中学数学平面几何最短路径练习题(含答案)

1、平面图形上的最短路径问题知识点：1 两点之间，线段最短2. 垂线段最短3. 线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等4. 三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“宜”常考题型题；将军饮马、造桥选址、费马点（一）根拯两点之间，线段最短题型一 两点在直线同侧（将军饮马）【问题将军饮马”作法图形原理ABI作Z关于/的对称点 B'连AB',与/交 点即为PAz (两点之间线段最短. 刃+PB最小值为曲'在直线/上求-点P 使十丹值最小.P Bt题型二相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理厶厶在直线厶、2上分别求点 M、N,使ZYPMN的周长

2、最小.分别作点P关于 两直线的对称点 P 和 P",连 P，P”, 与两直线交点即 为 M, N. P八两点之间线段最短.PMiMV+PN的最小值 为线段PP'的长.【问题3】作法图形原理h 厶在直线厶、S上分别求点 M. N、使四边形POMN 的周长最小.分别作点Q、P 关于直线l. I2 的对称点0和P 连0P，与两直 线交点即为M, N.Q, Z 62LN 两点之间线段最短. 四边形POMN周长的 最小值为线段PP'的 长.【问题4】作法图形原理MBA为厶上定点，B为“ 上“定点，在仏上求点 在人上求点M使 1M+MNV5的值最小.作点川关于"的对称点

3、作点 B关于厶的对称 点夕，Bt 交S于交/1 于M.:,. /|-z严B 11,两点之间线段最短. AM*MN*NB的最小值 为线段Br的长.题型三造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理Ae将点A向下平移 MV的长度单位得 z,连交于 点N,过N作NM 丄加于M.AAiy两点之间线段最短. AMUN+BN的最小 值为N.mJVb直线m / H »在加、H > 上分别求点 M使胚V -Lm,且凡M+Ay+DV 的 值最小.【问题6】作法图形原理A.B /MQN在直线/上求两点M、N （M在左）使MN = U并 使4W+MV+NS的值小.将点/向右平移“ 个长度单位得 作A&

4、#39;关于/的对 称点连A"B, 交直线/于点N, 将N点向左平移“ 个单位得M.AA,s I两点之间线段最短. AM+MN+BN的最小 值为fB+MN.M题型四费马点【问题7】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”D”即满足：-.- E/ ZAPB=ZBPC=zZAPC=I20° A两点之间线段最短.BC以乂5、ZlC为边向CPA+PB+PC最小值lABC中每内角都小外作等边zaZ>= CD.于120。，在AABC内求AACE9 连 CD、BE点 P,使 PA+PB+PC相交于P点P即值最小.为所求.（二）根据垂线段最短题型五和最小【问题8】作法图形原理h /

5、P./1 /"作点P关于人的对>p点到肖线，垂线段最/2称点P,作PBiAA/ PPAAB的最小值为在/1上求点在b上J 0， 乂 "> J iB<2线段PB的长.求点9使PAAB值最小.（三）根据线段垂宜平分线上点到线段两端点距离相等题型六差最小【问题9】作法图形原理ABI连/5,作乂3的中 垂线与直线/的交点 即为P.p币屮平分I:的点到线段两端点的距离相 等.IPA-PBl =0.在直线/上求i点P， 使IPA-PBl的值最小.（四）根拯三角形任意两边之差小于第三边题型七差最大【问题io作法图形原理B/在直线/上求i点P， 使IPA - PBI的值最

6、大.作直线4瓦与宜线/的交点即为P 1/P三角形任意两边之差 小于第三边.IPA-PBl WAB.IPq - PBl的最大值曲【问题11作法图形原理A1b在直线I上求点Pf 使IPA- PBl的值最大.作E关于/的对称点 夕作直线AB',与/交点即为P.AKxX /APB三角形任意两边之差 小于第三边.IPA-PBI AB,IPA-PBl最大值曲题型一两点在直线同侧例题2：如图，在锐角NlBC中，曲=6, ZBAC=6Qq, ZBAC的平分线交EC于点D. N分别是ZlD和脑上的动点，则的最小值是（）A. 3B. 3y3C. 4*D. 6解：在ACk取一点E,使得AE=AB,过E作EN

