江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题

1、 1 南京市 2019 届高三年级第二次模拟考试2019.03注意事项:1.本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两部分.本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.参考公式：柱体的体积公式：V= Sh,其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.圆柱的侧面积公式： S侧=2 jRh,其中 R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高.一、填空题（本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，计 7070

2、分. .不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的 指定位置上）1 .函数 f（x） = Inx+ . 1 x 的定义域为 .2.已知复数 Z1= 2 + i, z2= a+ 2i（i 为虚数单位，a R R）.若 z“z2为实数，则 a 的值为 3某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到 450 分之间的 10001000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在300 ,4.盒中有 3 张分别标有 1 , 2, 3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为.5. 已知等差数

3、列an的公差 d 不为 0,且 a1, a3, a?成等比数列，则/的值为6.执行如图所示的流程图，则输出的k的值为一名学生的成绩，并根据这350）内的学生人数共有开始丨亠卓（第3题图）（第6题图） 2 7.函数 f(x) = Asin(3x+Q(A,w,$为常数,为 2 2&在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线X2y2= l(a 0, b0)的两条渐近线与抛物线 y2= 4x 的准线相 a b交于 A, B 两点.若 AOB 的面积为 2，则双曲线的离心率为.9.表面积为 12n的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为.ff2n f1f1TTf10 .已知 | OA |=

4、1, | OB |= 2，/ AOB = 3, OC = - OA + - OB，贝 V OA 与 OC 的夹角大小为_ .11.在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(5, 3)作直线 I 与圆 x2+ y2= 4 相交于 A, B 两点，若 OA 丄 OB,则直线 I 的斜率为.12 .已知 f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当 0Wxw1 时，f(x) = x2，当 x 1 时，f(x+ 1) = f(x) + f(1)，且.若直线 y= kx 与函数 y= f(x)的图象恰有 5 个不同的公共点，则实数 k 的值为 .13.在 ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 DC = 2B

5、D, AB : AD : AC= 3 : k： 1，则实数 k 的取值范围为14.设函数 f(x)= ax+ sinx+ cosx.若函数 f(x)的图象上存在不同的两点A, B,使得曲线 y= f(x)在点 A,B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为.一、填空题:本大题共1414 小题，每小题5 5 分，计 7070 分. .1. (0, 12. 43.3005455.26. 47. 1&.519. 210.60 11. 1 或71223122.2 25 713. (3 彳 14. 1, 1A 0, w 0, 3 二、解答题(本大题共 6 6 小题，计案写在答题纸的指定区域内)

6、15.(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥BP = BC, E 为 PC 的中点.(1) 求证：AP/平面 BDE;(2) 求证：BE 丄平面 PAC .15.证：(1)设 ACABD = 0,连结 0E.因为 ABCD 为矩形，所以 0 是 AC 的中点.因为 E 是 PC 中点，所以 0E / AP.分因为 AP/平面 BDE , 0E 二平面 BDE,所以 AP /平面 BDE .(2)因为平面 FAB 丄平面 ABCD , BC 丄 AB,平面 FABA平面 ABCD = AB,9090 分. .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答P ABCD 中，底面 ABCD 为

7、矩形，平面 PAB 丄平面 ABCD, PA 丄 PB, 4 所以 BC 丄平面 PAB. 5 解法二：因为 X1= 5 y1 0,所以力=71- x2 f. A(|, p,则 OA (5, 5), . 2 分因为 AP 二平面 FAB，所以 BC 丄 RA.因为 PB 丄 PA, BCAPB = B, BC, PB 平面 PBC, 所以 FA 丄平面 PBC .因为 BE 二平面 PBC，所以 FA 丄 BE.因为 BP= PC,且 E 为 PC 中点，所以 BE 丄 PC .因为 PAnPC = P, PA, PC 二平面 PAC ,12 分所以 BE 丄平面 PAC .1416.(本小题

8、满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中，角a的顶点是坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交n n于点 A(x1, y1), a(4, 2)将角a终边绕原点按逆时针方向旋转(1) 若 X1=3求 X2；5(2)过 A, B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C, D，记 AOC 及4 BOD 的面积分别为 S1,S2，且S1= 3S2,求 tana的值. 16.解：(1)解法一：因为 X1= 5, y1 0,所以 y1= , 1 - x1=4所以 sina=5,_3COSa.5所以 X2COS(a+n=nnCOSaCOS4-Sin aSin；=_210才，交单位圆于点 B(x2,

