第49讲直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

1、2021届新课改地区高三数学一轮专题复习第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离.相离相切相交图形小G量化方程观点J<0J=0J>0几何观点d>rd=rd<r（2 乂圆的切线方程的常用结论过圆炉+/=，2上一点P（A-0. yo）的圆的切线方程为耐+j梦=/；过圆（Xa）2+®-6）2=/2 上一点尸（xo，,0）的圆的切线方程为（xo-a）（x-G+lvo-ZOOLZOur2；过圆炉+）

2、*=户外一点M（xo,地）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xox+j梦=心三、自主热身、归纳总结1、若直线ax+by=l与圆xN+yul相交，则点P（a，b）与圆的位置关系为（）A.在圆内 B.在圆上C.在圆外 D,位置不确定【答案】C【解析】:圆心（0,0）到直线ax+by=l的距离d=<i-Ja24-b2Aa2+b2>l »即点P（a，b）在圆外.故选C.2、直线 kx-y-4k+3=0 与圆 x2+y2-6x-8y+21=0 的交点个数为（）A.O B. 1C.2 D 1 或 2【答案】C【解析】:直线kx -y4k+3 = 0过定点（4 . 3），且点（4

3、. 3堆圆x24y2-6x-8y+21=0内，交点个数为2个.故选C.3、若直线x-y+l=0与圆(x-a>+yuZ有公共点，则实数a的取值范围是()A.3，-1 B. -1 3C. 3 » 1D. (co，3U1 > +oo)【答案】c【解析】由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为建，A- f2-01L.<A/2，即卜+1区2，解得一33口.故(1) 1选C4、过点Q, 3)与圆(x-iy+ynl相切的直线的方程为.【答案】x=2或4x-3y+l=0【解析】若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y=k(x-2)+3,由圆心(1, 0)到切线的距离为半径1,4得k=

4、§.所以切线方程为4x3y+l = 0；若切线的斜率不存在,则切线方程为x=2,符合题意，所以直线方程为4x-3y+l = 0或x=2.5 直线 1： 3xy6=0 与圆 xN+y22x4y=0 相交于 A, B 两点，则 AB=.【答案】Vio【解析】由xZ+V-Zx-dynO,得(x-l>+(y-2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1, 2),半径r=/，又圆 心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为卑，由【呼=0得AB4x(5一3=10,即AB=p.6、(多选)已知直线“-2>+。=0与圆。：炉+产=2相交于48两点(O为坐标原点)，且XOB为等腰直角 三角形，则实

5、数。的值为()A./6BSC. y6D. /5【答案】BD【解析】因为直线x-2y+a=0与圆。：x2+)J=2相交于工，8两点(。为坐标原点)，且HO3为等腰直角三角形，所以O到直线,铝的距离为1,由点到直线的距离公式可得,=1,所以。=与，故 在+ -2 2y选 B、D.7、(多选)已知圆C：。-3)2+»- 3)2 = 72,若直线x+y一加=0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则7 =()A. 2B. 4C. 6D. 10【答案】AD 【解析】圆。：-3)2+(，-3)2=72的圆心。的坐标为(3,3),半径7=班，因为直线、+)一切=0垂直于圆C的一条直径

6、，且经过这条直径的一个三等分点,所以圆心到直线的距离为2虚,=2",解得加=2或10,故选A、D8、(2019湖南长沙月考)设直线/：(加-1*+(2M+ 1»+3?=037£11)与圆('-1)2+贯=8相交于乂，3两点，C为圆心，且，四C的面积等于4,则实数加=.【答案】一；或一(【解析】设C九C5的夹角为仇 圆的半径为匚所以S0。=暴11l6=45116=4,得64易知圆心C到直线“J I7/的距离为2,所以/1,=2,解得卅=一5或一不7 ni1 -+ 2tw + 1 -四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线,:jx-y+l?=0与

7、圆C：炉+3-1户=5的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.不确定(2)已知点P3,加(/#0)是圆/+丁=/内的一点，直线机是以尸为中点的弦所在的直线，直线/的方 程为“»+勿，=/，那么()A. m/l,且/与圆相交 B. w_L/,且/与圆相切C. m/l,且/与圆相离 D. m_L/,且/与圆相离【答案】(DA (2)C【解析】(1)由题意知圆心(0,1)到直线/的距离4=7=1巾，故直线/与圆相交.1(2)因点因在圆内,故有M+分户,直线小是以尸为中点的弦所在的直线,所以?_LOP,所以直线因此,/,又直线I到圆心（00）的距离d=>7=r,故直线/与圆相离

8、.故选C.变式1、（1）（2020杭州模拟）若无论实数取何值时，直线x+y+a+l=0与圆炉+y2-2x-2y+b=0都相 交，则实数b的取值范围为（）A. （8, 2）B. （2, 4-co）C. （oc, -6）D. （-6, +oo）（2）若圆炉+产=/.>0）上恒有4个点到直线x->-2=0的距离为1,则实数厂的取值范围是（）A.（娘+ 1， 4-oo）B.（娘一1， V24-1）C. （0, 72-1）D. （0,碑+ 1）【答案】C （2）A【解析】（DY/+y2-2戈一2>+3=0 表示圆，84b>0,即 bV2直线,ax+y+a+l=0 过定点（- 1,

