2020届江西省红色七校高三第一次联考数学试题

1、2020届江西省红色七校高三第一次联考试题数学(理)一、单选题 21 .已知集合 A x|x 2x 3 0 ,集合 B x|y JTX,则 CrA UB( )A. x| 1 纵 3 b. x|x 3 c. x|x 1 D.x|x 1【答案】D【解析】先解一元二次不等式求出集合 A,根据函数定义域的要求求出集合B,再通过补集与并集的运算，可得到本题答案.【详解】由 x2 2x 3 0得 x 1或 x 3,从而 CrA x| 1 x 3 ,由 x 1 0,得集合 B x|x 0,从而 CrA UB x|x 1.故选：D【点睛】本题考查了集合的补集与并集的运算，以及一元二次不等式的求解，属于基 础题

2、.2 .设复数？=需初二/工+1，则佝=,)A . iB.一工C. 一十D .十工【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解.【详解】 解：一【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3 .命题p:曲线16y2 x的焦点为4,0 ；命题q：曲线x2 4y2 1的离心率为华；则下列为真命题的是()A. p qB. p qC. P ( q) D. ( P) ( q)把双曲线方p与命题q的【解析】把抛物线方程化为标准方程，可直接写出其焦点坐标;程化为标准方程，可知道a,b,c并求出其离心率，先判断命题 真假，再根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案【详解】

3、2命题P中，曲线方程可化为y1一x , 16其焦点坐标为宣。)题，p为真命题；命题q中,2、 八x2 1曲线方程可化为1,对应的4a 1,c4?e：中，所以q为真命题，所以p q为真命题.故选：B.【点睛】本题主要考查复合命题真假性的判断，主要涉及到抛物线的焦点坐标与双曲线的离心率问题,属于基础题4.在ABC中,uuv uuvAB ACuuvABuuv AC,AB 4, AC,uuu , uuv、一3 ,则BC在CA万向上的投影是(B. 3C. -4D. -3【答案】DuuuruuuAC ,再结合图形求出BC与uuu【解析】分析：根据平面向量的数量积可得 AB uuuCA方向上的投影即可.详解

4、：如图所示:uuv uuuvQ AB ACuuv UULVAB ACuuv uuuvAB AC 0 ,uuu uuurAB AC ,uuuv , uur、，BC在CA万向上的投影是:uuuvuuuv uuvBC cos BC, CAuuvBC cosACBuuvBC cosACB 3,故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结 合思想的应用问题.5 .若a, b, c,满足 2a 3, b 10g25 , 3c 2,则()A.cabB.bcaC.abcD.cba【答案】A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定 a,c的取值范围，再通过对数 函数的单调性确定b

5、的范围，进而比较三个数的大小.详解：因为2a 3 (2,22),所以1 a 2,. c因为 32 (1,3),所以0 c 1,又 b log 2 5 log2 4 2,所以cab.点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学 生的逻辑思维能力.6 .下表是鞋子的长度与对应码数的关系长度(cm)2424.52525.52626.5码数383940414243如果人的身高y cm与脚板长x cm呈线性相关且回归直线方程为y 7x 7.6.若某人的身高为173 ,据此模型，估计其穿的鞋子的码数为( )A . 40B. 41C. 42D . 43【答案】C【解析】把人的身高代入方

6、程y 7x 7.6,可求出脚板长，再查表可得到本题的答案.【详解】令y 173代入直线方程y 7x 7.6,解得x 25.8,所以脚板长为25.8(cm),查表得穿的鞋子的码数应为 42.故选：C【点睛】本题主要考查线性回归方程的简单应用，属于基础题37 .函数f(x) xx x (其中e为自然对数的底数)在 6,6的图像大致为 e e( )【答案】A【解析】利用函数的奇偶性、特殊值以及最大值进行判断排除选项，可得本 题的答案.【详解】33Qf(x) 多刀二 一7 f(x), f(x)为奇函数，故其函数图象关于原 e e e +e点对称，故选项D不正确；显然，当x 0时，f(x) 0,故选项C

7、不正确;,. .33当x 3时，f (3)二3 1 ,而选项B的最大值小于1 ,故选项B不正确;e e所以通过排除法，可得本题的答案为 A.故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别，充分利用函数的性质去判断是解决本题的关键.* 一 .一8 .在正项数列为中，ai 2 ,且点P ln an,ln % i n N包于直线x y ln2 0上.若数列an的前n项和Sn满足Sn 200 ,则n的最小值为A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】D【解析】点P代入直线方程化简可得 an为等比数列，写出数列的前n项和 公式，解不等式可得本题的答案.【详解】an 1n.由题意得，lnan ln an 1 l