9、 y2). 6 - -342OB =(x2,y2),因为 0A OB = I OA| OB | cos / AOB，所以 5x2+ 52= 2又 X22+ y22= 1，联立消去 y2得 50 X22 30 2X2- 7 = 0解得 X2= 或 7#，又X20,所以 yi= U1-X2= 5因此A(-,所以 tan(a+n)=1+tana=-乙所以直线 OB 的方程为 y= 7x . 4 分41-tana由iy2+y27X，1得 x=|-，又x22 时，结论也正确)AP2=AD2+PD2=(sin0+2cos0)2+(2sin0)2fsin20+8sin 9cos0+4cos20+4sin20

10、163 10 20 , 16n2n八=3+ 3sin(2 0-6),(0, y). 12 分当且仅当 2 0-n=n,即0=3 时，AP2取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 羽.此时 AM=AN=2,ZPAB=30. 14 分解法三：设 AM = x, AN = y,ZAMN =a.在厶 AMN 中，因为 MN = 2,ZMAN = 60,所以 MN2= AM2+ AN2-2 AMAN as/ MAN ,即 x2+ y2- 2xycos60= x2+ y2- xy= 4. x2y4.在厶 AMP 中，AP2= AM2+ PM2- 2 AMPMcos/ AMP ,即 AP2= x2+ 4

11、 2X2XxXx-4= x2+ 4-x(x- 2y)= 4 + 2xy.12 分因为 x2+ y2-xy= 4, 4 + xy= x2+ y2 2xy, 即卩 xyw4.所以AP2W12,即 APw2 3.当且仅当 x= y= 2 时，AP 取得最大值 2 3.答：设计 AM = AN= 2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小. .14 分解法四(坐标法)：以 AB 所在的直线为 x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系.设 M(X1,0),N(X2,3X2),P(X0,yo).TMN=2,/ (x1 x2)2+ 3x2= 4 . 2所以 sina=,COS=2 2x+4y2X2Xx=X2

12、+ (x2-xy)=4x2x - y4.cos/AMP=cos(a +60 )1.3.12x- y32 cosa 2 sina =2424ysina 11 AP2=x+y2=(2X2+ *X1)2+ % =x2+4x2+2X1X2=4+4X1X2W4+4X2=12 ,.即 APw2 3.答：设计 AM = AN = 2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.解法五（变换法）：以 AB 所在的直线为 x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系.设 Mg, o), N(X2,3x2), P(xo, yo)./ MN = 2,. (x1-x2)2+ 3x2= 4.1卩 *+4X2=4 + 2x1X2

13、 4+ 2X1X2 4X1X2，即 X1X2 2 . 4 分MNP 为正三角形，且 MN = 2 . PK =3, PK 丄 MN .MN 顺时针方向旋转 6o后得到MP .MP=(Xo-X1,yo), MN=饨一冷，.3x2).1_32 2X1+X2y3MN的中点K(2，X2).MNP 为正三角形，且 MN = 2 . PK =3, PK 丄 MN .2X1+ X2232PK=(X0 -2)+(y0 2X2)=3,4 刖 b 0)的左、右焦点分别为 F1, F?，焦距a b为 2，一条准线方程为X=2. P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q .(1) 求椭圆 C 的方

14、程；(2) 若点 P 的坐标为(0, b)，求过 P, Q, F2三点的圆的方程；(3) 若 F1P =入 QF1，且氐；2,求 0P OQ 的最大值.2c= 2,(1)解：由题意得 a2解得 c= 1, a2= 2,所以 b2= a2 c2= 1.=2,.c 14 8-152x2所以椭圆的方程为 2+y=1.(2)因为 P(0, 1), Fi(- 1, 0),所以 PFi的方程为 xy+ 1 = 0.4x=3，一1 所以点 Q 的坐标为(y=3，解法一：因为 kpFlkpF2= 1,所以 PQF2为直角三角形.因为 QF2的中点为(-6， 6), QF2：誉,所以圆的方程为(x+ *)2+

15、(y + 6)2=2512 分所以 OPOQ = X1Q+ yy2= X2( 1 沁)一就=p0.X(1) 若 a= 2, b = 1,求函数 f(x)的极值；(2) 设 g(x) = a(x- 1)ex f(x).1当 a=1 时，对任意 x(0,+s)，都有 g(x)1 成立，求 b 的最大值；2设 g(x)为 g(x)的导函数.若存在 x 1，使 g(x) + g(x)= 0 成立，求-的取值范围.a1解：(1)当 a= 2，b = 1 时，f (x) = (2 +丄)ex，定义域为(一，0)U(0，+ ).x(x+ 1)(2x 1)x所以 f (x)=2e .x2 分1令 f(x) =

