金18%0.1020%-40

15、%8000000.05收入基 金12.5%0.0720%-50%货币基 金7.5%0.01>30%(1)如何将800 000美元投资千i文3种基金。 按照你的计划.投资的年收益是多少？设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件：x1+x2+x3 & 0.80.16W x1<0.320.16W x2<0.4x3>0.24-13 -(2)假设客户的风险承受指数提高到 0.055,那么在投资计划更改后.收益将增加多 少？设三种投资基金的数量分配分别为x

16、1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件：x1+x2+x3 & 0.8'0.16W x1<0.320.16W x2<0.4x3>0.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.055(3)假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05,而股票成长基金的年收益率从 18%下 降到14%,那新的最佳投资方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.14x1+0.125x2+0.075x3约

17、束条件：x1+x2+x3<0.80.16W x1W0.320.16W x2<0.4x3>0.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05(4)假设现在客户认为投资在股票方面的 资金太多了.如果增加一个约束条件即投资于股 票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金 的资金.那么新的最佳方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 (单位为百万)，投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件:x1+x2+x3<0.80.16W x1<0.320.16W x2<0.4x3>0

18、.24x1<x20.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（5）当遇到预期收益变化时：你所建立的线 性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改. 那么这个模型的适用范围是什么？根据该问题的描述，可以理解为当预期收益 率在一定范围内变化时，最佳投资方案是否改 变，即对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围。因此可基于问题（1）的模型，运用LINGO 软件对其作敏感度分析，求解出该模型适用的范 围。设三种投资基金的数量分配分别为x1, x2, x3 （单位为百万），投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x

19、3约束条件:x1+x2+x3<0.80.16W x1<0.320.16& x2<0.4x3>0.24三、模型求解与结果解释（1）如何将800 000美元投资于这 3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少?根据问题（1）的约束条件，利用 LINGO软件对（1）的模型求解可得:Lindo lodel - I.皿口1二回区max G.IBxl+O.125x2+04075x3 stEL+上2+x3c=0.8工>=0.16了£=口.3£K2>=D.163i2<=0.45>=0.24r fx0 . l£5xl+0.0B

20、75x2-HD ,01253=0.05 enddiobaiL 口工tiul Jin lutiCAbEZiUB_3.A83配稣”心Mluy :a.Mmiii-oiIm m 企、lik /1DkDQOOODTdcbI ra Lva r ic rat aaeiaMMEeI CL-HffStL>TDCal TftTliAia 149H口diuox曲aIbJLEye-i i-atiBbLe-a-dTSsi cow*;f;专H口£11H OSmEH 工工匕二CiTfetal 力Dwem,E(DflL1M-IT gMITWc> i4f.deVu.yjelXlUUj-±tL 二

21、 8 =Xi口 -Si*dgKdO13；口,1皿口吨M3 .-SDlflllD.oaooao3L*Ck DF SU1P1U«Pt ace1i.ggngp愫L JiLini ILeji，4. - Lxiii&I根据软件运行结果可知，该条件下三种基金-15 -最近分配方案为:基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万 美元）0.2490.160.391即当 x1=0.249, x2=0.16, x3=0.391 时，z 最大）满maxz=0.9413 （万美元）（2）假设客户的风险承受指数提高到 0.055,那么在投资计划更改后：收益将增加多 少？根据问题（2）的约束条件，利用

22、LINGO 软件对（2）的模型求解可得：工 Lindo Wo riel - Lingo 1. |n| Xmax , L3k14-O , 125x2-HJ .stZ1 +X2-FX3<-O< 8XI >=,16Kl<=0.32K2>=0- 16X2<=0.4口，125K1+0.875x2+0.0125x3=0.055 encl± Solixt 1 cm3T目烹G 1 Qfc B 1 口七 Thal 3已 lire 11 口 H4Ctijeccle valuesCiag5 30rfcCOE-OIItiEcsalb1i litle =:3.Tcical

