2018版高中数学第1章解三角形章末分层突破学案新人教B版必修5

1、第 1 章解三角形章末分层突破I IM固层知识整台、自我校对a b c = = sinAsinBsinC2已知两角和其中一边2 2 23c=a+b 2abcosC4已知三边15S= acs inB丁m b亠+ c一ZfrccosA b =+c 2。匚cioffiB余便定理稱三角形推论羅三角形I已知两迪和它忙I的夹角1;2I提升层能力强化利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素（至少一条边）求出其他元素的过程三角形中的元素有基本元素（边和角）和非基本元素（中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半 径），解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积解斜三角形共包括四种类

2、型：（1）已知三角形的两角和一边（一般先用内角和求角或用正 弦定理求边）；（2）已知两边及夹角（一般先用余弦定理求第三边）；（3）已知三边（先用余弦定理求角）；（4）已知两边和一边的对角（先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三 边，注意讨论解的个数）.卜例ABC勺内角A B,C的对边分别为a,b,c,as inA+csinC-.2asinC=bsin B（1）求角B的大小;若/A= 75,b= 2,求a,c.【精彩点拨】（1）用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解（2）先求角C,然后利用正弦定理求边a,c.【规范解答】由正弦定理得a2+c2- 2ac=b2.由余

3、弦定理得b2=a2+c2- 2accosB故 cosB=三，因此/B= 45 .(2)sinA= sin(30 + 45)=sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45由已知得，/ C= 180- 45- 75= 60,再练一题2 21.在厶ABC中，角AB, C所对的边长分别为a,b,c,设a,b,c满足条件b+c-故a=bxsinsinB=1+ ,3.2 + “64c=bx心=2XsinBsin 60sin 45=,6.32c1厂bc=a和= 2 +. 3，求/A和 tanB的值.【导学号：18082014】4ZA/B= 120/B.由已知条件，应用正弦定理1- c sinC

4、 Li 12i广B2+3=b=SiTB=SnBsin 120 cosBcos 120 sinBsinB.3112tanB+2，从而tan B=2.主題2正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、 余弦定理完成证明、求值等问题.(1) 解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求 解.(2) 解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角 形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解例在厶ABC中，角A,B, C的

5、对边分别为a,b.c,4sin2A2B cos 2C=,a+b=5,c=7.(1) 求角C的大小；(2) 求厶ABC的面积.【精彩点拨】(1)先降幕，转化成 cosC的方程，求出 cosC,进而求出角C; (2)由余弦定理列方程，得方程组，求出a,b,再求面积.2A+B7【规范解答】(1)由 4sin2 cos 2C=刁2C7得 4cos cos 2C= ,1 + cosC27所以 4 - (2cosC 1) =整理，得 4cosC 4cosC+ 1 = 0,1解得 cosC= 2，【解】由余弦定理cosA=.2 2 2b+ca2bc12，因此/A= 60 .在厶ABC中，/C= 1805所以

6、ZC= 60.由余弦定理，得c2=a2+b2 2abcosC2 2即 7 =a+b-ab.又因为a+b= 5,所以a2+b2+ 2ab= 25.联立，解得ab= 6.11 J3所以&ABC=，absinC=空x6x方=-.再练一题2. ABC勺内角A B,C的对边分别为a,b, c,已知 2cosC(acosB+bcosA) =c.(1)求/ C;若c=7,ABC的面积为32T，求ABC勺周长.【解】(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB+ sinBcosA) = sinC,即 2cos Csin(AB) = sin C,故 2sinCcosC=sinC1n可得 cosC= 2

7、所以/C= -3.由已知得absinC=n又/ 石，所以ab= 6.3由已知及余弦定理得a2+b2- 2abcosC= 7,故a2+b2= 13,从而(a+b)2= 25.所以ABC的周长为 5 +7.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等 .解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在 示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用哪个定理转化， 用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求例在某海滨城市附近海面有台风，据监测，当前台风中心位于城市0（如图 1-1）的东偏南0

8、cosB=方向 300 km 的海面P处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 45方 向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km,并以 10 km/h 的速度不断增大问 几小时后该城市开始受到台主題36风的侵袭 .7图 1-1【精彩点拨】 设台风中心在t小时后由P到Q所以在OPQK OP=300,/OP0- 45，PQ=20t,可由余弦定理求出OQ城市O受到台风的侵袭，需满足条件O&10t+ 60 ,然后通过解不等式求出城市O受到台风侵袭的时间.【规范解答】设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 (10t+60)km，若在时刻t城市O受到台风的侵袭，贝U O

9、Qs10t+ 60.由余弦定理，知OQ=PQ+PO2PQ- PCCos /OPQ因为PO=300 km ,PQ=20tkm ,cos/OPQcos(0 45)=cos0cos 45 +sin0sin 45= “ x +: 1所以O(20t)2+ 3002 2X20tx300 x；52 2 2=20t 9 600t+ 300 .又因为OQs10t+ 60,2 2 2 2所以 20t 9 600t+ 300w(10t+ 60),2即t36t+288W0,解得 12wtw24.所以 12 个小时后该城市开始受到台风的侵袭再练一题3.如图 1-2，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点

10、A及点C处,小区里有两条笔直的小路AD DC且拐弯处的转角为 120 .已知某人从C沿CD走到D用了 10 分钟，从D沿DA走到A用了 6 分钟若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半径OA的长(精确到 1 米).8图 1-29【解】 法一：设该扇形的半径为r米，由题意，得CD=500 米，D2300米，/CDO=60在厶CDOh CD+OD2 CD OD-cos 60 =OC,221即 500+（r300）2X500 x（r300）x空=r,解得r= 900445（米）.法二：连接AC作OHL AC交AC于点H,由题意，得CD=500 米，AD=300 米，/CD= 120.在厶ACD

