目标规划数学模型与图解法

1、1第第5章章 线性目标规划线性目标规划n第1节 目标规划的数学模型n第2节 解目标规划的图解法n第3节 解目标规划的单纯形法n第4节 应用举例2第第1 1节节 目标规划的数学模型目标规划的数学模型v为了说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。3第第1 1节节 目标规划的数学模型目标规划的数学模型v例1 某工厂生产，两种产品，已知有关数据见下表。试求获利最大的生产方案。v解：这是求获利最大的单目标的规划问题，用x1，x2分别表示，产品的产量，其线性规划模型表述为： 拥 有 量 原 材 料 (kg) 设 备 (hr) 2 1 1 2 11 10

2、利 润 (元 /件 ) 8 10 0,102112108max21212121xxxxxxxxz满足约束条件：目标函数：4第1节 目标规划的数学模型v用图解法求得最优决策方案为：x1*=4, x2*=3, z*=62(元)。(4,3)0,102112108max21212121xxxxxxxxz满足约束条件：目标函数：5第1节 目标规划的数学模型v实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内等一系列条件。例如:(1)(1)根据市场信息，产品根据市场信息，产品的销售量有下降的趋的销售量有下降的趋势，因而希望产品势，因而希望产品的产量不应大于产品的产量不应大于产品。(2)(2)当超过计划供应原

3、材料时，需用高价采购，当超过计划供应原材料时，需用高价采购，会使成本大幅度增加。会使成本大幅度增加。(3)(3)应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。(4)(4)应尽可能达到并超过计划利润指标：应尽可能达到并超过计划利润指标：5656元。元。6第1节 目标规划的数学模型v这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入与目标规划模型有关的概念。v1.正、负偏差变量d+，dv设x1，x2为决策变量，正偏差变量d表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d表示决策值未达到目标值的部分。因决策值不可能既超过目标值同

4、时又未达到目标值，即恒有 d+d = 0。7第1节 目标规划的数学模型v2.绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。硬约束。目标约束是目标规划特有的，目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看可把约束右端项看作要追求的目标值作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生。在达到此目标值时允许发生正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差正或负偏差。因此在这些约束中

5、加入正、负偏差变量，它们是软约束。变量，它们是软约束。8第1节 目标规划的数学模型 线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束，如可将例1的 目标函数目标函数 z=8x1+10 x 变换为目标约束变换为目标约束 8x1+10 x2+d1d1+=56 约束条件约束条件 2x1+x211变换为目标约束变换为目标约束 2x1+x2+d2d2+=119第1节 目标规划的数学模型v3.优先因子(优先等级)与权系数一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，会赋予不同的优先因子，并规定 PkPk+1 k=1,2,，K

6、表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标仅在实现P1级目标的基础上才会考虑；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分别赋予它们不同的权系数wj，这些都由决策者按具体情况而定。 10第1节 目标规划的数学模型v4.目标规划的目标函数目标规划的目标函数目标规划的目标函数(准则函数准则函数)是按各目标约是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予的优先因子及权束的正、负偏差变量和赋予的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小和目标值的偏差。因者的要求是尽可能缩小和目标值

7、的偏差。因此目标规划的目标函数的形式通常是此目标规划的目标函数的形式通常是 min z=f(d+,d)11第1节 目标规划的数学模型 其具体形式大致有三种： (1) 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差 变量均尽可能地小，这时，目标函数的形式为 min z=f(d+d)(2) 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值，若要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏差变量要尽可能地小，这时目标函数的但正偏差变量要尽可能地小，这时目标函数的形式为形式为 min z=f(d+)(3) 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量要尽可能地小，这时目标函数的形

8、式为变量要尽可能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d)12第1节 目标规划的数学模型v例例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品的产量不低于产品的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求最佳决策方案 。 解：解：按决策者所的要求，分别赋予这三个目标优先因子P1，P2，P3，得到本问题的数学模型为：3 , 2 , 1, 0,561081020112)(min21332122211121213322211iddxxddxxddxxddxxxxdPddPdPzii满足约束条件：目标函数：13第2节 解目标规划的图解法v对只有两个决策变量

9、的目标规划问题，可以用图解法来求解，以例2说明之（图5-1）。3 , 2 , 1, 0,561081020112)(min21332122211121213322211iddxxddxxddxxddxxxxdPddPdPzii14第2节 解目标规划的图解法v注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足d1+=0，d2+d2=0，d3=0，因而z*=0。但在大多数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。 15第2节 解目标规划的图解法v例例3 3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机需占用装配线1小时，

10、装配线每周计划开动40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标为：第一优先级：充分利用装配线每周计划开动第一优先级：充分利用装配线每周计划开动4040小时；小时；第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过超过1010小时；小时；第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因彩色电视机的利润高，取其权系数为彩色电视机的利润高，取其权系数为2 2。试建立本问题的目标规划模型，并求解黑白和彩色电视试建立本问题的目标

11、规划模型，并求解黑白和彩色电视机的产量。机的产量。 16第2节 解目标规划的图解法v解解：设x1，x2分别表示黑白和彩色电视机的产量，本问题的目标规划模型为：4 , 3 , 2 , 1, 0,30245040)2(min21442331222111214332211iddxxddxddxddxxddxxddPdPdPzii满足约束条件：目标函数：17第2节 解目标规划的图解法v用图解法求解，见图5.2。18第2节 解目标规划的图解法v从图5.2可看出：在考虑具有优先因子在考虑具有优先因子P1、P2的目标实现后，的目标实现后，x1、x2的的取值范围为取值范围为ABCD。当考虑当考虑P3级目标时，因级目标时，因d3的权系数大于的权系数大于d4 ，故先考，故先考虑虑min d3 。这时。这时x1、x2的取值范围缩小为区域的取值范围缩小