第六章弯曲变形

1、材料力学第六章第六章 弯曲弯曲变形变形材料力学材料力学弯曲变形弯曲变形/ /工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题材料力学弯曲变形弯曲变形/ /工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 工程中的某些受弯杆件除工程中的某些受弯杆件除强强度要求度要求外，往往还有外，往往还有刚度要求刚度要求，即要求它弹性变形不能过大。即要求它弹性变形不能过大。例：车床主轴、钻床。例：车床主轴、钻床。材料力学弯曲变形弯曲变形/ /工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题车床主轴：车床主轴：材料力学弯曲变形弯曲变形/ /工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题钻床：钻床：材料力学弯曲变形弯曲变形/ /工程中的弯曲变形

2、问题工程中的弯曲变形问题 工程中虽然经常限制弯曲变形，但在有工程中虽然经常限制弯曲变形，但在有些情况下，也会利用弯曲变形达到某种要求。些情况下，也会利用弯曲变形达到某种要求。例：汽车中的叠板弹簧。例：汽车中的叠板弹簧。材料力学6.2 6.2 挠曲线的挠曲线的微分方程微分方程弯曲变形弯曲变形/ /挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程材料力学弯曲变形弯曲变形/ /挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程一一. .几个基本概念几个基本概念1.1.挠曲线挠曲线 变形后，梁的轴线由直线变为光滑的变形后，梁的轴线由直线变为光滑的连续曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。连续曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。材料力学挠曲线上横

3、坐标为挠曲线上横坐标为x x的的任意点的纵坐标。任意点的纵坐标。 即：截面形心沿即：截面形心沿y方向方向的位移，以的位移，以w w表示。表示。 w w与坐标轴同向为正。与坐标轴同向为正。挠度挠度方程或挠曲线方程方程或挠曲线方程)x(fw y2.2.挠度挠度弯曲变形弯曲变形/ /挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程材料力学横截面相对于原来位置转横截面相对于原来位置转过的角度，以过的角度，以 表示。表示。 亦等于亦等于x轴与挠曲线切线轴与挠曲线切线的夹角。的夹角。符号规定：符号规定：以梁轴线为基线，逆时针转以梁轴线为基线，逆时针转向为正，反之则为负。向为正，反之则为负。y弯曲变形弯曲变形/ /挠曲线的

4、微分方程挠曲线的微分方程3.3.截面转角截面转角材料力学弯曲变形弯曲变形/ /挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程数学上，用一次导数表示曲线数学上，用一次导数表示曲线w=f(x)的斜率的斜率y)(xydxdwtandxdwarctan材料力学1MEI 1( )( )M xxEI 二二. .挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程材料力学3221|( )(1)wxw 322|( )(1)wM xEIw材料力学OxwxOw00 wM wM00Mw 00 wM 00Mw MMMM材料力学 322( )(1)wM xEIw( )M xwEI2wtan( )ww x2w 材料力学EIxMdxwd22）（ 适

5、用范围：适用范围：比例极限内的挠曲线小变形。比例极限内的挠曲线小变形。复复 习：习：1.1.公式中各符号的含义；公式中各符号的含义；2.2.常见截面对中性轴的惯性矩常见截面对中性轴的惯性矩IzIz。弯曲变形弯曲变形/ /挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程材料力学6.3 6.3 用积分法用积分法求弯曲变形求弯曲变形弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形材料力学EIxMdxwd22）（ 材料力学EI)x(Mdxwd22 由挠曲线的近似微分方程由挠曲线的近似微分方程CdxEI)x(Mdxdw （转角方程）（转角方程）DCxdxdxEI)x(Mw （挠度方程）（挠度方程）式中式中C、

6、D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形梁的约束条件梁的约束条件边界条件边界条件连续性条件连续性条件材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形1.1.边界条件边界条件挠度和转角均为挠度和转角均为0 0固定端固定端材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形铰支座铰支座挠度为挠度为0 0材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形弯曲变形的对称点弯曲变形的对称点转角为转角为0 0材

7、料力学2.2.连续性条件连续性条件挠曲线应该是一条连续光滑的曲线。挠曲线应该是一条连续光滑的曲线。在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 根据边界条件和连续性条件根据边界条件和连续性条件可确定积分常数。可确定积分常数。 总结：总结：材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 求得梁的挠度和转角后，根据需求得梁的挠度和转角后，根据需要，限制最大挠度和最大转角不超过要，限制最大挠度和最大转角不超过某一规定数值，就得到某一规定数值，就得到刚度条件：刚度条件：w wmax