7、丄45于M ,交,3于M 连接BE,BE交AD于6则BwM"最小（根据两点之间线段最短：点到直线垂直距离最短），.Q 平分ZaIBJ£二2D E80B, ADLBE,JD是恥的垂直平分线（三线合一），£和B关于直线-Q对称，：.EM=BM.即 BM+MNf =EM+MN,二EN ,：ENAB, ：. ZrU=90%V ZCl=60 IENf =30°,AE二AB=6、：AN匕丄2民3,2在ZUTN冲，由勾股定理得：EN,= yAE2-AN,2 = 62 -32 =.即B+MV的最小值是3JJ.故选B巩固练习：如图，在平而直角坐标系中，RtMAB的顶点ZI

8、在X轴的正半轴上顶点B的 坐标为（3,、疗），点C的坐标为（1, 0）,且ZZIOB=30。点P为斜边OB上的一个动点,则PAPC的最小值为解：作ZI关于OB的对称点D 连接CD交OB于P,连接肿，过D作DNLOA于M 则此时 R1+PC 的值最小.YDP=PA, :PA+PC=PD+PC=CD9：B (3, 3 ), J5=3 , OA=3. ZE=60。由勾股泄理得：OB=2羽.由三角形而积公式得：-×O×AB-×OB×.1M.2 23 3：.l .W=2×-=3. V90% Z5=60% Z=30o.22V ZBAO=90% A60

9、76;.由勾股定理得:押丄加 W.*冷斗VC (1, O), .CV=3-1- =2 2在R仏DNC中，由勾股上理得：De=÷3< 2 )= 7.：.PAPC的最小值是、厅题型二相交直线之间一或两点例题2：如图，ZAOB=30o. ZAOB内有一左点P,且OP=IO在CU上有一点0 OBk有一点R若周长最小，则最小周长是()A. 10 B. 15 C. 20 D 30 解：设 ZPOA=Q9 则 ZPOB=30° - >作PM丄Cu与OJ相交于/,并将PM延长一倍到E,即Mf=P/.作PN丄OE与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PM 连接EF与CU相

10、交于0,与OE相交于虑，再连接P0, PR, 则ZkPS即为周长最短的三角形.V OA是PE的垂直平分线，：.EQOPZ同理，OE是PF的垂直平分线，FR二RP,：. POR的周长=EF.TOE=OF=OP=IO,且ZEOF= EOP÷ZPOF=2Q+2 (30o-) =60°, EOF是正三角形，F=10即在保持OP=IO的条件下«?"的最小周长为10,故选A.巩固练习：如图，ZAOB=30°.点M、N分别在边CU. 05上，且OM=5, OAjI2,点P、0分别在边OB、QJ上，则MP-PO-ON的最小值是解：作M关于OE的对称点Ar ,作

11、N关于Od的对称点N',连接MN 即为MP+P0+0N 的最小值.根据轴对称的左义可知:ZN, OOAMl OB=30。，ZoNV' =60% OM,=OM=5. ON,=ON=12, ：.AONN'为等边三角形，厶OMM 为等边三角形， ZNOAr=90。，在RIMON'中，MN = JOM卫+ONo = I3故答案为:13.题型三造桥选址 例题3：荆州护城河在CC'处直角转弯，河宽相等，从ZI处到达B处.需经过两座桥 W、 EE',护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确左两座桥的位宜，可使d 到B点路径最短？解：作廿丄CD且JF

12、=河宽，作BG丄CE,且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E、D, 作M、EE即为桥证明：由做法可知，则四边形JFDD为平行四边形于是JQ=FD同理，BE=GE由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时DEE5最短巩固练习：如图，工厂/和工厂E被一条河隔开，它们到河的距离都是2kn,两个工厂水 平距离是3km,河宽Ikm,现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂.4到工厂E的距离最短 （河岸是平行的）请画出架桥的位置（不写画法）求从工厂/经过桥到工厂E的最短路程. 解：如图所示，JzT=Ikm,则MN为架桥位置过点E作恥丄交其延长线于点民 则A'B = A,E2+BE2 =42

13、 +32 =5则从J到B的最短路程是：三fBU£W5+l=6（km） 题型四费马点例题4：在锐角lBC内求一点P使R1+PB+PC为最短值.解：（I）将43绕B逆时针旋转60。，得到AN（2）连接4C（3）作直线AP与直线AC相交于点P,且使ZAPA, = 60靠近C的哪一点就是P的位置题型五和最小例题5：如图，AABC中，肿三C=13, BC=I0, .Q是BC边上的中线且,3=12, F是Jz）上的动点，E是/C边上的动点，则CF+EF的最小值为BB解：作E关于,3的对称点M 连接CM交AD于只 连接EF,过C作CNLAB于NV AB = AC = 13, BC = IO, .Q