8、n2 0 ,化简得2 则% 2 (n N ),所以 anSn 2(1 2)2(2n 1), QSn 200 ,2(2n 1) 200,得 2n 101 ,则 n的最小值为7.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式以及简单的不等式求解，属于基础题.9 .如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为()A . 4B. 6C. 8D . 12【答案】B【解析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 求出长方体的外接球表面积, 即可得到本题的答案.【详解】在长为1,宽为1 ,高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三

9、棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径rL 2_,所以外接球的表面积S 4 R2 4 (-6)2 6222故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度 适中.10 .若函数f(x) Asin( x ) (其中A 0, | |万)图象的一个对称中心为 (3,0),其相邻一条对称轴方程为x 12,该对称轴处所对应的函数值为i,为了得到g(x) c0s2x的图象，则只要将f(x)的图象()A.向右平移6个单位长度B.向左平移而个单位长度C.向左平移后个单位长度D.向右平移不个单位长度【答案】B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出，由五点法作图求

10、出 的值，可得f x的解析式，再根据函数y Asin x 的图象变换规 律，诱导公式，得出结论.【详解】根据已知函数f X Asin x（其中A 0, 1 |万）的图象过点-,0，蒋，1 ,_1 2可得A 1 ,二一4解得： 2.再根据五点法作图可得2 3,可得： 3 ,可得函数解析式为：f x sin 2X -3故把f x sin 2x -的图象向左平移百个单位长度， 312可得y sin 2x - -cos2x的图象，36故选B.【点睛】本题主要考查由函数y Asin x的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出A,由周期求出，由五点法作图求出 的值，函数y Asin x的图象变换规

11、律，诱导公式的应用，属于中档题.11 .我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为:和d （ a,b,c,d N ）,则bd是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值. ca c一,2714“，1 41我们知道e 2.71828 ，若令元；e ,则第一次用“调日法”后得 工是10515,若每次都取最简分数，那么第 12741e的更为精确的过剩近似值，即 而 e 45三次用“调日法”后可得e的近似分数为（109A, 4068B, 25C.19787D , 32【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案

12、【详解】第一次用“调日法”第二次用“调日法”第三次用“调日法”41 一 _，一，一一后得 二是e的更为精确的过剩近似值，即15 68后得25是e的更为精确的过剩近似值，即19 一 后得 是e的更为精确的不足近似值，即2741e一:1015 '2768e.1025，19e68725，19所以答案为 故选：C【点睛】本题考查“调日法”,主要考查学生的计算能力，属于基础题12 .若函数f xx Vx alnx在区间1,上存在零点，则实数a的取值范围为（）A.0,21B. -,eC. 0,【答案】D1【解析】利用导数研究函数f（x）在（1，）上的单调性，当a02时，f（x）在（1,）上为增函数

13、，1.且f（x） f（1）。，即可判断其没有零点，不符合条件；当a a时，f（x）在（1,）上先减后增，有最小值且小于零，再结合幕函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当X趋于 时，f（x）趋于 ，由零点存在性定理即 可判断其必有零点，符合题意，从而确定 a的范围.【详解】因为函数f x x Vx alnx,1 a 2x x 2a所以 f （x） 1 2 . x x 2x令 g(x) 2x 7x 2a ,因为 g (x)当 x (1,)时，4vx 1 0,26 0,所以 g(x) 0所以g(x)在(1,)上为增函数，则g(x) g(1) 1 2a,当1 2a 0时，g(x) 0,所以f(x

14、) 0,所以f(x)在(1,)上为增函数，则f(x) f (1) 0,所以f(x)在(1,)上没有零点.,，一 1当1 2a 0时，即a 2,因为g(x)在(1,)上为增函数，则存在唯一的x。(1,)，使得 g(x。)0,且当 x (1,x。)时，g(x) 0,当 x (x。，)时,g(x) 0；所以当 x (1,%)时，f (x) 0, f(x)为减函数，当 x (x0,)时，f (x) 0,f(x)为增函数，当 x x0 时，fmin(x) f(x0),因为f(x0)f(1) 0,当x趋于 时，f(x)趋于 ，所以在x (%,)内，f(x)一定存在一个零点.1、所以a (2,),故答案选D

