北京理工大学工科数学分析7-7常系数二阶非齐次微分方程的求解

1、1. 1. 二阶常系数线性齐次微分方程的求解二阶常系数线性齐次微分方程的求解0 qyypyDec. 28 Wed. Review 特征方程特征方程02 qp 特征方程有两个不相等的实根特征方程有两个不相等的实根2422, 1qpp 方程有通解方程有通解 xxeCeCy2121 特征方程有两个相等的实根特征方程有两个相等的实根22, 1p 方程有通解方程有通解 xxxeCeCy1121 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根 iqpip 2422, 1)sincos(21xCxCeyx 方程有通解方程有通解 2. n 阶常系数线性齐次微分方程的求解阶常系数线性齐次微分方程的求解01)1(1

2、)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr 特征方程有单的实根，则原方程有特解特征方程有单的实根，则原方程有特解rxey 特征方程特征方程有有 k 重实根，则原方程有解：重实根，则原方程有解：rxrrrxrxexyxeyey121, 特征方程有单复根，则特征方程有单复根，则xeyxeyxx sin,cos21 特征方程有特征方程有mm重复根，则重复根，则xexyxexyxxeyxxeyxeyxeyxmmxmmxxxx sin,cossin,cossin,cos121124321 3. 3. 常系数非齐次线性微分方程特解常系数非齐次线性微分方程特解1).1).

3、二阶常系数非齐次线性方程为：二阶常系数非齐次线性方程为：xmexPqypy )( , )(xQexymxk 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k特殊情形特殊情形 )(.xPamxeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxeAxAxeAey2*,)(, 0.xPqyypybm 是特征复根是特征复根，是特征单根是特征单根，不是特征根不是特征根0)(0)(0, )(2* xQxxxQxQymmm特例特例kcyybya cky *8 8 常系数二阶非齐次常系数二阶非齐次 微分方程的求解微分方程的求解n 型型n 型型n

4、两个常用定理两个常用定理n欧拉方程欧拉方程xmexPxf )()( )sin)(cos)()(xxPxxPexfnlrx )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYy 常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法. .型型一一xmexPxf )()(. 次多项式：次多项式：的已知的的已知的为为mxxPm)(二阶常系数非齐次线性方程为：二阶常系数非齐次线性方程为：xmexPqyypy )(

5、 mmmmmaxaxaxaxP 1110)(xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm (1) 若若不不是是特特征征方方程程的的根根，, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 设非齐方程特解为设非齐方程特解为(2) 若若是是特特征征方方程程的的单单根根，, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexxQy (3) 若若是是特特征征方方程程的的重重根根，, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设.)(2xmexQxy 综上讨论综上讨论, )(xQexymxk 设设01,2k

6、 不不是是根根是是单单根根是是重重根根注意：注意：上述结论可推广到上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线阶常系数非齐次线性微分方程（性微分方程（k 是重根次数）是重根次数）.特殊情形特殊情形 )(. 1xPmxeqyypy *2,xxxAeyAxeAx e 不不是是特特征征方方程程的的根根是是特特征征方方程程的的单单根根是是特特征征方方程程的的重重根根)(, 0. 2xPqyypym *( ),( )( )2000mmmQxyxQxx Qx不不是是特特征征根根，是是特特征征单单根根，是是特特征征重重根根特例特例kcyybya 不是特征根不是特征根0 Ay *kcA ckA cky *的通解；的

7、通解；求求例例22. 1xyyy 解：解：0, 1,)(2 xmexxP方程为：方程为：对应的齐次方程的特征对应的齐次方程的特征022 2, 121 不是特征根不是特征根0 . 0 kcbxaxxQm 2)(cbxaxxQym 2*)(代入方程代入方程aybaxy2,2* )(2)2(22cbxaxbaxa bcaxbaax )(2)(2222x 0)(2012bcabaa 4/32/12/1cba.),23(21*2212*yeCeCyxxyxx 解：解：，042 ,221i ， ：不是特征根，故特解为不是特征根，故特解为2 ,2*xAey ,22*xAey ,42*xAey *4yy xx

8、AeAe2244 的一个特解和通解；的一个特解和通解；求求例例xeyy24. 2 xxeAe228 ,81 Axey2*81 xCxCY2sin2cos21 ：对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为.2sin2cos81212xCxCeyx 解：解：,cosxyu ,sincosxyxyu xyxyxyucossin2cos xyxyxyxycos4)cos3sin2cos( ,4ueux 解；解；化简，并求此方程的通化简，并求此方程的通将将利用代换利用代换例例xexyxyxyxuy cos3sin2coscos. 3,4xeuu ,2sin2cos21xCxCu 对应齐次方程的通解为对应齐

9、次方程的通解为,1,22, 1不是特征方程的根不是特征方程的根i ,*xAeu 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为代入方程，得代入方程，得将将*u,51 A,2sin2cos51421xCxCeueuuxx 的通解为的通解为原方程的通解为：原方程的通解为：.cos5cos2sincos2cos21xexxCxxCyx 的一个特解；的一个特解；求求例例xeyy24. 4 解：解：，042 , 221 ， 是特征根，故特解为：是特征根，故特解为：2 ,2*xAxey ,)21(2*xexAy *4yy xxAxeexA224)1(4 xxeAe224 ,41 Axxey2*41 xxeCeC