14、 是BC边上的中线. BD = DC = 5, AD丄BC,JD平分ZBACM在d匕在 Rl/XABD 中，AD = 12: S .Rr = × BC × AD = × AB X CNK 22.“ BCxAD 10x12120 C/V = AB 1313TE关于JZ）的对称点M冋 EF = FM：.CF+ EF = CF+ FM =CM170120根据垂线段最短得岀：CMMCN,即CF+EF ,即CF + EF的最小值是1313巩固练习：如图，等边NIBC的边长为4l AD是EC边上的中线，M是-W ±的动点，E是JC边上点，若JE=I, EM+CM的最

15、小值为解：连接处，与,3交于点M则恥就是EM+CA/的最小值, 过B作EN丄HC于N、V AABC是等边三角形， AN = -AC,2Y等边lBC 的边长为 4, C=4, VJE=I,.NE = , BN =琴AB = 2*, BE = yBN2 + NE2 = y(23) +12 =13 ,£M + CM的最小值为13,故答案为：.题型六差最小例题6：如图,(1) 若要使厂部到/、B两村的距离相等，则应选择在哪里建厂？(2) 若要使厂部到、B两村的水管最短，应建在什么地方？【答案】(1) 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出的中垂线 与河岸交于点则点P满

16、足到拐的距离相等(2) 作出点关于河岸的对称点C,连接CB.交河岸于点P,连接AP.则点P能满足AP+PB 最小 B巩固练习：在平而直角坐标系中有两点J (2,2)，B (1,4),根据要求求出P点的坐标:（1）在X轴上找一点P,使PA +PB最小；（2）在Iy轴上找一点P,使PA +PB最小（3）在X轴上找一点P,使¾-PB最大：（4）在X轴上找一点P使PA-PB最小解：（1）如下图，作关于X轴的对称点左，连接E与X轴相交于点P，则点P即为试R1+PB最短的点,：A （-2,2）,£ （-2, -2）"2 2k b°设直线ZrB的解析式为：y = kx

17、 + b, /J" :一 ' ：. =J4 = k+b b = 2直线E的解析式为：y = 2x + 2,当y = 0时，x = -l /.H-1,0)Va54-嚴3f一:AJ92/J/1IlljIIIl、5 -4 -3 -2y °(1234 5x/ -1 / t打-2一Ar-3（2）如下图，连接肿交y轴于P,则点P即为使刃+朋最短的点2 = -2k+b310,2设直线.15的解析式为：y = kx + b,3直线拡的解析式为:严|"学当“o时， P(O,)3（3）连接BJ并延长交X轴于P ,则点P即为使IBA-PBl最大的点2 10 由(2)得直线毎的解

18、析式为：y = -x + -33当尸0 时，x = _5, P(-5,0)(4) 如图，V IAP-BPI0,当 AP=BP IAP-BPIM小故点P在线段45的垂直平分线上，作线段.炉的垂直平分线交X轴于点P, 则点P即为所求。设Pg 0), IillJ Rr=PB即J(-2-刃 =J(If)S , 解得:X = -, 故点P的坐标为1,02 25 -4 -3 -2 -1 Q()-1 - -2 -IMHMl最大,题型七差最大例题7：已知：/ ( 1, 2 ), B (4,2 ),在直线y = x-上找一点P,使并求最大值解:：A (1,2), B (4,-2),在直线y = Ar-I 的两侧

19、.作(1,2)关于直线y = x_l的对称点彳垂直于直线y = x-l且过点/ (1,2)的直线方程设y = x+则由2 = 1+，得b = 3,即方程为y = -x+3令尸0,得x=3,即N' (3,0)由直线y = -x + 3与直线y = x-1交点为(2,1)ViiJX3,0)和B(42)的直线方程为y = -2x + 67X =由彳34(7 4'即直线y = X-1与直线y = -2x + 6的交点为P；此时 IIPAI-IPBi = IIPA ,- PBIIWIA, BIVIAIBI = (4-3)2+(-2)2 =1T4=5.当P的坐标为时，IlPAl IPBIl最大值为I 3 3丿巩固练习：已知直线C和位于直线两侧的点/和点从 在直线C上找一点P使得刃和PB 之差最大.画岀图形，说明理由.AAA,Af解：作点d关于直线C的对称点Zr ,连接B并延长交直线C于P,点P即为所求. 理由：连接I PA = PA,:、PA-PB = PA,-PB = A,B.在直线C上另取一点P，,连接P'A、P'