动量、能量守恒

1、2.5 动量定理动量定理Momentum Theorem 力的时间积累，即冲量力的时间积累，即冲量tF m牛顿运动定律牛顿运动定律Ftmd)d( vIPvddd)d(tFm结论结论力力F F 的的元冲量元冲量一、冲量一、冲量 质点动量定理质点动量定理vmP 质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量（动量定理的微分形式）（动量定理的微分形式）对一段有限时间有对一段有限时间有21d12tttFmmvvxyzO质点所受合外力的冲量等于质点动量质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量的增量 质点动量定理质点动量定理 1vm2vm1vm2vm(1)(1) 物理意义：物理

2、意义： 质点动量的变化依赖于质点动量的变化依赖于作用力作用力的的时间时间累积过程累积过程合力对质点作用的冲量合力对质点作用的冲量质点动量矢量的变化质点动量矢量的变化(2)(2) 矢量性：矢量性： 冲量的方向与动量的增量方向相同冲量的方向与动量的增量方向相同讨论讨论FF动量定理动量定理积分形式积分形式Idd21212121txxxttyyytmmFtmmFt vvvv在力的整个作用时间内，平均在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量力的冲量等于变力的冲量)(d1221ttFtFttI平均力平均力FFt FO1t2tt冲量的任何分量冲量的任何分量等于在该方向上等于在该方向上的动量分量的增的

3、动量分量的增量量动量定理的分量形式动量定理的分量形式:例例: 质量为质量为m质点用绳子系住，在水平面内作匀速率圆周质点用绳子系住，在水平面内作匀速率圆周运动运动(圆锥摆圆锥摆)，周期为，周期为t，在质点运动一周的过程中，绳的，在质点运动一周的过程中，绳的拉力拉力T的冲量为多少？重力的冲量为多少？的冲量为多少？重力的冲量为多少？解：解： 010 dtgmTIt)(tgmdtTIt 0方向向上方向向上由动量定理得：由动量定理得：例例 一篮球质量一篮球质量0.58kg，从，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样高度下落，到达地面后，以同样解解 篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率22 9.8 26.

4、3 m/sgh 1v222 0.58 6.33.8 10 N0.019mFmgt 1v动量定理动量定理相当于相当于 40kg 重物所受重力重物所受重力!速率反弹，接触时间仅速率反弹，接触时间仅0.019s.求求 对地对地平均冲力平均冲力?mgF2v1v对地平均冲力对地平均冲力21()()Fmgtmvmv 21vv 例例 质量为质量为 m 的匀质链条，全长为的匀质链条，全长为 L，开始时，开始时， 下端与地面接触下端与地面接触 , 当链条自由下落在地面上当链条自由下落在地面上 的长度为的长度为 l ( lL )时，时，L解解 设设Lm 2gl v链条在此时的速度链条在此时的速度vv)d(0dtt

5、f 取取dm为研究对象，根据动量定理为研究对象，根据动量定理Lmglf22 v 地面受力地面受力mLmglNN3 求求 地面所受链条的作用力？地面所受链条的作用力？ dmLmglLmgllLmgfgmNl32 二、质点系动量定理二、质点系动量定理P 表示质点系在时刻表示质点系在时刻 t 的动量的动量iiimPvtfFmd)()d(12111vtfFmd)()d(21222vtFtFmmdd)d()d(212211vviiiitFmd)d(iv1m2m12f21f1F2F02112 ff（质点系动量定理）（质点系动量定理）一对内力一对内力注：注：内力不改变系统的总动量。内力不改变系统的总动量。d

6、()dd()diixixiiiiyiyiimFtmFt vv直角坐标系：直角坐标系：在有限时间内：在有限时间内：(1) (1) 只有外力可改变系统的总动量只有外力可改变系统的总动量(2) (2) 内力可改变系统内单个质点的动量内力可改变系统内单个质点的动量 ，但不改变系统的，但不改变系统的总动量。总动量。ittiiiiiiitFmm0d0vv说明说明作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和等作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和等于质点系动量的增量于质点系动量的增量质点系动量定理质点系动量定理一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光

