项目6 控制网的数据处理

1、控制测量控制测量 控制测量化至椭球面边长观测边长距离改化高斯平面边长各种条件闭合差角超球面归心改正归心后方向值近似边长化至椭球面方向值方向改化检核观测方向值已知数据近似坐标高斯平面方向值测角中误差三角形闭合差控制测量一、一、 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面1.概述参考椭球面是测量计算的基准面。在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。在归算中有两条基本要求：以椭球面的法线为基准；将地面观测元素化为椭球面上大地线的

2、相应元素。控制测量2.将地面观测的水平方向归算至椭球面 1) 垂线偏差改正u地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以表示。u如下图所示，以测站为中心作出单位半径的辅助球，是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。u,控制测量垂线偏差改正的计算公式是：1cot)cossin(ZAAmmu 1tan)cossin(mmAA 式中：为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；为测站

3、点至照准点的大地方位角；为照准点的天顶距；为照准点的垂直角。,mA1Z1垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。控制测量2) 标高差改正h标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以表示。h如右图所示，A为测站点，如果测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。这时测站点在椭球面上或者高出椭球面某一高度，对水平方向是没有影响的。这是因为测站点法线不变，则通过某一照

4、准点只能有一个法截面。控制测量设照准点高出椭球面的高程为和分别为A点及B点的法线，B点法线与椭球面的交点为b。因为通常和不在同一平面内，所以在A点照准B点得出的法截线是而不是，因而产生了同方向的差异。按归算的要求，地面各点都应沿自己法线方向投影到椭球面上，即需要的是方向值而不是方向值，因此需加入标高差改数，以便将方向改到方向。aAnH ,2bBnaAnbBnbA AbAbbA AbbA hbA Ab控制测量标高差改正的计算公式是1222222sincos) 1 (2ABHeh 式中：为照准点大地纬度；为测站点至照准点的大地方位角；为照准点高出椭球面的高程，它由三部分组成：2B1A2HaHH常2

5、其中为照准点标石中心的正常高，为高程异常，为照准点的觇标高，是与照准点纬度，是相应的子午圈曲率半径。常Ha22/) 1 (M 2M2B标高差改正主要与照准点的高程有关。经过此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。控制测量3）截面差改正g在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用表示。g如图所示，是A至B的法截弧，它在A点处的大地方位角为，是AB间的大地线，它在A点的大地方位角是，与之差就是截面差改正。AaB1AASB1A1Ag截面差改正的计

6、算公式为11221222sincos)2(12ABSeg 1A控制测量式中S为AB间大地线长度，为测站点纬度相对应的卯酉圈曲率半径。现令在一般情况下，一等三角测量应加三差改正，二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正。但当时或者H2000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表所示：11)2(N 1N1B01 三差改正主要关系量是否要加改正一等二等三、四等垂线偏差加加酌情标高差截面差不加,SH控制测量3.电磁波测距边长归算椭球面电磁波测距仪测得的长度是

7、连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。如图，大地点Q1和Q2的大地高分别为H1和H2。其间用电磁波测距仪测得的斜距为D，现要求大地点在椭球面上沿法线的投影点和间的大地线的长度S。1Q2Q在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，因此，所求的大地线的长度可以认为是半径12122coscos1ABeNRA相应的圆弧长。电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：2322421AAmRDRHDDhDS)(2121HHHm式中控制测量电磁波测距边长归算的几何意义几何意义：（1）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；（2）第三项是

8、由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后，测线已变成弦线；（3）第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。2322241AAmRDRHhDS显然第一项即为经高差改正后的平距。问题问题算例见下表，用上述两个公式计算将电磁波测距边长归算至椭球面已知351B20352Bm8001Hm10002H30Am789.3456D电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达：控制测量二、二、 椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算1、概述由于高斯投影是正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯平面上的投影曲线之间的夹角相等。为了在平面上利用平面三角学公式进行