10、Y2221 ：对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为.4122212xxxeCeCxey )1(42*xAeyx 的一个特解。的一个特解。求求例例xeyyy2344. 5 ，0442 , 221 ， 是重根，故特解为：是重根，故特解为：2 ,22*xeAxy ),1(22*xAxeyx ,)142(222*xexxAy 解：解：代入方程得：代入方程得：xxxxeeAxxAxexxAe22222224)1(8)142(2 23 A.2322*xexy 的一个特解。的一个特解。求求例例xexyyy222. 6 ，022 2, 121 ：不是特征根，故特解为不是特征根，故特解为2 ,)(22*xe

11、cbxaxy *()(),22222xxyaxbxc eaxb e *()(),222244 22xxxyaxbxc eaxb eae解：解：从而有：从而有：* ()()22245 22xyyyaxbxcaxba exex22 22)452()410(4xcbaxbaax 0452041014cbabaa 32/318/54/1cbaxexxy22)32318541( 所以特解所以特解.)1()(1)(, 2)0(, 0)0(),(2)(),()()(),(. 702 dxxxfxxggfxfexgxgxfxgxfx求求且且满足满足设函数设函数例例求导，得求导，得两端对两端对由由xxgxf),

12、()( )()(xgxf ),(2xfex ,2)()(xexfxf 即即,2, 1i 特征方程的根为特征方程的根为,sincos21xCxCY 齐次方程通解为齐次方程通解为解：解：，设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为xAey , 1 A代入原方程得，代入原方程得，,xey ,sincos)(21xexCxCxf 所以原方程的通解为所以原方程的通解为得得由由, 2)0()0(, 0)0( gff故故, 1, 121 CC,sincos)(xexxxf 02)1()(1)(dxxxfxxg 02)1()(1)(dxxxfxxf 020)()1()()(11xdxxfxdfx 02020)1

13、()()1()(1)(dxxxfdxxxfxxf.11)0(1)( eff型型)sin)(cos)()().2xxPxxPexfnlrx a . a . 当当ir 不是特征根时，不是特征根时，则特解具有形式则特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx b. b. 当当ir是特征根时，是特征根时，则特解具有形式则特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQxeymmrx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定多项次待定多项为两个为两个和和其中其中型型二二)sin)(cos)()(.xxPxxPexfnlrx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定

14、多项次待定多项为两个为两个和和其中其中次多项式：次多项式：的已知的的已知的为为与与nlxxPxPnl,)()(具有形式具有形式不是特征根时，则特解不是特征根时，则特解当当ir 1.)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx *( )cos( )sin)rxmmyxe Q xx R xx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定多项次待定多项为两个为两个和和其中其中有形式有形式是特征根时，则特解具是特征根时，则特解具当当ir 2.的一个特解；的一个特解；求方程求方程例例xxyy2cos. 1 解解: 本题本题 特征方程特征方程, 2, 0 故设特解为故设特解为xdxcxbxay

15、2sin)(2cos)(* 不是特征方程的根不是特征方程的根,ii2 代入方程得代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433( 012 r,)(xxQl , 0)( xRn比较系数比较系数 , 得得9431, da.2sin2cos*9431xxxy 于是求得一个特解于是求得一个特解13 a043 cb03 c043 ad0 cb的特解；的特解；求求例例xxyyysin3cos2. 2 解解: :特征方程：特征方程：, 022 rr2712, 1ir 特解具有形式：特解具有形式：xbxaysincos* 代入方程得：代入方程得：xxxabxbasin3cossi

16、n)(cos)( . 3, 1abba . 2, 1baxxysin2cos* 的通解；的通解；求方程求方程例例xxyy3sin303cos189. 3 解解: 特征方程为特征方程为, 092 r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21 )3sin3cos(*xbxaxy 比较系数比较系数, 得得,5 a,3 b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxy ir32,1 代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6 所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21 为特征方程的单根为特征方程的单根 ,i3 )3sin33cos5(xxx

17、xx3sin303cos18 因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为的特解；的特解；求求例例)2sin2cos3(. 4xxeyyx 解解: :特征方程：特征方程：, 012 r, 12, 1 r特解具有形式：特解具有形式：)2sin2cos(*xbxaeyx 代入方程比较系数得：代入方程比较系数得：.21,41 ba)2sin212cos41(*xxeyx 的特解；的特解；求求例例xxyysin45. 解解: :特征方程：特征方程：, 012 r, 12, 1 r特解具有形式：特解具有形式：xdcxxbaxysin)(cos)(* 代入方程比较系数得：代入方程比较系数得：. 2, 2,