8、maxw w maxmax 材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形FlBAeg.1eg.1已知悬臂梁的抗弯刚度为已知悬臂梁的抗弯刚度为EIEI，确定梁的挠度和转角方程，并求点确定梁的挠度和转角方程，并求点A处的挠度和转角。处的挠度和转角。思路思路材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形FlxBAx)(FxM 0)(Fx)( 逆逆逆逆xMM材料力学EI)x(Mdxwd22 )x(MdxwdEI22 x FEIw 积分一次得转角方程：积分一次得转角方程：积分二次得挠度方程：积分二次得挠度方程：CEIwEIFx 22 DCxEIwFx 63弯曲变

9、形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形材料力学3.3.确定积分常数确定积分常数C、DxFw wlxBA原则：原则：约束条件约束条件由于由于B B端为固定端，所以端为固定端，所以 x=l 时，时，=0 0 x=l 时，时， w=0 0代入方程得代入方程得22FlC 33FlD 弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形4.4.求求A处的挠度和转角处的挠度和转角xFw wlxBA 将将A A处对应坐标处对应坐标x=0 x=0，代入挠度方程和转，代入挠度方程和转角方程即得角方程即得A A处的挠度和转角。处

10、的挠度和转角。注：注：A处对应梁的最大挠度和最大转角。处对应梁的最大挠度和最大转角。材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形例例2 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求 和和 。)(),(xwx max,wA ALFCabB思路：思路：求支座反力求支座反力列弯矩方程（分段）列弯矩方程（分段）积分一次，求转角方程积分一次，求转角方程积分二次，求挠度方程积分二次，求挠度方程x=0，求，求A处的转角处的转角=0，求最大挠度，求最大挠度材料力学ALFCabAyFByF1.1.求支座反力求支座反力,LFbFAy LFaFBy x2.2.分段列弯矩方程分段列弯矩方

11、程xLFbxFxMA )(1)(Lxa BC段段x)0(ax AC段段B)()(2axFxLFbxM 弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形3.3.积分求转角方程和挠度方程积分求转角方程和挠度方程)0(ax AC段段xLFb EIw1 1211CxL2FbEIEIw 1131DxCxL6FbEIw )(Lxa BC段段)ax(FxLFb EIw2 22222C)ax(2FxL2FbEIEIw 22332DxC)ax(6FxL6FbEIw 材料力学4.4.确定积分常数确定积分常数边界条件：边界条件：0w, 0

12、xA （1）0w,LxB （2）连续性条件：连续性条件：21 时时，ax（3）21wwax 时时，（4）可解得：可解得：)(62221bLLFbCC 021 DDALFCab弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形B1211CxL2FbEIEIw 1131DxCxL6FbEIw 22222C)ax(2FxL2FbEIEIw 22332DxC)ax(6FxL6FbEIw 材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形将积分常数代入，得完整的转角和挠度方程将积分常数代入，得完整的转角和挠度方程)0(ax AC段段)(Lxa BC段段)(36)(2221bLxL

13、EIFbx x)bL(xLEI6Fb)x(w2231 2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx )ax(6Lx)bL(xLEI6Fb)x(w32232 材料力学LEIbLFbxA6)(2201 弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形5.5.求求A处的转角处的转角ALFCabBA处，处，x=0材料力学, 06)(22 LEIbLFbA )(03)(1baLEIbaFabaxC 段段在在AC0 0)(36)(2221 bLxLEIFbx 则由则由解得：解得：322bLx 6.6.求求最大挠度最大挠度弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 最大挠度

14、处，转角最大挠度处，转角为零，利用转角求出最大为零，利用转角求出最大挠度对应的坐标值挠度对应的坐标值x xALFCab材料力学EIL39)bL(Fbw2322max EI48)b4L3(Fbww222Lxmax maxw代入得代入得将将x=L/2代入得代入得322bLx 弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形注意注意（1 1）控制截面应作为分段点；）控制截面应作为分段点；（2 2）截面变化处应作为分段点；）截面变化处应作为分段点；（3 3）凡分段点处应列出连续条件。）凡分段点处应列出连续条件。 根据梁变形的连