9、计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。控制网归算到高斯平面上的内容有：控制测量起算点大地坐标的归算将起算点大地坐标归算为高斯平面直角坐标。起算方向角的归算。距离改化计算椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平面上相应的弦线长度。方向改计算椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应的弦线方向值。),(BL),(yx控制测量2、方向改化（1）概念如图所示，若将椭球面上的大地线方向改化为平面上的弦线ab方向，其相差一个角值,即称为方向改化值。ABab（2）方向改化的过程由于是把地球近似看成球，故和都是垂直于x轴的直线。在a,b点上的方向改化分别为和。当大地线长度不大于10km，y坐标

10、不大于l00km时，二者之差不大于0.05,因而可近似认为=abbaabba控制测量（3）计算公式球面角超公式为：2)()(2babayyyxR 适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式： )(2)(222bambabamabxxyRxxyR式中，为a、b两点的y坐标的自然的平均值。)(21bamyyy控制测量（1）概念如右图所示，设椭球体上有两点及其大地线，在高斯投影面上的投影为及。是一条曲线，而连接两点的直线为 D如前所述由S化至D所加的改正，即为距离改正。21,PPS21,PPs21PP S3、距离改化（2）长度比和长度变形长度比:指椭球面上某点的一微分元素，其投影面上的相应微分元素，

11、则称为该点的长度比。长度变形:由于长度比恒大于1，故称为长度变形。mdSdsdSdsm m控制测量式中：表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。为投影线两端点的平均横坐标值。mR)(21bamyyy（4）长度比和长度变形的特点当y=0(或l=0)时，m=1，即中央子午线投影后长度不变；当y0(或l0)时，即离开中央子午线时，长度设形（m-1）恒为正，离开中央子午线的边长经投影后变长。长度变形（）与（或）成比例地增大，对于在椭球面上等长的子午线来说，离开中央子午线愈远的那条，其长度变形愈大。1m（3）长度比m的计算公式:2221mRym2y2l2y控制测量三、依控制网几何条件检

12、查观测质量三、依控制网几何条件检查观测质量 外业成果质量检查的内容和步骤：外业成果质量检查的内容和步骤： 计算角度条件闭合差并用限差值进行检验，接近限计算角度条件闭合差并用限差值进行检验，接近限差值的角度条件只能是个别的；差值的角度条件只能是个别的； 按菲列罗公式计算测角中误差，并依本三角网相应按菲列罗公式计算测角中误差，并依本三角网相应等级规定的测角中误差进行检验；但参与计算测角中误差等级规定的测角中误差进行检验；但参与计算测角中误差的三角形闭合差个数应在的三角形闭合差个数应在2020个以上，如果少于此数值，算个以上，如果少于此数值，算出的测角中误差只作参考不作为检核的依据；出的测角中误差只

13、作参考不作为检核的依据； 计算正弦条件闭合差并用限差值进行检验，同样接计算正弦条件闭合差并用限差值进行检验，同样接近限差的正弦条件应是个别的。近限差的正弦条件应是个别的。控制测量1高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标，求该点在高斯投影平面上的直角坐标，即的坐标变换。（2）投影过程）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为（）及（），式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差：,点在中央子午线之东,为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为和。BL,yx,),(,yxBL1P2PBL,Bl,lP)(0L0LLlPl),(1yx

14、P),(2yxP一、高斯投影坐标正反算控制测量（3）计算公式）计算公式 5425532234223422)185(cos120)1 (6cos)95(cossin2sin2lttBNltBNlBNyltBBNlBNXx当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算 52224255322336425644223422)5814185(cos720)1 (cos6cos)5861(cossin720)495(cossin24sin2ltttBNltBNlBNylttBBNltBBNlBNXx控制测量（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标，求该点在椭球面上的大地坐标，即的坐标变换。y

15、x,BL,),(,BLyx（2）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度，接着按计算（）及经差,最后得到、。fBfBBBfl)(BBBBfflLL02高斯投影坐标反算公式控制测量（3）计算公式5222425322364254222332)8624285(cos1201)21(cos61cos1)459061(720)935(242ytttBNytBNyBNlyttNMtyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffffffffffff当要求转换精度至时，可简化为下式：10 . 0 542532234222232)24285(cos1201)21(cos61cos1)93

