全国1卷高考数学试卷(理科)q

1、全国1卷高考数学试卷（理科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.A.C.(5分)设I为全集，S1、ciSi n(S2US3)=CIS1 ACIS2ACIS3)=S2、S3是I的三个非空子集,且S1 U S2U S3=I ,则下面论断正确的是（B.D.S1?(ciS2nciS3)S1? (CIS2UCIS3)2.A.（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为B. 8兀C.k则球的表面积为（）4强几D . 4兀3.A.（5分）已知直线l过点（-2, 0）,当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（C.（.返西D.1 1)8' 84.已知ABCD

2、是边长为1的正方形， 且AADE、4BCF均为正三角形, ）（5分）如图,在多面体ABCDEF中, 则该多面体的体积为（EF/AB, EF=2,C.5. （5分）已知双曲线y2=1 (a> 0)的一条准线与抛物线y2= - 6x的准线重合,则该双曲线的离心率为（A.)B.C.D.6.（5分）当 0vxv二sin xA.Ein2xC. 4的最小值为（7.A. 1（5分）设 b>0,D.B. 2Vs8. ( 5分)设 0vav1,函数f （x） =loga （a2x-2ax-2）,则使f （x） v 0的x的取值范围是（A.8, 0)B. (0, +8)C.loga3)D.(loga3

3、,北联星航府文钟北极星寰岛文鞘9. （ 5分）在平面直角坐标系 xOy中，已知平面区域A= （x, y） |x+y4,且xR, y可, 则平面区域B= （x+y, x-y） | （x, y） CA的面积为（）A. 2B. 1C. 1D. 12410. （5分）在ABC中，已知tan2_k=sinc,给出以下四个论断：2 tanA ?cotB=1 , 1vsinA+sinB 气 2, sin2A+cos2B=1 , cos2A+cos 2B=sin2C,其中正确的是（）D.A.B.C.11. （5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A. 18对B. 24对C. 30对D.

4、36对二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （4分）若正整数m满足10m-1v2512v10m,贝 Um=D. - 2/2+i（lg2 前.3010）14.（4分）的展开式中,常数项为（用数字作答）H，而二仙（正+族+而），则实数m=15. （4分） ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为16. （4分）在正方体 ABCD - A BCD中，过对角线BD的一个平面交 AA '于E,交CC于F,则:四边形BFDE一定是平行四边形；四边形BFDE有可能是正方形；四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形；平面BFD E有可能垂直于平面BB D.以上结论正确的为

5、 .（写出所有正确结论的编号）北展星激府文钟北粮星寰岛文鞘三、解答题(共6小题，满分74分)17. (12分)设函数f (x) =sin (2什？)(-兀< ?<0) , y=f (x)图象的一条对称轴是直线(I )求？；(n)求函数y=f (x)的单调增区间；(出)证明直线5x - 2y+c=0与函数y=f (x)的图象不相切.AB /DC, / DAB=90° , PAL底面 ABCD ,18. (12分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,且 PA=AD=DC= J, AB=1 , M 是PB 的中点.2(I )证明：面 PAD，面PCD;(n)求AC与PB所成

6、的角；(出)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.19. (12分)设等比数列an的公比为q,前他和Sn>0(n=1, 2,).(I )求q的取值范围；(II)设b二月e 记bn的前nW口为Tn,试比较Sn与Tn的大小. n JiTii 2 riri20. (12分)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽, 则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用基示补种费用， 写出的分布列并求 第勺数学期望.(精确到 0.01)21. . ( 14分)已知椭圆的中心为坐标原点O,

7、焦点在x%_9_ _斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，金而与W= (3, -1)共线.(I )求椭圆的离心率；(n)设M为椭圆上任意一点，且加二h示+以而(入，|1£r)，证明猿+为定值.22. (12分)为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩(均为整数)，整理后绘制成如下的频数分布直方图(如图)，请结合图形解答下列问题.(1)指出这个问题中的总体；(2)求竞赛成绩在79.589.5这一小组的频率；(3)如果竞赛成绩在90分以上(含90分)的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励.北蛆星教府文辑北极星鼓育文辑北展星激府文辑