15、.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于又t题.对于零点存 在性问题，有两种思考方向：(1)直接利用导数研究函数单调性，结合零 点存在性定理，讨论函数零点的情况；(2)先将函数零点问题等价转化为 两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情 况，从而确定函数零点的情况.、填空题y 0,13.若x, y满足x y 1 0tJz x 2y的最大值为x y 1 0,【答案】1【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结 合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】y 0解：由x, y满足X y 1 。作出可行域如图,x y

16、 1 0,2T5y 0联立C，解得A(1，0)x y 1 0一一. x z ,一一函数z = x-2y为y - 3,由图可知，x z 当直线y x 3过a时，直线在y轴上的截距最小，z的最大值为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.14 . (x 2y 1)(2x y)6展开式中x4y3的系数为【答案】-320【解析】先求(2x y)6展开式的通项公式11,再求(x 2y 1)(2x y)6的展开式中含x4y3的项，最后求展开式中x4y3的系数.【详解】易知(2x y)6展开式的通项公式为Tri C；(2x)6ryr,所以(x 2y 1)(2x y)6 的

17、展开式中含x4y3的项为x C；(2x)3y3与(2y) C；(2x)4y2,所以 (x 2y 1)(2x y)6展开式中x4y3的系数为 _ 33_ 24C6 22 c6 2160 480320.故答案为：-320【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.15 .如图所示的程序框图，满足|x| |y| 2的输出有序实数对x, y的概率为故答案为:本题主要考查程序框图和几何概型，画出其对应的图形是解决本题的关键216 .双曲线C:x2y- 1的左、右焦点分别为Fi、F2,点P在C上月 3tan F1PF2 4、3O为坐标原点，则10P | S【解析】先根据双曲线的焦点三角形

18、公式F1PF2b2"一,求出三角形面积, tan 2然后求yp,把yp代入x2设点 P(xP,yp)F1PF24.3Q tantan22 tan 2- 4.31 tan2 2tan 2旦,又Qa 1,b 瓜c 22b2弓PF2tan 22、3,如下图,过点P作x轴垂线，垂足为M ,则_1 1 有 Sf严2 2IF1F2 11PM | - 41PMi 2£，所以 |PM | 邪,即 | yp | 屈,2yp2 3 ,代入 X2 1 得,Xp2 2 , 3|OP| . | pm |2 |om |2.3-2.5故答案为：,5【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生

19、的计算能力，难度适中.三、解答题117 .在 ABC中，A,B,C对应的边为a,b,c,已知acosC -c b.（1）求角A的值;(2)若 b 4, c 6 ,求 cosB 的值./c、-2,、7(2) cos B【解析】（1）通过正弦定理边角转化以及sinB sin A C可求得角A；（2）用余弦定理求边a,再用余弦定理求角B.【详解】(1)由条件acosCb ,得 sin AcosC1 . c. r-sinCsin B2，又由 sinB sin A C/. A C 1.得 sin AcosC - sin 2C sin AcosC cos Asin C .因为 sin C 0 ,得 COs

20、A(2)在 ABC 中，Q b4, c 6, A由余弦定理得,3a2 b2 c2 2bccos A=42+62-2 4 6cos 28 故 a 2>/7,所以3222a c bcosB 2ac28+36-16 = 2 72 2,7 67【点睛】 本题主要考查利用正余弦定理求边角，属于基础题 .18 .如图 1 ,梯形 ABCD 中，AB/ CD ,过 A, B 分别作 AE CD , BF CD , 垂足分别为E、F . AB AE 2 , CD 5 ,已知DE 1 ,将梯形ABCD沿AE , BF同侧折起，得空间几何体 ADE- BCF ,如图2.(1)若 AF BD ,证明：DE 平

21、面 ABFE ;（2）在（1）的条件下,若DE / CF ,求二面角D AF C的余弦值.【答案】（1）见解析;(2)名【解析】（1）先证AF平面BDE ,得至ij AF DE,结合AE DE ,可证得DE 平面 ABFE ；uuuuuiruur .、,.,(2)以EA , EF , EF分别为x轴，y轴，z轴的正万向建立空间直角坐标 系，求出面ADF与面ACF的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的 余弦值，由图可知二面角D AF C为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案.【详解】(1)由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2,在图2中，AFXBE,由已知得AF BD,BE BD