16、5(242yttBNytBNyBNlyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffff控制测量（1）产生换带的原因在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：35 . 16635 . 1二、高斯投影相邻带的坐标换算控制测量把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如带）内有关点的平面坐标，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标利用投影正算公式换算成相邻带的（第带）的平面坐标。在这一步计算时，要根据第带的

17、中央子午线来计算经差，亦即此时I),(yx),( BllLLI0),(lBII),(yxII0LlII0LLl（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程：控制测量把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如带）内有关点的平面坐标，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标利用投影正算公式换算成相邻带的（第带）的平面坐标。在这一步计算时，要根据第带的中央子午线来计算经差，亦即此时I),(yx),( BllLLI0),(lBII),(yxII0LlII0LLl（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程：控制测量计算步骤：计算步骤： 根

18、据,利用高斯反算公计算换算,，得到，。 采用已求得的,，并顾及到第带的中央子午线，求得，利用高斯正算公式计算第带的直角坐标,。 为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算1x1y1B1L4902.4383511 B2136.13201261 L1B1L129II0L486.46752 lIIxIIy算例算例在中央子午线的带中，有某一点的平面直角坐标，现要求计算该点在中央子午线的第带的平面直角坐标。123I0Lm726.57283741xm193.2101981y129II0L控制测量对于工程测量，其中包括城市测量，既有测绘大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。

19、如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带，经济合理地确立工程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个重要的课题。1概述三、 工程测量投影面与投影带选择控制测量2、工程测量中选择投影面和投影带的原因（1）有关投影变形的基本概念平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。这种投影变形主要是由于以下两种因素引起的：实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，其值为：1sRsHsm1式中：为归算边高出参考椭球面的平均高程，为归算边的长度，为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。归算边长的相对变形：mHsRRHssm1值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是缩短的；值与,成正比，随增

20、大而增大。1s1smHmH控制测量将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响，其值为：02221sRysmm2s式中：，即为投影归算边长，为归算边两端点横坐标平均值，为参考椭球面平均曲率半径。投影边长的相对投影变形为10sss0smymR20221mmRyss值总是正值，表明将椭球面上长度投影到高斯面上，总是增大的；值随着平方成正比而增大，离中央子午线愈远，其变形愈大。2s2smy控制测量（2）工程测量平面控制网的精度要求工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺图的控制基础，还应作为城市建设和各种工程建设施工放样测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与

21、实地量得的边长，在长度上应该相等，这就是说由上述两项归算投影改正而带来的长度变形或者改正数，不得大于施工放样的精度要求。一般来说，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/50001/20000。因此，由投影归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2，即相对误差为1/100001/40000，也就是说，每公里的长度改正数不应该大于102.5cm。控制测量通过改变从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形，这种方法通常称为抵偿投影面的高斯正形投影；通过改变，从而对中央子午线作适当移动，来抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形，这就是通常所说的任意带高斯正形投影；通过既改变（

22、选择高程参考面），又改变（移动中央子午线），来共同抵偿两项归算改正变形，这就是所谓的具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。mHmymHmy3、投影变形的处理方法控制测量4、工程测量中几种可能采用的直角坐标系（1）国家30带高斯正形投影平面直角坐标系当测区平均高程在l00m以下，且值不大于40km时，其投影变形值及均小于2.5cm，可以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。，在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，不需考虑投影变形问题，直接采用国家统一的带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系。my1s2s控制测量（2）抵偿投影面的30带高斯正形投影平面直角坐标系在这种坐标系中，依然

23、采用国家30带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。在这个高程参考面上，长度变形为零。021222sssRHRysmmm令当一定时，可求得：myRyHm22则投影面高为：HHHm投控制测量某测区海拔=2000（m），最边缘中央子午线100（km），当=1000（m）时，则有mHs)m(313. 01sRHsmm)m(123. 0221222sRysmm而超过允许值（102.5cm）。这时为不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，经计算得高差：将地面实测距离归算到：)m(19. 021ss)m(780H)m(12207802000算例：算

