2.1.1-合情推理-课件

1、第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於19661966年年证明的，称为陈氏定理证明的，称为陈氏定理(Chen(Chens Theorem) ? s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 1 + 2 2 ”的形式。的形式。歌德巴赫猜想的提出过程：歌

2、德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质的偶数都等于两个奇质数之和数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳推理的几个特

3、点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明 对有限的资料进行观察、分析、归纳对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；整理； 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。检验猜想。 归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：例例1:1:已知数列已知数列aan n 的第的第1 1项项a a1 1=1

4、=1且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a答案：an=1/n1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, ,发发明了锯明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, ,发明了潜水艇发明了潜水艇. .3.3.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究, ,发现火星与地球有许发现火星与地球有许多类似的特征多类似的特征; ; 1)1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; ;

5、2)2)有大气层有大气层, ,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更; ; 3)3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存知生物的生存, ,等等等等. . 科学家科学家猜想猜想; ;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. .4)4)利用平面向量的本定理类比利用平面向量的本定理类比得到得到空间向量的空间向量的基本定理基本定理. .这种由两类对象具有某些类似特征和其中这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出在另一类一类对象的某些已知特征，推出在另一类对象也具有这些特征的推理对象也具有这些特征的推理, , 称为称为类

6、比推类比推理理.(.(简称简称; ;类比类比) )类比推理的几个特点类比推理的几个特点; ;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性, ,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础, ,类比类比出新的结果出新的结果. .2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性. .3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠, ,单它却有发单它却有发现的功能现的功能. .例例2 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三

7、角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :我们把前面所进行的推理过程概括为：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.123设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3

8、号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1a123设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1an2a123设设 为把为把n 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则na 半个世纪之后，欧拉发现：42949672971252猜想：.122是质数n6700417641,1712, 5122122都是质数,6553712,257124322练习：计算机中常用的十六进位制是逢练习：计算机中常用的十六进位制是逢进的计算制，采用数字进的计算制，采用数字- -和字母和字母- -共个计数符号，这些符号与十进制共个计数符

9、号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；的数的对应关系如下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用进位制表示例如用进位制表示+ +，则，则（）（）十六进位十六进位十进位十进位E E练习练习2 2:(:(20012001年上海年上海) )已知两个圆已知两个圆x x2 2+y+y2 2=1:=1:与与x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1, ,则由则由式减去式减去式可得上述式可得上述两圆的对称轴方程两圆的对称轴方程. .将上述命题在曲线仍然将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广为圆的情况下加以推广, ,即要求得到一个更即要求得到一个更一般的命题一般的命题, ,而已知命题应成为所推广命题

10、而已知命题应成为所推广命题的一个特例的一个特例, ,推广的命题为推广的命题为-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2与与(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或设圆的方程为设圆的方程为b bd),d),则由则由式减去式可得上述两圆的对称轴式减去式可得上述两圆的对称轴方程方程. .圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0

11、0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2