8、北粮星寰岛文楫参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1. ( 5分)考点：交、并、补集的混合运算.分析：根据公式 Cu(APB) =(CuA)U( CUB),CU(AUB) = ( CuA )n (CuB), 容易判断.解答：解： S1US2US3=I,Cisi nciS2nciS3)=ci(sius2US3)=cii=?.故答案选c.点评：本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式Cu(APB)=(CuA) U (CuB),CU (AUB) = (CUA) n (CUB)是一个重要公式，应熟记.2. (5 分)考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算.专题：计算题

9、.分析： 求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积.解答： 解：球的截面圆的半径为：产42, r=1球的半径为：R=二所以球的表面积：4 tR2=4兀* p2 ) 2 =8兀故选B.点评： 本题考查球的体积和表面积，考查计算能力， 逻辑思维能力， 是基础题.3. (5 分)考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率.分析：圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围.解答： 解：直线l为kx-y+2k=0,又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故选C.点评： 本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题.4. (5 分)考点：组合几何体的面积、体积问题.专题：计算题.分析：该几何

10、体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积.解答：解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2,底面三角形的底为1,高为：垂2其体积为：-ix IX 亨X2二W，割去的四棱锥体积为：-ixix返雪,326所以，几何体的体积为： 芈-卑金,26 u故选A.本题考查学生的空间想象能力，几何体的添补， 是基础题.点评：5.( 考点： 专题： 分析：解答:双曲线的简单性质.计算题.先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程，然后让二者相等即可求得 a,进而卞!据c寸屋+ b，求得5 双曲线的离心率可得.2解：双曲线.a< (曰>0)的准线为炉士因为两准线重合,=”=3,一 c=

11、I =2点评：6.( 考点： 专题： 分析：解答:，该双曲线的离心率为 JL=-V3 3故选D本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质.考查了对抛物线和双曲线的综合掌握.三角函数的最值.计算题.利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx,转化成关于tanx的函数解析式,进而利用x的范围确定tanx>0,最后利用均值不等式求得函数的最小值.解：f (K)2 cos z+8sin x 4 sm k+cos x 4tan x+1Zsinicogssinxcosi-4tans4- tans抛物线y2=- 6x的准线为点评：7.(考点： 专题： 分析：,x<T1- tanx> 0

12、.一 ,1tanx当 tSX二需时，f (x) min=4.故选C.本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值.考查了学生知识的迁移能力, 综合运用基础知识的能力.函数的图象.压轴题；数形结合.根据题中条件可先排除前两个图形，然后根据后两个图象都经过原点可求出a的两个值,北展里激*文朝北楹星曹月文辑再根据抛物线的开口方向就可确定a的值解答：解：; b>0，抛物线对称轴不能为 y轴，可排除掉前两个图象.剩下两个图象都经过原点， a2- 1=0,a=± .当a=1时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左方，第四个图象也不对，a= - 1, 故选B.点评：本题考查了抛物线的图形和

13、性质，做题时注意题中条件的利用.8. (5 分)考点：对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的单调性.专题：计算题.分析： 结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0vav1, loga(a2x-2ax-2) v 0时,有a2x - 2ax - 2> 1,解可得答案.解答： 解：设 0vav 1,函数 f(x) =loga (a2x-2ax-2),若f (x) < 0贝Uloga(a2x 2ax2) < 0,a2x - 2ax - 2>1(ax3) (ax+1) >0/.ax-3>0, -x<loga3,故选C.点评： 解题中要注意0va

14、v1时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误.9. (5 分)考点：二元一次不等式(组)与平面区域；对数的运算性质.专题：计算题；作图题.分析：求平面区域B= (x+y, x-y) |(x, y) CA的面积为可先找出B中点的横纵坐标满足的关系式， 故可令x+y=s , x - y=t,平面区域A= (x, y) |x+y <1,且x可，y可得出/口 t的关系， 画出区域求面积即可.解答： 解：令 x+y=s , x - y=t,由题意可得平面区域 B= (s, t) |s局，s+t用，s-t冷, 平面区域如图所示SAOAB=2X 1 登=1故选B.点评：本题考查对集合的认识、二元一次