18、 0 cbda.sin2cos2*xxxy hw：p394 1(4,5,8,9,12(4,5,8,9,12),2(2).三三. . 两个常用定理两个常用定理定理定理1 1 是方程是方程若若)()(21xiyxyy )4()()3()(21xfqyypyxfqyypy 分别是方程分别是方程和和的解，则的解，则)()(21xyxy的解。的解。)2()()(21xifxfqyypy 证明：证明：看作常数，得：看作常数，得：将将1 i,21y iyy ,21y iyy 得：得：代入方程代入方程)2()()()(212121iyyqy iypy iy )()(222111qyypyiqyypy )()(

19、21xifxf 的解。的解。分别是分别是与与所以有所以有，的实部与虚部分别相等的实部与虚部分别相等两个复数相等是指他们两个复数相等是指他们)4(),3()()(21xyxy的特解；的特解；求求例例xxyysin4. 1 解解: :的虚部的虚部右端是右端是)sin(cos44xixxxeix 可先求解复方程：可先求解复方程：ixxeyy4 1, 012, 12 rr解解不是特征根，方程有特不是特征根，方程有特i ixebaxy)(* 代入方程得：代入方程得：ixixxeaibaxe4)(2 xaibax2 . 0, 2aiba iba22ixeixy)22(* )sin)(cos22(xixix

20、 )sin(cos2)sincos(2xxxixxx xxxyxxyysin2cos2sin4*1 的特解的特解方程方程定理定理2 2 的解。的解。是方程是方程的解，则的解，则分别是方程分别是方程和和若若)()()()()()()()(21212121xfxfqyypyxyxyyxfqyypyxfqyypyxyxy 的特解；的特解；求求例例xxxxyy2cos. 22 解解: :,2cos,2xxyyxxyy 考虑方程考虑方程, 012 ,2, 1i ,2sin)(2cos)(,221xdcxxbaxycbxaxy , 221 xxy代入原方程，得代入原方程，得,2sin942cos32xxx

21、y .2sin942cos322xxxxxy 方程特解为方程特解为 2, 13sin1039. 300 xxyyxxyy求解下列初值问题求解下列初值问题例例解解: :93(1)910sin3(2)yyxyyx 考考虑虑方方程程解第一个方程：解第一个方程：baxy *1irr3, 092 , 12 :) 1 (得得代代入入xbax399 , 0,31 baxy31*1 解第二个方程：解第二个方程：)3sin3cos(*2xBxAxy :) 2(得得代代入入xxBxA3sin103cos63sin6 , 0,35 BAxxy3cos35*2 .3sin3cos0921xCxCYyy 的通解为的通解

22、为故原方程的通解为：故原方程的通解为：xCxCxxxy3sin3cos3cos353121 代入定解条件得：代入定解条件得：xxxxxy3sin9103cos3cos3531 常系数非齐次线性微分方程特解常系数非齐次线性微分方程特解1).1).二阶常系数非齐次线性方程为：二阶常系数非齐次线性方程为：xmexPqypy )( , )(xQexymxk 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10kDec. 31 Fri. Review特殊情形特殊情形 )(.xPamxeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxeAxAxe

23、Aey2*,)(, 0.xPqyypybm 是特征复根是特征复根，是特征单根是特征单根，不是特征根不是特征根0)(0)(0, )(2* xQxxxQxQymmm特例特例kcyybya cky *型型)sin)(cos)()().2xxPxxPexfnlrx a . a . 当当ir 不是特征根时，不是特征根时，则特解具有形式则特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx b. b. 当当ir是特征根时，是特征根时，则特解具有形式则特解具有形式*( )cos( )sin)rxmmyxe Q xx R xx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定多项次待定多项为两个为

24、两个和和其中其中Euler Equation：四四.一类特殊变系数非齐次线性微分方程一类特殊变系数非齐次线性微分方程)(1)1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn 特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同变量的方次数相同解法：解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程. .令令，tex 将方程转化为常系数微分方程。将方程转化为常系数微分方程。,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd将自变量换为将自变量

25、换为, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyddtedxt 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: : )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ,tex 令令则 xyddxttyddddtyx dd1 22ddxyxttyxtdd)dd1(dd tytyxdddd1222 计算繁计算繁! tyyxdd tytyyxdddd222 ,ln xt 则则,ddtD 记记则由上述计算可知则由上述计算可知: yDyx yDyDyx 22, ), 3, 2(dd ktDkkkyDD)1( 用归纳法可证用归纳法可证 ykDDDyxkk)1()1()( 于是欧拉方程于是

26、欧拉方程 )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn )(11tnnnefybyDbyD 转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty 即即欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式xtextln 或或例例1. 求欧拉方程求欧拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作变量变换作变量变换,ln xtext 或或原方程化为原方程化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDy

27、yDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 特征方程的根为特征方程的根为. 3, 1, 0321 所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为tteCeCCY3321 设特解为设特解为,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC .032.2的解的解求方程求方程例例 yyxyx解：解：,tex 令令则原方程化为：则原方程化为：0322 ydtdydtdydtyd0222 ydtdydtyd，特征方程为：特征方程为：0122 121 ， )(21tCCeyt 方程通解为：方程通解为：解：解：代入上式，得原方程的代入上式，得原方程的将将xt