9、 1）, 二点（一1, 1）在圆犬+jR2x2y+6=0 的内部，,G+bVO,解得 b< 6, /£> 的取值范围是（一8, -6).故选 C.第1页共11页2（2）计算得圆心到直线/的距离为主（方法2）求圆心到直线的距离d=4T+k2<2解得或kV-木.=72>1,如图，直线/:'一），-2=0与圆相交，A,6与/平行，且与直线/的距离为1,故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线/2的距离正+L 变式2、己知圆C的方程为x2 + （y4>=4，点O是坐标原点，直线1： y=kx与圆C交于M，N两点.（1）求k的取值范围;（2）直线1能否将圆C

10、分割成弧长之比为1 ： 3的两段弧？若能，求出直线1的方程：若不能，请说明理由.【解析】（1）（方法1）将丫=代代入圆C的方程x? + （y-4>=4，得（1+炉氏2 8kx+12=0;直线1与圆C交于 M，N两点，/=（-8k）2-4xl2（l+k2）>0，得 k>3，（*”.k 的取值范围是（一8，一5）U（小，+oo）.（2）假设直线1将圆C分割成弧长的比为1 : 3的两段弧，则劣弧MN所对的圆心角NMCN=90。，由圆C： x?+（y-4>=4知圆心C（0，4），半径r=2.在KdMCN中，可求弦心距d=rs加45。=表，故圆心C（0，In4I4)到直线kx-y

11、=O的距离7=q=理1+=8，k=±77，经验证k=：h满足不等式(*)，故1的方程 71+k-为 y=±7x.方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用“与/的关系.(2)代数法：联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题十例2、已知直线axy+2 a=0与圆C： 33> +(71)2=9相交于A, B两点，若弦AB的长为3建，求 实数a的值.【解析】因为圆心到直线ax-y+2a=0的距离为1黑，所以解得a = l

12、或a = 7.变式1、( 1)在平面直角坐标系xOy中，直线第x-y+l一$=0被圆x+y2 6x2y+l=0截得的弦长为(2)当直线l：axy+2a=0被圆C： (x-3)24-(y-1)2=9截得的弦长最短时,实数a的值为.(3)若直线 1： ax-y+2-a=0 与圆 C： (x-3>+(y-l)2 = 9 相交于 A, B 两点，且NACB = 90。，则 实数a的值为.【答案】(1) 26(2) 2(3) 1或7【解析】(D 圆乂2+寸一6乂-2丫+1=0的圆心为C(3, 1),半径r=3,点C到直线/xy+l/=O的 距离d=小，所求弦长为l=2/?二/=2a.【解析】(2)

13、由ax-y+2-a=0得直线1恒过点M(l, 2).又因为点M(l, 2)在圆C的内部，当MC与1 垂直时,弦长最短所以k、ick= -1，奸以 7xa= -1,解空a=2.(3)由题意，得圆心C(3, 1),半径r=3且NACB=90。.则圆心C到直线1： axy+2a=0的距离为半I,即牛挡=乎，解得a=l或a=7.>/a2+l2变式2、(1)过点M(l, 2)的直线1与圆C： (x-3>+(y-1> = 9相交于A, B两点，若弦AB的长为2小，则直线的方程为(2)已知圆C：(xT)2+(>，-2)2=2截j，轴所得线段与截直线y=2x+b所得线段的长度相等，则Q

14、【答案】(1) x=l或3x-4y+5=o (2) 地【解析】(1)当直线1的斜率不存在时，x=h符合条件；当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为yfl2k+liy由1后D *解得k=*l)k+ll-2=k(x-l),所以圆心到直线kx-y+2-k=0的距离为云高即直线1的方程为3x4y+5=0.综上所述，所求直线1的方程为x=l或3x4y+5=0.(2)记圆C与)，轴的两个交点分别是H, B,由圆心C到y轴的距离为1, C4|=|CB|=5可知，圆心 C(l,2)到直线2x-)，+6=0的距离也等于1才符合题意，于是邑9=1,解得b=M-方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法:将直线和圆的方

15、程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式>0的前提下， 利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为4,圆的半径长为八则弦长/=23一考点三圆的切线问题例3、(徐州一中2019届模拟)已知点P(也+1,2一或),点M(3,l),圆C： (ll)2+(y2)2=4.(1)求过点尸的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程.【解析】由题意得圆心。(1,2),半径r=2.(1)因为(6+1 1产+(26-2户=4,所以点P在圆C上.又如=舒言=-1'所以切线的斜率上=一5=1所以过点P的圆C的切线方程是)一(2一娘)=lxx(建+1),即x-y+l