7、滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间，子弹穿过两木块的时间各为各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力设子弹在木块中所受的阻力为恒力F0 1211vmmtF12222vvmmtF2111mmtFv222112mtFmmtFv子弹穿过第一木块时，两木块速子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为度相同，均为v1 子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2例例解解求求 子弹穿过后，子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动两木块各以多大速度运动解得解得2.62.6 动量守恒定律动量守恒定律Law

8、of Conservation of Momentum 1. 当当0iiF0diimv常矢量iimv动量守恒的动量守恒的分量表述分量表述(1) (1) 动量守恒定律适用于惯性系动量守恒定律适用于惯性系 常常量量常常量量 yiyiyxixixPmFPmFvv00质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律说明说明(2) (2) 动量守恒定律也适用于高速，微观领域动量守恒定律也适用于高速，微观领域2. 当当3. 当外力远小于内力时，可认为系统的动量守恒。当外力远小于内力时，可认为系统的动量守恒。动量守恒.swfXx例例:水平光滑的铁轨上有一小车水平光滑的铁轨上有一小车,车长车长L,质量为质量为M,车端站有

9、一人车端站有一人,质量为质量为m。人和车原来都静止不动，现设该人从一端走到另一。人和车原来都静止不动，现设该人从一端走到另一端，问人和车相对地面各移动的距离为多少？端，问人和车相对地面各移动的距离为多少？mMLO以地球为参照系以地球为参照系建立坐标正方向建立坐标正方向解：解：水平方向动量守恒水平方向动量守恒10)(车人vMmv 2车人Mvmv 设人、车相对地的速度设人、车相对地的速度分别为分别为V人人、V车车，方向如图，方向如图车v人vLXx 2车人Mvmv ttdtMvdtmv00车人MXmx LXx LmMMx LmMmX XxMLO例：例：一枚返回式火箭以一枚返回式火箭以2.5x103m

10、s-1的速率水平飞行，控制中心的速率水平飞行，控制中心使火箭分离成两部分，前部是质量为使火箭分离成两部分，前部是质量为 m1=100kg的仪器舱，后的仪器舱，后部是质量为部是质量为m2=200kg的火箭容器，若分离后仪器相对火箭容器的火箭容器，若分离后仪器相对火箭容器的水平速率为的水平速率为1.0 x103ms-1。求：仪器舱、火箭容器相对地面的速度。求：仪器舱、火箭容器相对地面的速度。解：解：设分离后仪器舱的速度设分离后仪器舱的速度为为v1,后部火箭的速度为后部火箭的速度为v2水平方向动量守恒水平方向动量守恒121 11 2()mm vmvmv 12vvv 1212mvvvmm 代入数据得：

11、代入数据得：3123112.17 103.17 10vmsvms MmvVV人地人地解：取人、球和绳梯为系统解：取人、球和绳梯为系统动量守恒动量守恒0 MVmV人地)( VvV人地vMmmV例：空中有一气球下连一绳梯，他们的质量共为例：空中有一气球下连一绳梯，他们的质量共为M，在梯上站着，在梯上站着以质量为以质量为m 的人，起始时气球与人相对地面静止，求当人相对的人，起始时气球与人相对地面静止，求当人相对绳提议速率绳提议速率v向上爬时，气球的速度？向上爬时，气球的速度？如图所示，两部运水的卡车如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运在水平面上沿同一方向运动，动，B的速度为的速度为u

12、 ，从，从B上以上以6kg/s的速率将水抽至的速率将水抽至A上，水上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，时，A车的质量为车的质量为M，速度为，速度为v 。选选A车车M和和 t时间内抽至时间内抽至A车的水车的水 m为研究系统，为研究系统，水平方向上动量守恒水平方向上动量守恒vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvv解解vvuMmvvvuMMutmtat6ddlim0例例求求 时刻时刻 t ，A 的瞬时的瞬时加速度加速度ABuvA2.7 功功 动能定理动能定理Work and Kinetic Energy Theo