24、例：控制测量在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家30带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。保持不变，于是求得mHmmHRy2（3）任意带高斯正形投影平面直角坐标系控制测量某测区相对参考椭球面的高程=500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依上式算得mH)km(805 . 063702y即选择与该测区相距80km处的子午线。此时在=80km处，两项改正项得到完全补偿。算例：算例：但在实际应用这种坐标系时，往往是选取过测区边缘，或测区中央，或测区内某一点的子午线作为中央子午线，而不经过上述的计算。m

25、y控制测量（4）具有高程抵偿面的任意带高斯投影平面直角坐标系在这种坐标系中，往往是指投影的中央子午线选在测区的中央，地面观测值归算到测区平均高程面上，按高斯正形投影计算平面直角坐标。由此可见，这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意高斯直角坐标系。显然，这种坐标系更能有效地实现两种长度变形改正的补偿。（5）假定平面直角坐标系当测区控制面积小于100km2时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。这时，起算点坐标及起算方位角，最好能与国家网联系，如果联系有困难，可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用。控制测

26、量控制测量一、条件平差方法一、条件平差方法 设某一平差问题中有个 误差独立的观测值， 个函数独立的未知数（必要观测数）， ，多余观测数为nttn tnr记：观测值 nnLLLL211相应权阵nnnpppp00000021nnvvvV211平差值改正数 nnnnvLvLvLLLLL2211211平差值 控制测量1 1、条件平差的数学模型和公式、条件平差的数学模型和公式 1）平差值方程（ ）tnr000221122112211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn（1） 式中 、 、 （ =1、2、 ）为条件方程的系数； 、 、 为条件方程的常项数iaibirin0a0b0r2）

27、改正数条件方程以 （ =1、2、 ）代入(1)得纯量形式为： iiivLLin 000221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava（2）控制测量式中 、 、 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即 022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnnnnbnnarbaAor1nnvvvV211令 nnnnrrrrbbbaaaA212121rbarwwwW1矩阵形式为： 011rrnrWVA（4） （3）awbwrw控制测量3）改正数方程 上改正数条件方程式中 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在 的无穷多组解中，

28、取 = 最小的一组解是唯一的， 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此，设 ， 称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数：VVPVVTVrbarTkkkK1K)(2WAVKPVVTT将对求一阶导数，并令其为零得：VAKPVVTT22AKPVTTKAPVT111rTrnnnnKAPV （5） 控制测量上式称为改正数方程，其纯量形式为：)(1)(1)(12222211111rnbnannnrbiarbakrkbkapvkrkbkapvkrkbkapv（i=1,2,n） （6）控制测量4）法方程 将 代入 得 KAPVT10WAV01WKAAPT

29、矩阵形式为： rnTnnnrrrAPAN1011rrrrWKN（7） 上式称为联系数法方程，简称法方程。式中法方程系数距阵，为PrrPbrParPbrPbbPabParPabpaaN 因 故， 是 阶的对称方阵。NAAPAPAAAPNTTTTTTT111)()(Nr控制测量法方程的纯量形式为 000rrbabrbaarbawkprrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa （8）从法方程解出联系数K后，将值代入改正数方程，求出改正数值，再求平差值，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。KVVLL控制测量2 2、条件平差法求平差值的步骤、条件平差法求平差值的步骤根据平

30、差问题的具体情况，列出平差值条件方程式（1），并转化为改正出数的条件方程（2），条件方程的个数等于为多余观测的个数r；根据条件方程的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式（8）；法方程的个数等于多余观测的；解法方程，求出联系数K,并代入法方程检验；将K代入改正数方程（6），求改正数 值；将V代入平差值方程 求平差值；将平差值 代入平差值方程，检验是否满足条件；精度评定。VLLLV控制测量2、精度评定1）单位权中误差 tnPVVTrpvv从中误差计算公式可知，为了计算，关键是计算。下面将讨论的计算方法。PVVTpvvPVVTPVV由 直接计算 iV2222211nnvPvPvPpvv由联系数 及常