11、中,AC=cD+AD 2 CD- AD-cos 120 = 5002+ 300212+2X500 x300X =700, AC= 700（米）.AC+ADcD11cos/CA=2AC- AD=历11在 Rt HAO中,AH=350（米）,cos /HAO ,14二OA= /面=445（米）. cos /HAO11三角形形状的判断般来说，判断三角形的形状问题常用的方法有两种：(1)通过边之间的关系判断形状;(2)通过角之间的关系判断形状.正弦定理、 余弦定理在解题中起到将已知条件中的边、 角互 化，把条件化为边之间的关系或化为角之间的关系的作用例在厶ABC中，已知/B=60, 2b=a+c,试判

12、断ABC的形状.【精彩点拨】 通过正弦定理，把 2b=a+c化边为角判断或通过余弦定理,1=2 化角为边判断【规范解答】 法一：由正弦定理，得2sinB= sinA+ sinC因为/B= 60，所以/阳所以/A= 120/C.代入上式，得 2sin 60 = sin（120 C+ sin C.整理，得 * inC+ cosC= 1,即 sin（C+ 30 ） = 1.所以/C+ 30= 90,/ O 60.所以/A= 60 .所以ABC为等边三角形.主軀4利用 cosB102 2 2法二：由余弦定理，得b=a+c-2accos B.1 12 2 2代入b= 2(a+c)，得 4(a+c) =a

13、+c2 2化简，得a+c 2ac= 0,2即(ac) = 0,所以a=&,ABC为等腰三角形又因为/B= 60,所以ABC为等边三角形再练一题4.在厶ABC中，若 sinA+ cos7A=祛则这个三角形是2ac12.11B.直角三角形D.等边三角形A.钝角三角形C.锐角三角形【解析】法一：若/AW90，则sinA+ cosA= 2sin(A+ 45 90，故选 A.法二： sin72cos A=祛249 (sinA+cos=面,491+2sinAcos A=面，95 sinA cosA= 288 0./00， cosA0,90 ZA 180，故选 A.【答案】 A转化与化归思想转化与化归思想用

14、于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题 的有效策略，同时也是成功的思维方式.主聽5本章主要是综合运用正、余定厶ABC的形状.【精彩点拨】 充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的12.2 2 2b+c-a2bc所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c) = 3ab,所以(a+b)1 2-c2= 3ab,所以 4b2c2= 3b2.所以b=c,所以a=b=c.因此ABC为等边三角形.法二：因为/AZB+ZC= 180,所以 sinC= sin(A+ B).又因为 2cosAsinB=

15、sin C,所以 2cosAsin B= sinAcos B+ cosAsin B, 所以 sin(A-B) = 0.因为ZA、ZB均为三角形的内角，所以ZA=ZB.又由(a+b+c)(a+b-c) = 3ab.2 2 2 2 2得(a+b) -c= 3ab,即卩a+b-c=ab.1222a+bab=c，- cosC= ,/C= 60由acosB=bcosA,得2RsinAcosB=2RsinBcosA(RABC外接圆的半径),二 sin(A-B) = 0,.ZA-ZB= 0,关系来判断【规范解答】由正弦定理，得sinC csinBb.又 2cosAsin B= sinC,所以 cosA=si

16、nC c2sinB= 2b由余弦定理，有cosA=b2+c2-a22bc所以c2b所以 cosC=ab= 120= 2.13因为 0 ZC180,所以ZC= 60 因此ABC为等边三角形.再练一题233323=c，得a+bc=c(a+b) c,5.已知ABC中,a+b-c=c2，且acosB= bcosA,试判断ABC的形状.【解】a+b-c14./A=ZB=ZC= 60,.AABC为等边二角形拓展层链授高考21. ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,已知a= 5,c= 2, cosA= 3 贝 Ub=( )A. 2B. 3C.2D.322 【解析】由余弦定理得 5 =b2+ 4

17、2Xbx2X-,31解得b= 3 或b=-(舍去)，故选 D.【答案】 D2 22. ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a= 2b(1 sinA)，则/A又由/A+ZB+ZC=n得/B=- 由正弦定理及a2=2b2(1 sinA)得2 2sinA= 2sinB(1 sinA)A.3n4n nB. C. 4 D.【解析】b=c，- /B=ZC即 sin2A= 2cos2A(1 sinA),2A2A即4sin2cos2=2cossinA),整理得 cos 今 1 sinA-2sin2A=0，A) = 0./ 0ZAn ,nA o22，二cos矿 o,sinA),1即 si

18、n2A= 2sin2即 cosAsin15 cosA= sinA又 0ZAn,16【答案】C2n厂b3.在厶ABC中，/A=,a= 3c,则三=2n【解析】在厶ABC中，/A2 . 22亠厶儿口H 2 .22 . a=b+c 2bccosp，即a=b+c+be.3/a= 3C,.3C2=b2+c2+bc,.b2+bc 2c2= 0,b(b+2c)(bc) = 0, bc= 0,.b=c,. 一 = 1.c【答案】 14.在厶ABC中，内角A,B C所对应的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsinA.(1)求/ B；1若 cosA= 3,求 sinC的值.3【解】 在厶ABC中，由-AA=sinAsinB可得asinB=bsinA又由asin 2B=3bsin A,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,1 % 2由 cosA= 3,可得 sinA=，则sinC=sinn (A+E)=sin(A+E)=sin5.在厶ABC中，内角A,B C所对的边分别为a,b,c.已知b+c= 2acosB(1) 证明：/A= 2/B；2(2) 若 cosB= 3,求 cosC的值.3【解】证明：由正弦定理得 si