13、rem 一、功一、功 cosAFs 变力的功？变力的功？cosddrFA空间积累：空间积累：功功时间积累：时间积累：冲量冲量F研究力在空间的积累效应研究力在空间的积累效应 功、功、动能、势能、动能定理、机械能动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。守恒定律。 SFAMF MabsxyzOab求质点求质点M 在变力作用下，沿曲线在变力作用下，沿曲线轨迹由轨迹由a 运动到运动到b，变力作的功，变力作的功rFAdd 一段上的功：一段上的功：FMFrrrdrd 在在rd在直角坐标系中在直角坐标系中 bLazyxzFyFxFA）（ddd说明说明(1) (1) 功是标量，且有正负功是标量，且有正负(2) (

14、2) 合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和 bLasFAdcosbLarFAd rFrFrFbLanbLabLaddd21在在ab一段上的功一段上的功F在自然坐标系中在自然坐标系中srdd nAAA21 rFFFrFAbLabLad)(d1n2(3) (3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关一般来说，功的值与质点运动的路径有关 力在单位时间内所作的功，称为功率。力在单位时间内所作的功，称为功率。平均功率平均功率 tAPFFcosvv trFPdd当当 t 0时的瞬时功率时的瞬时功率 tAtAPtddlim0已知已知 m = 2kg , 在在 F = 12t 作用下由

15、静止做直线运动作用下由静止做直线运动解解ttmFdd6vtxtdd32vttxd3d2J144d36203ttW2883122ttxxFA0dtttF02d3v FP例例求求t = 02s内内F 作的功及作的功及t = 2s 时的功率。时的功率。FL缓慢拉质量为缓慢拉质量为m 的小球，的小球，解解0sinTF0cosmgTmgFtansmgdcostanxysFrFAdcosd GT)cos(01mgL 例例小球由小球由 = 0变到变到 0 的过程中，的过程中，求求已知用力已知用力F保持方向不变保持方向不变F作的功。作的功。F 0 0 dLmg sin二、质点动能定理二、质点动能定理rFAdd

16、dstF dvmdsdt vvdm21ddvvvvmA1221222121kkEEmmAvv作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。 (1) Ek 是一个状态量是一个状态量, , A 是过程量。是过程量。(2) 动能定律只用于惯性系。动能定律只用于惯性系。 说明说明三、质点系动能定理三、质点系动能定理把质点动能定理应用于质点系内所有质点把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有并把所得方程相加有: : iiiiiiiimmA21222121vv

17、iiiiiiAAA内外1m1v2m2v3m3v4m4v(1) (1) 内力和为零内力和为零, ,内力功的和内力功的和是否为零？是否为零？不一定为零不一定为零21ff 0fLfA11SfA22122()Af Lf Sf SL AB1f2fABSL讨论讨论(2) (2) 内力的功也能改变系统的动能内力的功也能改变系统的动能例例: :炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转 化为弹片的动能。化为弹片的动能。四、一对力的功四、一对力的功 一对大小相等方向相反作用在不同物体上的力，对两物一对大小相等方向相反作用在不同物体上的力，对两物体作功之和等于其中体作功之

18、和等于其中1 1物体受的力乘以物体受的力乘以1 1物体相对于物体相对于2 2物体的位物体的位移移 LrdFA121质点质点11相对于相对于质点质点22的位移的位移xyzO五、几种常见力的功五、几种常见力的功 例：重力的功例：重力的功重力重力mg 在曲线路径在曲线路径 M1M2 上的功为上的功为 211dMMzzFA 211dZZzmg）（21mg zz （）重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了位置的高度差。位置的高度差。 重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。重力是保守力

19、。径无关。重力是保守力。 1M2MmG结论结论例例: :弹性力的功弹性力的功 21dxxxkxA 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。弹性力是保守力。无关。弹性力是保守力。 )(21222121kxkx 1x2xFikxF弹簧弹性力弹簧弹性力由由x x1 1 到到x x2 2 路程上弹性力的功为路程上弹性力的功为 弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。量平方之差的一半。结论结论x xO O例例. .万有引力的功万有引力的功 上的元功为上的元功为