31、数项 计算KW)(rrbbaakWkWkWpvv直接在高斯杜力特表格中解算111111rWrprrrWWpbbWWpaaWWPVVrrbbaawT)()(0wwrWw控制测量2）平差值函数的权倒数设有平差值函数为 它的权函数式为：nLLLf,21nnLdLLdLLdLd)()()(2211nnLdfLdfLdf2211令则 nTffff,21TnLdLdLdLd,21LdfdT1111111rPrfrPrrrPrfPbfPbbPbfPafPaaPafPffPrPff这就是高斯约化表中 的计算公式，其规律与 计算规律完全相同。P1rWw控制测量9.3 9.3 附合导线按条件平差算例附合导线按条件

32、平差算例1.1.附合导线的条件平差方程式附合导线的条件平差方程式如图1所示，符合在已知 ， 之间的单一符合导线有 条 与 是已知方位角。),(AAyxA),(CCyxCnABCD设观测角为 、 、 、 ，测角中误差为 ，观测边长为 、 、 、 ，测边中误差为 （ 1、2、 ）。121n1s2snssiin此导线共有 个观测值，有 个未知数，故 则 。因此，应列出三个条件方程，其中一个是坐标方位角条件，另两个是纵、横坐标条件。12 n1n) 1(2nt3) 1(2) 12(nnrBA( 1 )C( n + 1 )Ds1s2sn23n12345n + 1图1控制测量 1 1）坐标方位角条件坐标方位

33、角条件 设观测角 的改正数为 （ 1、2、 1），观测边 的改正数为 （ 1、2、 ）。由图1知iivinissivin180) 1(11niniBACD011ainiv式中 方位角条件的不符值，按 a180) 1(11niniCDBAa若导线的A 点B与点重合，则形成一闭合导线，由此坐标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件。控制测量 2 2）纵、横坐标条件纵、横坐标条件 设以 、 、 表示（图1）中各导线边的纵坐标增量之平差值； 、 、 表示（图1）中各导线边的横坐标增量之平差值；由图可写出以坐标增量平差值表示的纵、横坐标条件。1 x2 xnx 1 y2yny yininAinACxinin

34、AinACvyyyyyvxxxxx111111（1） 令 则 )()(11ACinyACinxyyyxxx0011yyinxxinvv（2） )()()(211nxinxdxdxdv控制测量将上式代入式（2）得纵坐标条件式，且同理已可得横坐标的条件式即 0)(1sin0)(1cos1111yiiCnisiinixiiCnisiinivxxvvyyv（3）上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程、为条件式的不符值，按 CCCinAyCCCinAxyyyyyxxxxx11式中、是由观测值计算的各导线点的近似坐标。 1231211)()()(cosvyyyyyyvvnCsiinxinnncnCvyy

35、vyyyyyy)()()()(23423控制测量 计算时一般 以秒为单位， 、 、 以cm为单位；若 、 以m为单位，则 ，从而使全式单位统一。若单一导线的 与 点重合形成闭合导线，则纵、横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合条件，以增量平差值表示为ivsivxyxy65.2062100206265 AC0011ininyx控制测量2.2.符合导线的精度评定符合导线的精度评定1）单位权中误差单位权中误差：单一符合导线计算单位权中误差公式与边角网相同，按rvvPvvPrpvvsss 2）平差值的权函数式平差值的权函数式：为了平定平差值函数的精度，必须要列出权函数式。一般有下列三种函数式。边长平差

36、值权函数式 由导线边 故其权函数式为 siiivsssiFsivv控制测量坐标平差值的权函数式 由（23页图1）得点坐标平差值的权函数式为iijjisiijiFyiiijjisiijiFxivyxvvvyyvv11111111sincos坐标方位角平差值权函数式由（23页图1）得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为1801ninBAiniiFvv1控制测量3.3.附合导线按条件平差算例附合导线按条件平差算例在下图2所示附合导线中A,B 为已知点，其坐标为 947.6556Ax735.4101Ay155.8748Bx647.6667Ay方位角，应用红外测距仪观测导线的转折角和边长列入下表1