23、salver Icei«cldjis?2BedelIPpocal宜工141电白e3variifa 1?3 EQTnceaerIs&lee 30TOcel彳下Ie怖 | i tw-ajr ec nr e reti h.t m；aTctel Tinnzercis:i号Mc>uL L睦曰工 皿 itjaera s:VariableVaiiisReautfrs Cost11O.2a333S3O-CiDOOM12O.lfcDlXlOO.CDCOQC130 .34«S7O.C-QCQ»FdySlKk 0匚 3u工0 11auMid. Pf iceI .3SHDQ

24、0QE-OIl.QgOQQCV根据软件运行结果可知，该条件下三种基金 最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万 美元）0.2930.160.347即当 x1=0.293, x2=0.16, x3=0.347 时，z 最大）满maxz=0.988 （万美元）（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然 是0.05,而股票成长基金的年收益率从 18%下 降到14%,那新的最佳投资方案是什么？根据问题（3）的约束条件，利用 LINGO 软件对（3）的模型求解可得：1 Lindo Todel - Lingol | n Xmax 0, 14x14-0t125x24-0,075jc3stXI

25、4-x 2 -Kx 3 = 0 . Sl>=0,IS落X2>-0- 16K2< = 0.4Z3 A = 0 2 4口. 1Z 5x1+0.0675x2+0.012 5x3 Ci.05| end.g Scrlutlo£i- LintelGL 口修斑1町口工牛301UC10kimm.OfcCEt I've VBb 1 Qt !,SSC6£67E-aiI Eife 52 Jb l 1 Lt xer :o.aoDtDaTbcail m Iver lirersclDiis:2K-cL=i i? la *2；LPT日匕l-alilef ：NOhLlyL&

26、;at ”虹0历电力 e口fcir varidb le：a :oTOCSil即MueLftt s5TO匚al m zeros :14N->n.l2neax nozizeras:JLNmL J.EValuej-.ed.Mced1KI0 . I dOOC'DOD, Daonno践aH3335O.OO0OODMSCKME"i57"DOODODJdwSlKk QE -UZtXU-Sgflj PeIcbj0657百芭巧丁工=。13 口ggQ蟹根据软件运行结果可知，该条件下三种基金 最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万 美元）0.160.2930.3

27、47即当 x1=0.16, x2=0.293, x3=0.347 时，z 最大）满maxz=0.8507 （万美元）（4）假设现在客户认为投资在股票方面的 资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股 票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金 的资金.那么新的最佳方案是什么？根据问题（4）的约束条件，利用 LINGO 软件对（4）的模型求解可得：N Lindo lodel - Lineal- I | Xmax G. ISxl+Di 12-5x£+0.075x3stX1+K2+x3<=0工 AO. 18工<=口.”K2>=a.16X2=0.4XS>=O,S4口.1

28、25x1+0.0675x2+0.0125x3-0.05 end 方口工口中工 口IL Rjepoz t - LihedIape mi aoiuttBivna.AObji«ti.vc vnHici。,普口 84订E-lofcM ib il i t iun;口 gsolver Lfei演eHqds-HEil Class -LPTst a 1 v-sx -»lu1s ;3KduL in£.axLab les :I riLefler vai:Lab Lee i0Tatal caMtramts：9jjTbtal iiDnEero3;LfiPOiULlwar MJiMrcsi

29、CmUiit sd CwB tXI ,2 135331K30.213333UfQQWQ 口XI0.3711133U 11clein* 口PqvH I事二上匚与w工asTZ PriceL s9OK6rZ-Ol111clMg。V根据软件运行结果可知，该条件下三种基金 最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万 美元）0.2130.2130.373即当 x1=0.213, x2=0.213, x3=0.373 时，z 最大）满maxz=0.9307 （万美元）（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的 线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出 修改、那么这个模型的适用范围是什么？根据问题（5）的约束条件，利用 LINGO 软件对该模型进行RANGE操作可得：Lind