20、rFAdcosdd cosd cos()drrr rrmMGAdd2万有引力万有引力 F F 在全部路程中的功为在全部路程中的功为 21 )( 2drLrrrmMGA12rMmGrMmG 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。经的路径无关。 万有引力是保守力。万有引力是保守力。Mab1r2rmFrd结论结论在位移元在位移元Frd2rmMGF rd例例: :摩擦力的功摩擦力的功在这个过程中所作的功为在这个过程中所作的功为 21dcosMLMsFAmgsA摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经摩擦力的功，不仅与

21、始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关的路径有关 。2MvFmgF摩擦力方向始终与质点速度方向相反摩擦力方向始终与质点速度方向相反结论结论摩擦力摩擦力F1M 一轻弹簧的劲度系数为一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处处, , 如图所如图所示。放手后，物体沿水平面移动到示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。而停止。 放手后，物体运动到放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中处和弹簧分离。在整个过程中，解解例例物体与水平面间的滑动摩擦系数。

22、物体与水平面间的滑动摩擦系数。求求2121kx2mgx摩擦力作功摩擦力作功弹簧弹性力作功弹簧弹性力作功1x2x20. 01 . 08 . 91 . 0202. 010022221mgxkx0021221 mgxkx根据动能定理有根据动能定理有质量为质量为10kg 10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为点的速度为jit1642v解解24ddttxxvttxd4d216ddtyyvty16ttmFxx80ddv0ddtmFyyvyFxFAyxdd J 1200d320213tt在质点从在质点从 y = 16m 到到 y = 32m 的过

23、程中，外力做的功。的过程中，外力做的功。求求例例, ,开始时质点位于坐标原点。开始时质点位于坐标原点。时16y1t时32y2t2.8 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律Potential Energy and Law of Conservation of Mechanical Energy一、保守力一、保守力如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为相对位置，这样的力称为保守力保守力。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。 即即 例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。例如重力、万有引力、弹

24、性力都是保守力。 作功与路径有关的力称为作功与路径有关的力称为非保守力非保守力。 例如例如: : 摩擦力摩擦力0d Lrf0dMMprFE质点在保守力场中某点质点在保守力场中某点M的势能，在量值上等于质点从该点的势能，在量值上等于质点从该点M移动至零势能点移动至零势能点M0 的过程中保守力的过程中保守力1. 重力势能重力势能d0()pzEmgz xyzO000(,0)Mxy),(zyxMmgz G所作的功。所作的功。F二、二、 势能势能1221()pppAEEE 3. 万有引力势能万有引力势能rrmMGErpd )(2rMmF等势面等势面rmMGpppEEEA )(12(1) (1) 由于势能

25、零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。的。(2) (2) 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。说明说明2. 弹性势能弹性势能0d)(xpxkxEOxF221kx质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。三、三、 势能曲线势能曲线zPEO重力势能重力势能PE弹性势能弹性势能EkE万有引力势能万有引力势能PExOPErO四、机械能守恒定律四、机械能守恒定律对质点系对质点系: :kEAA内外kAAAE外保内非保内21()()kpkpk

26、pAAEEEEEE 外非保内当当0AA外非保内21()()kpkPEEEE常数pkEEE机械能守恒定律机械能守恒定律功能原理功能原理(2) (2) 守恒是系统对整个过程而言，不能只考虑始末两状态守恒是系统对整个过程而言，不能只考虑始末两状态说明说明(1) (1) 守恒条件守恒条件0AA外非保内pAE pAm书书p75例例2：物体由：物体由A点运动到圆环最低点时，若小球对圆环没点运动到圆环最低点时，若小球对圆环没有压力，求弹簧的劲度系数。有压力，求弹簧的劲度系数。解：解：取弹簧、小球和地球为系统取弹簧、小球和地球为系统机械能守恒机械能守恒)sin(0223022121RRmgkRmv 牛顿第二定