16、 0，得 x1= 1， x2= q，列表x(m，1)1(1，0)(0，1)121(1，+ )f (x)+00+f (x)/极大值极小值/由表知 f (x)的极大值是 f ( 1) = e1,f(x)的极小值是 f (1) = 4 e.4 分(2) 因为 g (x) = (ax a)ex f (x) = (axb 2a)ex，x当 a = 1 时，g (x)= (x - 2)ex.x因为 g (x)1 在 x(0，+s)上恒成立，2x所以 b0)，贝Uh(x)= 1)(+ 1)ee当 0vxv1 时，h(x)v0，班乂)在(0，1) 上是减函数；当 x1 时，h(x)0，h(x)在(1，+s)上

17、是增函数.15-18所以 h(x)min= h(1) = 1 e所以 b 的最大值为一 1 e1.10 分解法二：因为 g (x)= (ax a)ex f (x)= (ax 一 2a)ex, x当 a= 1 时，g (x) = (x 一一 2)ex.x因为 g (x)1 在 x(0,+s)上恒成立,b2所以 g(2) = |e2 0,因此 bv0.g (x)= (1 + x2)ex+(xx2吩因为 bv0，所以：当 0vxv1 时，g(x)v0, g(x)在(0, 1)上是减函数；当 x1 时，g(x)0,g(x)在(1,+s)上是增函数.所 以g(x)min=g(1)=(1 b)e. 8 分

18、因为 g (x)1 在 x(0,+8)上恒成立, 所以(一 1 b)e1 1，解得 b 1,使 g (x) + g (x) = 0 成立,等价于存在 x 1, 2ax3 3ax2 2bx+ b = 0 成立.12 分2x(x 1)(x b)e2x解法因为g (x)= (ax b 2a)ex，所以 g (x)= x因为 a 0,所以32x 3x2x1ax -；-a)ex. 19 因为x1, u(x)0 恒成立，所以 u(x)在(1,+)是增函数，所以u(x) u=-1,所以b 1 ,即。的取值范围为(一 1, +m).aa16 分解法二：因为 g (x) = (axb 2a)ex,所以 g (x

19、)=卓 + axb a)ex.由 g (x) + g (x)= 0，得(ax - 2a)ex+ (-?+ ax一 a)ex= 0,xxx整理得 2ax3 3ax2 2bx+ b= 0.存在 x 1,使 g (x) + g (x) = 0 成立，等价于存在 x 1, 2ax3 3ax2 2bx+ b = 0 成立. 12设 u(x) = 2ax3 3ax2 2bx+ b(x 1)u (x) = 6ax? 6ax 2b = 6ax(x 1) 2b-2 b当 bw0 时，u (x) 0此时 u(x)在1,+s)上单调递增，因此 u(x) u(1) = a b因为存在 x 1, 2ax3 3ax2 2

20、bx+ b= 0 成立所以只要一 a bv0 即可，此时一 1vbw0a13 分当 b 0 时,9 =34a4a 2又 u(1)= abv0于是u(x)=0,在(1,x0)上必有零点即存在 x 1, 2ax3 3ax2 2bx+ b = 0 成立，此时b0a综上有b的取值范围为(一 1,+)15-2016 分20.(本小题满分 16 分)已知数列 an 的各项都为正数， 且对任意 a2n,a2n+1,a2n+2成等比数列.(1)若 a2= 1, a5= 3,求 ai的值；(2)设a12,都有晋V养解：(1)解法一：因为 a3, a4, a5成等差数列，设公差为 d,贝 U a3= 3- 2d,

21、 a4= 3 d.22a3(3 2d)因为 a2, a3, a4成等比数列，所以 a2= a4=3 d . 3 分2(3 2d)33因为 a2= 1,所以 3d = 1,解得 d = 2，或 d = 4.因为 an0,所以 d = 4.1因为 a1, a2, a3成等差数列，所以 a1= 2a2 a3= 2 (3 2d) = 2. . 5 分解法二：因为 a1,a2, a3成等差数列，a2,a3, a4成等比数列，a3,a4, a5成等差数列,2 =a)+a32则 2 所以 a2n2a2n+ , a2na2n+2= 2a2n.因为 an 0,所以 ,a2n2+ . a2n+2=2.a2n. 7

22、 分即数列 ,a2n是等差数列.所以,a2n=a2+ (n 1)(a4 ,a2).由 a1, a2及 a2n1, a2n, a2n+1是等差数列， a2n, a2n+1, a2n+2是等比数列，2(2a2a1)可得 a4=. . 8 分a2所以.a2n= . a2+ (n 1)(a4,a2)=2(a2a1)n + a1所以 a2n=. . 10 分a22(a2a1)(n+ 1) + a1n N N * , a2n-1, a2n, a?n+1成等差数列,2 2 2解法三：因为 a1, a2, a3成等差数列，则a3= 2-印, 因为 a2, a3, a4成等比数列，贝V 34=(2-a1)?.3