15、不等式组表示的平面区域等知识，以及转化思想、作图能力.10. (5分)考点：三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用.专题： 分析：解答:点评：11 .考点： 专题： 分析：解答:点评：12 .（ 考点： 专题： 分析：计算题；压轴题.先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得co建2进而求得A+B=90进而求2 2得tanA无otB=tanA?tanA等式不一定成立，排除；利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，正确； sin2A+cos2B=2sin2A 不一定等于 1,排除；利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin 2

16、A=1 ,进而卞据C=90°可知sinC=1,进而可知二者相等.正确.解：,/ tan=sinC 2,A+E.-=2sincosLA+B 22COS-整理求得cos ( A+B ) =0A+B=90 .，tanA?30tB=tanA ?tanA不一定等于1,不正确.1. sinA+sinB=sinA+cosA= /sin (A+45 )45 °< A+45° <135 °,停v sin (A+45。)<1,. 1< sinA+sinB所以正确cos2A+cos2B=cos2A+sin 2A=1 ,sin2C=sin290 =1,所

17、以 cos2A+cos2B=sin 2C.所以正确.sin2A+cos2B=sin2A+sin 2A=2sin 2A=1 不一定成立，故不正确.综上知正确故选B.本题主要考查了三角函数的化简求值.考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力.棱柱的结构特征；排列、组合的实际应用；异面直线的判定.计算题；综合题；压轴题.直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可.解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线， 这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对.上下两个底边三角形就有 6对；侧面之间的一条侧棱有 6对，侧面面对角

18、线之间有 6对.加在一起就是36对.（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）.故选D.本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断， 排列组合的实际应用，是难题.5分）复数代数形式的乘除运算.压轴题.两个复数相除， 分子、分母同时乘以分母的共轲复数，复数的乘法按多项式乘以多项式的方法进行.北展气激*文强北极星寰岛文鞘司解复数调一 i3=_+i=（扬位 d =：3i=i L-V24 1-V2i （1-VzO Cl+Vi） 3故选B.点评：本题考查2个复数相除、相乘的方法，注意虚数单位的哥运算性质.、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （4分）考点：指数函数的单调性

19、与特殊点；对数函数、指数函数与募函数的增长差异.专题：计算题.分析：利用题中提示lg2-0.3010,把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可.解答：.- 10m-1<2512<10m,取以10为底的对数得lg10m 1<lg2512<lg10m,即 m 1 v 512Xlg2V m又. lg2 前.3010m- 1< 154.112<m,因为m是正整数，所以 m=155故答案为155.点评：本题考查了利用指数形式和对数形式的互化.熟练掌握对数的性质.对数的运算性质是解决本题的关键.14. （4分）考点：二项式系数的

20、性质.专题：计算题.分析:解答:利用二项式定理的通项公式Tr+1=Cnranrbr求出通项，进行指数募运算后令x的指数哥为0解出r=6,由组合数运算即可求出答案.r_J,工解：由通项公式得Tr+1=C9r (2x) 9 r (-1)=(T) r29-rC9rx9-r (2)= ( 1 ) Z* rC9rV X-令9-*=0得r=6,所以常数项为(T) 623C96=8C93=8N卬2 C 8 3X2X1=672点评:故答案为672本题主要考查二项式定理的通项公式的应用,并兼顾了对根式与指数塞运算性质的考查,属基础题型.15. （4分）考点：向量的加法及其几何意义；三角形五心.专题：压轴题；数形

21、结合.分析： 根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形 AHCD是平行四边形,由向量加法的三角形法则得 0H=0A+树，由向量相等和向量的减法运算进行转化, 直到用 点、而和沃表示出来为止.解答： 解：如图：作直径 BD,连接DA、DC,由图得，oE= -o5,. . H为 ABC 的垂心，CHXAB , AH ± BC , . BD为直径，. .DA ±AB , DCXBCCH / AD , AH / CD,故四边形AHCD是平行四边形，. AH=DC又丁 DC=而一而=而+而,届届+标=市+充赖+血+西，对比系数得到m=1 .故答案为：1 .点评：本题考查了向量的