27、律牛顿第二定律RvmmgkR2 解得解得:Rmgk2 例：求第二宇宙速度，即物体脱离地球引力所需的最小速度例：求第二宇宙速度，即物体脱离地球引力所需的最小速度( (逃逃逸速度逸速度) )。 解：物体脱离地球引力是指它可以跑到距地球无限远的地方，解：物体脱离地球引力是指它可以跑到距地球无限远的地方，最小速度是指它跑到无限远处后的速度为零。根据机械能守恒最小速度是指它跑到无限远处后的速度为零。根据机械能守恒定律，得定律，得: : 0212RGMmmv)/(2 .1122skmgRRGMv黑洞黑洞光都无法逃逸光都无法逃逸)(21)(21210222210 xxxgmkxxxkgmmF)(21kgmx

28、20kFx 1kgmx12用弹簧连接两个木板用弹簧连接两个木板m1 、m2 ，弹簧压缩，弹簧压缩x0 。2m1m0 x2m1mF1x1m2x解解 整个过程只有保守力作功，机械能守恒整个过程只有保守力作功，机械能守恒2G2f1f1G例例给给m2 上加多大的压力能使上加多大的压力能使m1 离开桌面？离开桌面？求求在恒星系中，两个质量分别为在恒星系中，两个质量分别为 m1 和和 m2 的星球，原来为静的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为距为 r 时。时。1m2m1v2v解解021 vvmmx02121212222

29、11rmmGmmvv由动量守恒，机械能守恒由动量守恒，机械能守恒rmmGm)(22121vrmmGm)(22112v121212()2mmGr vvv例例解得解得相对速率相对速率O求求 它们之间的相对它们之间的相对速率速率为多少？为多少？mM求：求：1.小球上升的最大高度小球上升的最大高度. 2.分离时两物体的速度分离时两物体的速度.解解: 水平方向动量守恒水平方向动量守恒达最高点时有相同速度达最高点时有相同速度0vvmMmv)(0 系统机械能守恒：系统机械能守恒：mghvmMmv 220)(2121vmMVmv 02220212121vmMVmv mMMgvh 220Vvv 0002vmMm

30、MvmMmvV 解：解： 取球和车为系统取球和车为系统RMm水平方向动量守恒水平方向动量守恒Vv机械能守恒机械能守恒)2.(212122MVmvmgRmgNvmM)3.(2RvmmgNmM) 1.(0 MVmvmgMmN)23(MmMaagmN0五、能量守恒定律五、能量守恒定律 能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量

31、转换和守恒定律。能量转换和守恒定律。 3. 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现内的体现 1. 1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程能量守恒定律可以适用于任何变化过程 2. 2. 功是能量交换或转换的一种度量功是能量交换或转换的一种度量例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械 能转换为电能。能转换为电能。讨论讨论电流通过电热器能发热，把电能转换为热能。电流通过电热器能发热，把电能转换为热能。 把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度把一个物体从

32、地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度 eeRGM20v解解 根据机械能守恒定律有根据机械能守恒定律有: : xmMGmRmMGmeee2202121vv例例物体从地面飞行到与地心相距物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。处经历的时间。求求发射出去，阻力忽略不计，发射出去，阻力忽略不计，xGMe2vtxddvxxGMxted21ddvxxGMttnRReeed21d1012322/32/31nRGMtee2.9 质心质心 质心运动定理质心运动定理Centroid and Theorem of Motion of Mass CenterN个质点的系统（质点系）的质心位置个质点的系统（质点

33、系）的质心位置一、质心一、质心xyzmiOm2nimmmm.,.,21nirrrr.,.,21crmmrmmrrNiiiNcdlim1质量连续分布的系统的质心位置质量连续分布的系统的质心位置m1mrmmrmNiiiNiiNiii111ir1rCr例例 已知一半圆环半径为已知一半圆环半径为 R，质量为，质量为M解解 建坐标系如图建坐标系如图yxO mdd ddRl ddRRMm sin cosRyRx0cx2dsind0RMRRMRMmyyc取取 dldm = dl几何对称性几何对称性(1)(1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上弯曲铁丝的质心并不在铁丝上(2) (2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与其它因素无关与其它因素无关说明说明求求 它的它的质心质心位置位置二