2022年高考数学考前押题及答案解析

1、2022年高考数学考前押题1.如图所示，在正三棱柱ABC-481。中，AB=-AAi=2,E,尸分别是AB,AC的中点.(1)求证：81。平面A1E/：(2)若点G是线段81cl的中点，求二面角4-E尸-G的正弦值.【分析】(1)证明EFBC,说明E/810.然后证明81。平面A1EE(2)向量法：以厂为原点建立空间直角坐标系尸-孙z.求出平面4E尸的一个法向量，平面GEF的一个法向量，设二面角Ai-EF-G的平面角为。，利用空间向量的数量积求解二面角Ai-EF-G的正弦值即可.几何法：在正三棱柱ABC-A1BC1中，取BC中点O,连接A。，且AOAEF=O,连接40,GO,说明乙41OG即为

2、二面角Ai-E尸-G的平面角，记为&连接4G,通过求解三角形4A1OG中，推出结果.【解答】解：(1)证明：在正三棱柱ABC-481。中，BC/BC.VE,F分别是A8,AC的中点，M是ABC的中位线，；.EF/BC.XVBC/BCi,：.EF/BC.又BiCW平面AiEF,EFu平面4EF,Cl平面4EF.(2)向量法:在正三棱柱ABC-4181cl中，取4。的中点H,连接厂”，WOFH/CC.在正ABC中，连接下8,则FBJ_AC.又因为A8=A4i=2,所以FB=V3,FC=1.如图，以厂为原点建立空间直角坐标系尸-xyz.41(0,1,2),E(坐，：,0)尸(0,0,0),G

3、(空，；,2)4/=(坐，/，2),A：F=(0,1,-2),GE=(0,-1,-2),晶=(一空，-2).设益=（x,y,z）为平面AiE尸的一个法向量,<->->J31则丁”二个+/-2z=。.令q,则户竽，产2,1?nArF=y-2z=0Am=（r-，2,1）,同理可求，平面GE尸的一个法向量为：/=（孥，2,-1）.设二面角Ai-EF-G的平面角为0,3 -91 -1所以二面角M-EF-G的正弦值为二19几何法：在正三棱柱ABC-481C1中，取8c中点O,连接A。，S.ADQEFO,连接40,GO,则AO_L8C,又A4i_LBC,AAiQAD=A,平面4OG.由(

4、1)知：EF/BC,.,.EF_L平面40G./4。6即为二面角4-后产-6的平面角，记为0.连接4G,ZVliOG中，&O=J4+|=,GO=+.=零'人"=心，19.19_o由余弦定理得：皿”建=排所以二面角A-EF-G的正弦值为二.19【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题.2.如图，在四棱锥尸-A8C。中，侧面以8_L底面ABCD,底面A8C3是直角梯形，AD/BC,ABLBC,N以8=120°,PA=AD=AB=,BC=2.(1)证明：平面PBCL平面B48；(2)

5、在线段尸B上是否存在点M,使得直线AM与平面尸8。所成角的正弦值为运？若5存在，求出线段PM的长度；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得，8cL平面48尸，由面面垂直的判定定理证明即可；>>(2)建立合适的空间直角坐标系，求出点的坐标和向量的坐标，PM=APB(0SAW1),求出直线的方向向量和平面法向量，由已知条件列出等式，求解即可.【解答】(1)证明：因为平面南8,平面A8CD,且平面以BC平面A8CO=A8,因为8c8Cu平面ABC。，所以8cl平面A8P,又因为8Cu平面PBC,所以平面尸BC1.平面PAB；(2)解：在平面mB内，过点A作AEJ_

6、AB交PB于点E,则可知AEJ_平面ABCC,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，由NB48=120°,PA=AD=AB=,BC=2,故点P(-左，0,号)，8(1,0,0),C(l,2,0),0(0,1,0),所以£)P=(-1/亨),OB=(1,-1/0)/PB=G,0/空)设蔡=(%,yfZ)为平面尸8。的法向量，则有?¥=°，即卜上7+当z=。，=0(xy=0取x=l,则y=l,z=V3,故几=(1,LV3),设P+=/1而(0工入41),milCA*n晨4r3A1n/3(1则AM=AP+PM=(2，0，j-因为直线AM与平面P8

7、3;>所成角的正弦值为誓,则|cos<AM,n>=中叫=1=MM|n|J3A2-3A+1xV5【点评】本题考查了面面垂直的证明和线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.3.如图，四棱锥P-A8CO的底面A8CO内接于半径为2的圆O,AB为圆。的直径，AB/CD,2DC=AB,E为AB上一点,PE_L平面ABC。，ED1AB,PE=EB.求:(1)四棱锥P-ABC。的体积；(2)锐二面角C-PB-D的余弦值.【分析】(1)连接0£>,OC,OOC是正三角形，求出底面面积和高，即

8、可求解四棱锥P-A8CD的体积.(2)建立空间直角坐标系E-孙z,求出平面PBC的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角C-P8-£>的余弦值.【解答】解：(1)连接。力，OC,易得OOC是正三角形，'JAB/CD,ZAOD=ZODC=60°,EDLAB,：.ED=V3,EO=,:.PE=EB=3,Sabcd=2x(2+4)xV3=3>/3,Ilr-：.Vp.ABCD=3x3V3x3=3V3,.四棱锥P-ABCD的体积为3国.(2)如图建立空间直角坐标系E-孙z,则8(0,3,0),C(V3,2,0),D(V3,0,0),P(0,0,3),>»：.BD=(V3,-3,0),PB=(0,3,-3),BC=(遍，-L0),设平面的法向量为元=（%ylfZi）,»皆二】=°,即PBn1=0二3y大一。，取yi=l,则加=遍，Zl=l,得元=（遮，1,1）,3=0设平面P8C的法向量为几2=（皿，yz*Z2）»由即噪葭二：,取贝t，得设锐二面角C-PB