22、线性运算的应用，一般的做法是根据图形找一个封闭的图形，利用向量的加法表示出来,再根据题意进行转化到用已知向量来表示，考查了转化思想.16. ( 4分)考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系.专题：压轴题.分析：由平行平面的性质可得是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形， 故正确,错误.解答：解：二.平面 AB7/平面DC', 平面 BFD'EA 平面 AB =EB , 平面 BFD E 叶面 DC=DF, ，EB/DF, 同理可证：DE/FB,故四边形BFD E一定是平行四边形，即正确；：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不

23、可能为正方形，故错误；：四边形BFDE在底面ABCD内的投影为四边形 ABCD ,所以一定是正方形，即正确；：当E、F为棱中点时， EFL平面BB'D, 又 EF?平面BFD E,，此时：平面 BFD'E,平面BB D, 即正确.故答案为：点评： 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力.三、解答题(共6小题，满分74分)17. (12 分)考点：正弦函数的单调性；正弦函数的对称性；直线的斜率.专题： 分析：计算题；综合题.(I) y=f (x)图象的一条对称轴是直线 乂二胃.就是工=1时

24、函数取得最值， 结合？的范围, 83求出？的值;解答:(n)利用正弦函数的单调增区间， (出)利用导数求出导函数的值域， 解：(I)x=二是函数 y=f (x)口直接求函数y=f (x)的单调增区间；从而证明直线5x - 2y+c=0与函数y=f (x)的图象不相切.的图象的对称轴，sin (2 乂 三+口 =±1, M?<0, ?=-.4(n)由(I)知？=,4一 H7T二k冗十一C-a,kCZ.因此产sin ( 2x -北展星激*支辑北极星寰岛文鞘由题意得 2kTtn+:，kCZ.所以函数产sin （2x-卫）的单调增区间为 正冗+二卜江+旦,kEZ 48§（出）

25、证明：. |y'|=| Jin （2工斗）'|=|2cg （2工耳）|<2 ,所以曲线y=f （x）的切线斜率取值范围为-2, 2,而直线5x - 2y+c=0的斜率为尧2,2所以直线5x - 2y+c=0与函数产式口 -旺）的图象不相切.4点评:常考题型.本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力.是综合题,18. （12 分）考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题.专题：证明题；综合题；转化思想.分析： 法一：（I）证明面 PAD上面PCD,只需证明面PCD内的直线CD,垂直平面PAD内的两条相交直线 AD、

26、PD即可；（II）过点B作BE/CA,且BE=CA , / PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角;（m）作AN，CM ,垂足为N,连接BN ,说明/ ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面 AMC与面BMC所成二面角的大小.法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（I ）求出诃，贡，计算APDC=0,推出APLDC.,然后证明CD垂直平面PAD,即可证明面PAD，面PCD;(n)求出正，而5,计算8匚< AC,PB>-即可求得结果.（出）在MC上取一点N （x, y, z）,则存在使NC二人从。,说明/ ANB为

27、所求二面角的平面角.求出 祈，丽,计算COSI AN I d BN I即可取得结果.解答： 法一：（I）证明：PAXWABCD , CDXAD , 由三垂线定理得： CDXPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线 AD, PD都垂直, CDXW PAD.又CD?面PCD, .面 PADPCD.(n)解：过点 B作BE / CA , 且BE=CA ,则/ PBE是AC与PB所成的角.连接 AE, 可知 AC=CB=BE=AE=&，又AB=2 ,所以四边形ACBE为正方形.由PAX面ABCD得/ PEB=90 在 RtA PEB 中 BE=a2=3b2, PB=/,Q/PBE 渭邛L JU

28、 -rJAC与PB所成的角为(出)解：作AN，CM ,垂足为N,连接BN.在 RtPAB 中， AM=MB , 又AC=CB ,AAMC ABMC ,BNXCM ,故/ANB为所求二面角的平面角 CBXAC ,由三垂线定理， 得CBLPC, 在 RtPCB 中， CM=MB , 所以 CM=AM .在等腰三角形AMC中，AN?MC=Jc(2 -至)，故所求的二面角为arccos (- 2)3法二：因为PAXPD, PAX AB, AD LAB,以A为坐标原点AD长为单位长度, 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)B(0, 2,0) , C (1, 1, 0),D (1,0,0