15、续性，对同一截面只可根据梁变形的连续性，对同一截面只可 能有唯一确定的挠度和转角。能有唯一确定的挠度和转角。材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形已共同完成：已共同完成：课本课本180180页例页例6.16.1和和183183页例页例6.36.3要求独立完成：要求独立完成：课本课本182182页例页例6.26.2材料力学6.4 6.4 用叠加法用叠加法求弯曲变形求弯曲变形弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形材料力学叠加法分类：叠加法分类：弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形材料力学一一. . 在小变形和线弹性范围内，由几个

16、载荷在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。度和转角的代数和。叠加原理：叠加原理：弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形材料力学例例1 1：q q、l l、EIEI， 求：求：w wC 和和 B弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 参见参见188188页表页表6.16.1w1010w8 8、9 9w6 6材料力学www,243

17、1EIqlB EIqlwC384541 ,33)(323EIqlEIlqlB EI16qlw43C ,EIqlEIl)ql(B1616322 EIlqlwC48)(32 弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形材料力学321BBBB EIql243 EIql33 EIql163 EIql48113 321CCCCwwww EIql38454 EIql4834 EIlql48)(3 EIql384114 弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形材料力学二二. .弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形叠加原理：叠加原理：将梁的挠曲线分成几段，

18、首先分别计算各段梁的变形将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形在所求处引起的位移（挠度和转角），然后计算其总在所求处引起的位移（挠度和转角），然后计算其总和即得所求位移。在分析各段梁的变形在所求处引起和即得所求位移。在分析各段梁的变形在所求处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。均视为刚体。材料力学ABaLFC弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形例例2 2：F F、L L、a a、EIEI， 求：求：w wC材料力学ABalFCFABalCFaFaBC+1）考虑）考虑AB段段(BC段看作刚体段看

19、作刚体)F F作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。B FaFa使使ABAB梁产生向上凸的变形。梁产生向上凸的变形。查表得：查表得：EIlFaB3)( 1CwawBC 1)(32 EIlFa弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形材料力学2）考虑）考虑BC段段(AB段看作刚体段看作刚体)AFaBC2Cw)(332 EIFawC21CCCwww )(3332 EIFaEIlFaABalCFaB 1Cw弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形3）两段叠加）两段叠加查表得：查表得：材料力学弯曲变形弯曲变形/ /用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形已共

20、同完成：已共同完成：课本课本186186页例页例6.46.4和和187187页例页例6.56.5要求独立完成：要求独立完成：课本课本191191页例页例6.66.6材料力学 6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁材料力学一一.基本概念基本概念超静定次数：超静定次数：弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁 未知力（支座反力）的数目多于能列出未知力（支座反力）的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题。能解出全部未知力，则称为超静定问题。未知力的数目未知力的数

21、目- -独立平衡方程数独立平衡方程数超静定梁：超静定梁：材料力学弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁材料力学弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁BqL求解固定端和铰支座的约束反力求解固定端和铰支座的约束反力材料力学弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁BqL超静定次数超静定次数= =未知力的数目未知力的数目- -独立平衡方程数独立平衡方程数 =3-2=3-2 =1 =1材料力学弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁 将超静定梁的将超静定梁的多余约束多余约束解除，得到相应的解除，得到相应的静定梁。静定梁。多余约束的数目多余约束的数目= =超静定次数超静定次数材

22、料力学BqL弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁ByFBqLA 解除解除B B支座的约支座的约束，以束，以F Fbyby代替，即代替，即选择选择A A端固定，端固定，B B端自端自由的悬臂梁作为基本由的悬臂梁作为基本静定梁。静定梁。静定梁的选择原则：静定梁的选择原则：首选悬臂梁，其次简首选悬臂梁，其次简支梁，最后外伸梁。支梁，最后外伸梁。材料力学弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁 比较原超静定梁和解除约束后的静定梁，比较原超静定梁和解除约束后的静定梁，根据两者在解除约束处的变形情况应完全相同，根据两者在解除约束处的变形情况应完全相同，得到变形协调条件。得到变形协调条件。BqLByFBqLA0wB 材料力学弯曲变形弯曲变形/ /简单超静定梁简单超静定梁ByF