37、。试按条件平差法，求各观测值及平差后边的边长相对中误差。4 .130349 ABsA(1)B(5)s1s2s423123453s3图2控制测量表1 近似坐标计算控制测量解：（1）确定观测值的权。 测角中误差 0 . 3 m边长中误差按仪器给定公式为26222)105()5 . 0()(iicssppmsmmi（cm）式中is以cm为单位。由上式算得 82. 02sm96. 01sm79. 03sm92. 04smcmcmcmcm以角度观测的权为单位权，即0 . 3 m控制测量表2 条件方程及权函数式系数表控制测量续表控制测量则边长的权为76. 92211smsmmp38.132sp42.143

38、sp63.104sp边长权倒数为101. 011sp074. 012sp070. 013sp091. 014sp控制测量（2）计算条件方程式不符值。由表1得0 . 54 .1303494 .080349 ABABaw9 . 4155.8746204.8748BBxxxw9 . 2647.6667676.6667BByyyw（3）计算条件方程式系数及权函数式系数，列于上表2中。（4）组成法方程式并解算。根据上表2中系数组成法方程系数，然后填于下表3中相应行内。法方程式的解算在下表3中进行。 cmcm控制测量表3 法方程式解算表控制测量（5）计算改正数和平差值。由法方程解算表解得的联系数k 和观测

39、边加相应改正数，即得角度和边长平差值。计算见下表4。表4 观测值之平差值计算控制测量（6）计算边的精度。1）单位权中误差，按 59 . 23080.26 rpvv计算边的中误差3s2）cm75. 0064. 095. 2133sspm3s边长相对中误差164000112294275. 033sms返回本章首页控制测量二、参数平差数学模型和公式1. 1. 参数平差数学模型（1）平差值方程 设平差问题中，有 个不等精度的独立观测 ，相应权为 （ 1，2, , ），并设需 个必要观测，用 表示选定的未知数，按题列出 个平差值方程为nn1nLipit1tXnntnnnnnnttdxtxbxavlLdx

40、txbxavLLdxtxbxavLL21222212222112111111式1控制测量(2)误差方程令则1式为iiixxx0ntnnnnttlxtxbxavlxtxbxavlxtxbxav2122221221121111其中（1，2，,）iiiiiiiLdxtxbxal00201innnvvvV211ttxxxx211nnllll211nnntntbatbatbaB222111nnnpppP00000021则2式的矩阵形式为lxBV若设式2式3控制测量（3）法方程式中有 个待定的改正数和 个未知数，共 个待定量，而方程只有 个，所以有无穷多组解。为了寻求一组唯一的解，根据最小二乘原理按 的准

41、则求，按数学上求函数自由极值的理论，即nnttnminPVVT022PBVxVPVxPVVTTT转置后得 110tnnnntTVPB代3式代入4式得法方程0 ）（lxBPBT0PlBxPBBTT式4式5控制测量令 PBBNTttPlBUTt15式可表示为0 UxNPlBPBBUNxTT11）（其纯量形式为000212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaattt将上式算得的 代入式2求出改正数向量V，进而求出观测平差值。x式6式7控制测量2 2、按间接平差法求平差值的计算步骤根据平差问题的性质，选择 个独立量作为未知数；将每一个观测量的平

42、差值分别表达成所选参数的函数。若函数为非线性要将其线性化，列出误差方程；由误差方程系数 和自由项 组成法方程，法方程个数等于未知数个数 ；解算法方程，求出未知数改正数 ，计算未知数；由误差方程计算V，求出观测量平差 。 tBltxVLL控制测量3、精度评定（1）单位权中误差和的计算同条件平差一样，间接平差单位权中误差公式为PVVTtnPVVTrpvvpvvPVVT的计算方法为或由iv直接计算2222211nnvpvpvppvv由未知数改正数 及法方程常数项 及计算 xpll txptlxpblxpalpllpvv21在高斯杜力特表中解算111111tptltptttptlpblpbbpblpa