29、),P (0,0, 1) , M 3 1,(I)证明：因为 7p= (0, 0, 1) , DC= (0, 1, 0),故由辰二0,所以APDC.又由题设知AD ± DC ,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC，面PAD.又DC在面PCD上， 故面PAD，面PCD(n)解：因正=1, 30), PB= (0, 3 -1)故I正IRL I由卜用，正丽：2,AT-PB V10|AC|-|PB|由此得AC与PB所成的角为(出)解：在 MC上取一点N (x, v, z),则存在使欣二X位,z)MC= (1, Q,北展区教鹿文辑北极星寰岛文身.'. x=1 % y=1

30、, z=入.2要使AN ± MC ,只需福,而、0即X解得£h1可知当 入二时，N点坐标为（4，L £）,能使赢元二0.5555此时*州二1. 2）.BN二（上一1，力）, 555 b有BN，MC二口由=0,面面?二°得AN，MC，BN _L MC .所以/ ANB为所求二面角的平面角.二 |TS 1而 I二零工 M 商二一4, 号3/_ AH"_ 2 cos C AM> EN) -产-| AN | | BN |3故所求的二面角为arccos (-2).ZA点评：19.（ 考点： 专题： 分析：解答:本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，

31、异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力,转化思想，是中档题.12分）等比数列的性质；数列的求和.综合题.（I）设等比数列通式an=aiq1）,根据Si > 0可知ai大于零，当q不等于1时，a, （l-qnl）根据Sn=>0, 进而可推知1 - qn>0且1 - q>0, 或1 -qnv。且1 -q<0,1 - q进而求得q的范围， 当q=1时仍满足条件，进而得到答案.（II）把an的通项公式代入，可得an和bn的关系， 进而可知Tn和Sn的关系，再根据（1）中q的范围来判断Sn与Tn的大小.解：（I）设等比数列通式 an=a1q （n 一1）根据Sn&

32、gt;0,显然a1>0,力（L qD当q不等于1时，前n项和sn=所以Cl - qD1 - q>0 所以-1 v qv 0或0v qv 1或q> 1当q=1时仍满足条件综上q > 0或-1 v q V 0(n)V =-i：,bn=Qn+2"ian+l=anq2=an (2q 3q)2Tn=-1 （2q2-3q） Sn. Tn - Sn=Sn （2q23q - 2） =lSn （q-2） （2q+1）又因为Sn>0,且-1vqv0或q>0,所以， 当-1vqv -或q>2时，Tn-Sn>0,即Tn>Sn；当-< qV 2且q

33、为时，Tn - Sn< 0,即Tn V Sn;2当 q=-二 或 q=2 时，Tn- Sn=0即 Tn=Sn.2'点评：20.（考点： 分析：本题主要考查了等比数列的性质.在解决数列比较大小的问题上，常利用到不等式的性质来解决.12分）离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率，由题意知一共种了 3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量 阴勺可能取值是0, 10, 20, 30,根据独立重复试验得到概率的分布列.解答:解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1 - C

34、330.53=0.875由题意知一共种了 3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元得到变量 阴勺可能取值是0, 10, 20, 30,乒0,表示没有坑需要补种，根据独立重复试验得到概率P （乒0） =C330.8753=0.670P （乒10） =C320.8752X0.125=0.287P （乒20） =C31 X0.875 0.1252=0.041P （乒30） =0.1253=0.002，变量的分布列是102030P06700.2S70.041也002酌数学期望为： E 90X0.670+10X0.287+20X0.041+30X0.002=3.75点评：22.考点：专题：考查运用概率知识解决实际问题的能力，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件,遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率.（12 分）频率分布直方图.计算题；压轴题.北展里激*文朝北极星寰岛文楫分析:(1)根据总体的概念：所要考查