16、25=0.(2)因为(3 - 1户+(1 -2户=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为r=3,即 1=0.又点C(l,2)到直线-3=0的距离 =3 - l=2=r,即此时满足题意，所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时，设切线方程为y-l=(x-3),即h一y+1 - 3%=0,则圆心C到切线的距离4心2+13川？彳=-7-7=-2,解得女弓,所以切线方程为厂1=企-3),即标一4V5=0,综上可得，过点M的巾-+3f圆C的切线方程为X3=0或3x4y-5=0.变式 1、已知点 P(娘+ 1, 2也)，点 M(3, 1),圆 C： (x-l)2 +

17、(y-2)2=4.(1)求过点P的圆c的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.【解析】(1)由题意得圆心C(l, 2),半径r=2.因为(娘+ 1 1>+(2建一2>=4,所以点P在圆C上.八kg =2一巾一2 2 + 1-1所以切线的斜率k=2=l,所以过点P的圆C的切线方程是y(2W)=x(W + D.即xy+12也=0.(2)因为(3 1>+(12)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,即X3=0,满足题意;当切线的斜率存在时，设切线方程为y-l=k(x-3),即kx-y+l3k=0,则圆心C到切线的距离d

18、=|k-2+l-3k|-2,解得 k=a，所以切线方程为丫-1=条-3),即 3x4y5=0.综上所述，过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为 MC=、(3 1) 2+(1-2) 2= 6所以过点M的圆C的切线长为1卜©2=后7=1.变式2、已知圆C： (x-l)2+(y+2)2=10，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线h： x+y4=0平行：(2)与直线h： X2y+4=0垂直；(3)过切点 A(4，- 1).【解析】(1)设切线方程为x+y+b=0，则艮羊包=回，.b=l±2小， 工切线方程为x+y+l±2小=0.(2)设切线方程

19、为2x+y+m=0，则”方同=/» ：.m=±5yl， ，切线方程为2x+y±5也=0.-24-1 1(3)VkAc=-pq-=j，过切点A(4，- 1)的切线斜率为一3 >过切点 A(4，- 1)的切线方程为 y+l = -3(x-4)，即 3x+y -11=0.方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点), 则过该点的切线只有一条：若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线工一6)，+ 8 = 0和圆/

20、+ 了2=/0.>0)相交于ab两点.若1481=6,则r的值为.【答案】5-= = 4V1 + 3【解析】因为圆心(0,0)到有线x JJy + 8 = 0的距离d =由IABI=2尸彳可得6 = 2/7才，解得 =5.故答案为：5.2、【2020年浙江卷】.设直线/：、=履+，附>。)，圆G：W + y2 = , c2：(x_4)2 + r = it若直线/与g，G都相切，则&=： b=.【答案】(1).走 (2). M33c b4k+b ,【解析】由题意，G，a到宜装的距离等于半径，即八 ,=1.1,)=1.所以1方=|4攵+4，所以4=0 (舍)或者人=一24，解得

21、k =立力=_独. 33故答案为3、【2020年全国2卷】.若过点（2, 1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x y 3 = 0的距离为（）A正B.浊C.正D.任5555【答案】Bt解析】由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设网心的坐标为（"M），则圆的半径为。，圆的标准方程为（xa）? +（y «）2 =a2.由题意可得（2-= ,可得 a? -6。+ 5 = 0，解得 “ =1 或。=5 ,|2xl-l-3|_2V575 一_F所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,|2x5-5-3|_

22、25/5圆心（U）到门线2x-y-3 = 0的距离均为4 =圆心（5,5）到宜线2K-y3=0的距离均为4 =圆心到直线2工一），-3 = 0的距离均、为d =所以，圆心到直线2x-y-3 = O的距离为还一 5故选：B.4、【2020年全国3卷】若直线/与曲线产返和炉+产=!都相切，则/的方程为（）A.j=2rHB.j=2x+iC.31x+1【答案】D【解析】设宜线/在曲线y = «上的切点为（小,H），则 >0,函数y = 4的导数为3/ =:=,则直线/的斜率女=二=， 2、x2y，o设直线/的, "一 H=（工一题）,即X一2后），+%=0,）1 / 1由于直

23、线/。陶厂+厂=一相切，则/；一=一, 5 扪+ 4玉）¥两边平方并整理得5片-4%-1 = 0,解得/=1,飞=一g （舍），则宜线/的方程为x - 2,，+1 =。，即，=1x+J. 乙乙故选：D.5、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线工一），+ ? = 0与圆。：f +y=l相交 于A, B两点,若AOAB为正三角形，则实数？的值为（）C. 0或D.用或一直 2222【答案】D【解析】由题意得，阴O:W +）* = 1的圆心坐标为（o,o）,半径r二1一因为AOAB为正三角形，则圆心0到直线x - y + ? = 0的距离为走=正， 22即1=旦=立，解得?=亚或小=一如，故选D.5/22226、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线丸：丘+），=。（攵eR）与直线/2：匕一价+ 2攵-2 = 0相交于点,4,点8是圆（x + 2）2+（y + 3）2=2上的动点，则IA8I的最大值为（）A. 372B. 5点C. 5 + 2&D. 3 + 2点【答案】C【解析】fIiAir+y = 0,./ » ° c，消去参