43、lpaapalpllpvv llplltpll控制测量（2）未知数函数的权倒数和中误差设某平差问题的未知数的函数为txxxf,21它的权函数式为 ttttxfxfxfxxfxxfxxf22112211tTffff21Ttxxxx21则上式的矩阵形式为xfT控制测量根据权逆阵的传播律，得未知数的权倒数 111111012211tftptttffpbbffpaafPtt111111012211tptttftfpbbffpaaffPtt fft00则的中误差为：Pm1控制测量（3）未知数的权逆阵和中误差 由法方程 0UxN得UNx1011011)()(PLBNPLBNlLPBNPlBNTTTT由权逆

44、阵的传播律得 TTLTXXPBNQPBNQ)()(111111111NNNNPBNBNPBNPQBNTLT控制测量即法方程系数距阵的逆阵就是知数向量的权逆阵 ，令 ttttttxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXQQQQQQQQQNQ2122212121111因为法方程系数阵是一个对称方阵，故它的逆阵也为对称方阵未知数的权逆阵，通常又称为权系数阵，其对角线上的元素 为未知数的权倒数，非对角线上的元素 称为未知数 关于 的相关权倒数，而所有的元素又称为权系数。 权系数的计算除了用矩阵求逆的方法以外，还可以用高斯约化法求权系数的方法。则任一未知数 的中误差为：iiQijQixjxixiixiQ

45、m控制测量三角网参数平差及算例三角网参数平差及算例 1. 1. 未知数的选定未知数的选定 平面控制网参数平差总是选择未知点x,y的坐标为平差参数。2、测角网坐标平差误差方程列立、测角网坐标平差误差方程列立这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。如下图1为某一测角网的任一角 为三个待定点，它们的近似坐标为 改正数为 ，则平差值分别为hkjLi,000000,;,;,hhkkjjyxyxyxhhkkjjyxyxyx,;,;,jjjjjjyyyxxx00kkkkkkyyyxxx00hhhhhhyyyxxx00由图1可得的平差值方程为iLjhjkiL控制测量令 jkjkjk

46、0jhjhjh0误差方程为 ijhjkijhjkjhjkilLv)(00ijkiLl0式中：kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxxsyysxxsy200200200200)()()()( hjhjhhjhjhjjhjhjjhjhjhysxxsyysxxsy200200200200)()()()( iL),(hhyxh),(kkyxk),(jjyxj图1控制测量或写为： kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxsysxs00000000cossincossin hjhjhhjhjhjjhjhjjhjhjhysxsysxs00000000cossincossin 讨论讨论：

47、（1）若测站点 为已知点时，则 = =0 有，得jjxjykjkjkkjkjkjkysxxsy200200)()( 若照准点 为已知点，则有 = =0 ，得kkxkyjjkjkjjkjkjkysxxsy200200)()( 控制测量（3）若某边的两个端点均为已知点，则jxjykxky0 jk=0，（4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系也一样。 即 kjjk 因为kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxxsyysxxsy200200200200)()()()( jkjkjjkjkjkkjkjkkjkjkjysxxsyysxxsy200200200200)()(

48、)()( 顾及 0000kjjkkjjkyyxx控制测量综上所述，对于角度观测的角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为未知数时，列误差方程的步骤为：计算各待定点的近似坐标；由待定点的近似坐标和已知点坐标计算各边的近似坐标方位角和近似边长；计算各边的坐标方位角改正数，并计算其系数列出误差方程。据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一个方向的坐标方位角改正数方程即可。控制测量3、测边网坐标平差误差方程列立如下图2为某一测边网中的任意一条边， ， 为两个待定点，它们的近似坐标为 ，改正数为 则 ， 的坐标平差值为 jk0000,;,kkjjyxyxkkjjyxyx,;,jkjjjjjjyyyxxx00kkkkkkyyyxxx00kisj由右图2可写出的平差值方程为is 22)()(jkjkiiiyyxxvss图2控制测量 按台劳公式展开， 得kjikjijkijkijkjkiiyysxxsyysxxsyyxxvs0000200200)()(ikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilysyxsxysyxsxv00000000