24渐开线与摆线

1、 渐开线与摆线渐开线与摆线20222022年年4 4月月2727日星期三日星期三1 1、渐开线的定义、渐开线的定义动点（笔尖）满足什么几何条件？动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，AB当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧，展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，圆的渐开线，相应的定圆叫做相应的定圆叫做渐开线的基圆。渐开线的基圆。把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与

2、圆相外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ABMOxy2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程 以基圆圆心以基圆圆心O为原点，直线为原点，直线OA为为x轴，建立平面直角坐标系。轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为设基圆的半径为r，绳子外端，绳子外端M的的坐标为（坐标为（x，y）。）。显然，点显然，点M由角由角 唯一确定。唯一确定。B取 为参数，则点 的坐标为（rcos ,rsin ）,从而(cos ,sin ),|.BMxr

3、yrBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是与同方向的单位向量，2(sin , cos )eBM 因 而 向 量是 与 向 量同 方 向 的 单 位 向 量 。2erBM所以ABMOxy2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程| (cos ,sin )(sin , cos )BMx ryrr (cossin )()(sincos )xryr解得 是参数 。这就是这就是圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程。),)sin,cosyxMrrB（，（)cos,(sin2e2erBM所以渐开线的参数方程渐开线的参数方程ABMOxy(cossin )()(sincos )xryr是参数 。

4、3、渐开线的应用：、渐开线的应用：由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形。因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。4、摆线的定义思考：思考：P41P41 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地

5、，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。的这个动点满足的几何条件。我们把点我们把点M的轨迹叫做的轨迹叫做平摆线平摆线，简称，简称摆线摆线，又叫，又叫旋轮线。旋轮线。 上述问题抽象成数学问题就是：上述问题抽象成数学问题就是：当一个当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？上一个定点的轨迹是什么？OABMOAMAOAr线段的长等于的长，即。xyO DAEBMC5 5、摆线的参数方程、摆线的参数方程OABM 根据点根据点M满足的几何条件，我们取定直线为满足的几何条件，我们取定直线为

6、X轴，定点轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。原点，建立直角坐标系。设圆的半径为设圆的半径为r。xyO DAEBMC5 5、摆线的参数方程、摆线的参数方程MxAB设 开 始 时 定 点 在 原 点 ， 圆 滚 动 了 角 后 与轴 相 切 于 点， 圆 心 在 点。MABxCD从点分别做， 轴的垂线，垂足分别是 ， 。( , ),Mx yM设点的坐标为取 为参数，根据点满足的几何条件，有sin ,xOD OA DA OA MCrrcos .yDMACABCBrr所以，摆线的参数方程为：所以，摆线的参数方程为：(sin ),()(1 cos ).xryr为参数xyO DAEBMC6 6、摆线的参数方程、摆线的参数方程(sin ),()(1 cos ).xryr为参数摆线的参数方程为：摆线的参数方程为：思考：思考：P42P42 在摆线的参数方程中，参数在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？的取值范围是什么？一个拱