23、 分(a2 ajn + a1a2 21 所以 a2n+2=a2(a2二a1)n 土 a1(a2二a1)( n+ 1) 土 qja2从而 a2n+1=2na2n+2= 22 所以a 1 =(a2a(n 1) + a1( a2仙 + 如a212 分当 n= 2m, m N N*时，(a2a1)m+ a1(a2 a“(m+ 1) 土 gjjan+1a2a2a2(a2a1)( m+ 1) + a1a2ana12(a2 a”m+ a1a1(a2 a”m+ a1a1a22m(a1 a2)v0.a1(a2a1)m+a当 n= 2m 1, m N N* , m2 时，2(a2a1)m+ a14 分an+1a2

24、a2a2a1)m+a1a2ana1(a2 a“(m 1) + a1( a2 ajm+ a* a1(a2 a”(m 1) + a1a1a22(m 1)(a1a?)v0.a1(a2a“(m1)+a1an+1综上，对一切 n N N*, n2，有匪.ana1证法二：若 n 为奇数且 n3 时，则 an, an+1, an+2成等差数列.2 2 2an+2an an+1(2 an+1 an)an an+1(an+1 an) ”=一w0,16 分an+2an+1因为 一an+1anan+anan+1anan+1anan+2an+1所以wan+1an若 n 为偶数且n2 时，贝Uan, an+1, an+

25、2成等比数列，所以an+2an+1an+1an11 分an+2” an+1 ” a3w w w .an+1ana22 2 2又因为 a3a2= 2a2a1a2= 2a2aa1a2(a1a2)a2a1a2a12因为 a1va2,所以一心1型v0,a2a1由可知，对任意 n2, n N N * ,13 分综上,3 va2ana116 分.a2a1即生v生a2a1a2a115 分2.5 分-23-南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试数学附加题2014.03注意事项：1 附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟.3 .答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学

26、号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.21.【选做题】在 A A、B B、C C、D D 四小题中只能选做 2 2 题，每小题 1010 分，共计 2020 分.请在答.卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A A .选修 4 4 1 1:几何证明选讲如图， ABC 为圆的内接三角形， AB = AC, BD 为圆的弦，且 BD / AC .过点 A 作圆的切线与DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F.(1) 求证：四边形 ACBE 为平行四边形；(2) 若 AE= 6, BD = 5,求线段 CF

27、 的长.A A .选修 4 4 1 1:几何证明选讲解：(1)因为 AE 与圆相切于点 A,所以/ BAE =ZACB . 因为 AB=AC,所以/ ABC=ZACB .所以/ ABC=ZBAE .所以 AE/ BC .因为 BD / AC,所以四边形 4分(2)因为 AE 与圆相切于点 A，所以 AE4 5 6= EB (EB+ BD),即卩 62= EB (EB + 5),解得 BE = 4.根据(1 )有 AC = BE= 4, BC = AE = 6.4 a |22 口 2+ a = 4,由题意得_ 1 bm=2.1，即 L 2 + b= 2解得 a= 2, b = 4.ACBE 为平

28、行四边形.C2.5 分-24-10 分B B.选修 4 42 2:矩阵与变换-1 a 已知矩阵 A A =.的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量为一一 1 b 一(1)求矩阵 A A;- a +(2)若 A Ay=b ,求 X, y 的值.设 CF = x, 由 BD / AC，得AC =BD =CFBF,即4=芝;，解得X=8即CF=8解:x-2x-2510 分C C .选修 4 44 4 :坐标系与参数方程解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系,则曲线;=2cos0的直角坐标方程为（x 1）2+ y2= 1,且圆心 C 为（1, 0）.直线0=n的直角坐标方程为 y=x,4因为圆心 C（1, 0）关于 y= x 的对称点为（0, 1）,所以圆心 C 关于 y= x 的对称曲线为 x2+ （y 1）2= 1.8 分n所以曲线 f= 2cos0关于直线0=/PR）对称的曲线的极坐标方程为P= 2sin0.分解法二：设曲线：=2cos0上任意一点为（，0），其关于直线0=夕寸称点为（，0）,4= 6贝U,n.0=2kn +一0.（2）解法一：A A所以解得，即x+ 2y= 2,x+ 4y= 4,0, =1.10 分解法二：因为A A=24，所以 A A因为 A Aa所以2316-3|_16所以x= 0,y= 1.在极坐标系中，求曲线：?= 2cosB关于直线n0=