22、B , . .AF 平面 BDE ,又DE 平面BDE ,AF DE,又AEDE , AE AF A,DE 平面ABFE .(2)在图2中,(1 )知 ED，EA,EF两两垂直,uwuuirEA , EF ,Eu分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空以E为坐标原点,以,D 0,0,1 ,uuirAF 2,2,0uurAD2,0,1 ,uurFC 0,0,2 .设平面ADF的一个法向量为x1,y1,z1 ,uuuvv AF 0v赌0得2x12x1不妨取xrn 1,1,2 ,ir设平面ACF的一个法向量为mX2,y2,Z2ur 得m1,1,0 ,v uuvm AF 02x2 2y2 0由 v uuv

23、 得c cm FC 02Z2 0ir rLr r m n1.cos m,n-tr-r-|m|n|由图可得，二面角D AF C为锐角，所以它的余弦值为 叵3【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量法求二面角.19.已知数列an有an 。，Sn是它的前n项和，al 3且Sn 3n an Sn 1 , n 2所以(Sn Sn 1) 3n , (Sn 1 Sn) 3(n 1),两式对应相减得an an 1 3(2 n 1),所以(an an 1)-( an1 an)6n3(6n3) 62又 n=2 时，(3+a2)12a29,a26所以a3 9,所以(a2 a3)-( a1a2) 6 9 (6+

24、3) 6 ,所以数列an an 1为等差数列.(2)当n为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4)L(an1an)3(3 7 L (2 n 1) .(1)求证：数列an an 1为等差数列.(2)求an的前n项和Sn.32【答案】(1)见解析；(2) Sn 2 n n22【解析】(1)先化简已知得。Sn1)3n , (Sn1 Sn) 3(n 1),再求出an an 1=6n 3,再证明数列an an 1为等差数列；(2)对n分奇数和偶 数两种情况讨论得解.【详解】24 222一(1 )当 n 2 时，Sn3nanSn1,(SnSn1)(SnSn 1 )3nan , an0n2 2 (3n-23n当

25、n为奇数时,Snai a3)(an 1an )3(5(2n1) 3亡(5 2n 1)3【点睛】 本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平和分析推理能力20 .随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目 的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二 考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入 下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前 2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需

26、要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表:考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、 女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独 立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对

27、夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 X元，求X的分布列与数学期 望.【答案】(1) &； (2)见解析.10【解析】事件A表示男学员在第i次考科目二通过，事件3表示女学员在第i 次考科目二通过(其中i 123,4,5) (1)这对夫妻是否通过科目二考试相 互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；(2)补考费用之和为X元可能 取值为400 , 600 , 800 , 1000 , 1200 ,根据题意可求相应的概率，进而 可求X的数学期望.【详解】事件A表示男学员在第i次考科目二通过，事件Bi表示女学员在第i次考科目二通过(其中i 1,2,3,4,5).(1)事件M表示这对

28、夫妻考科目二都不需要交补考费.P M P AB1 AB1B2 A1A2B1 A1A2B1B2P A1B1 P A1B1B2 P A1A2B1P a1a2b1b24341314314139545445545544 10.(2) X 的可能取值为 400 , 600 , 800 , 1000 , 1200.4 3 3P X 400 P A3B3-5 4 5 'P X 600 P A3B3B4 A3A4B34131432714 13 4 115 5 4 4 5 4 4544554100P X 800 P A3A4B3B4 A3B3B4 A3A4B31 1 311554 100P X 1000

29、 P A3A4B3B4P X 1200 P A3A4B3B4A3A4B3B41 115 5414 115 5 4 411.4 40011135 5 4 47400则X的分布列为:X40060080010001200P352710011100740014003271171故 EX 400 600 800 1000 1200 510.5(元)5100100400400【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意 独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.21 .(本小题满分14分) 2已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e 上，过椭圆的右焦点且垂 2直于长轴的弦长为

30、 2.(I )求椭圆的标准方程；(n)已知直线l与椭圆相交于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为,AOB的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.32【答案】(I) y2 1(H) AOB的大小为定值，且 AOB=90o2【解析】试题分析：（I）设椭圆方程为22、与 1(a b 0).a b因为e也，所以c . 2 a 212c2 o据题意，点（&出）在椭圆上，则-2与i, 2a b于是11 41,解得b 1.2 b24分因为aV2c, a2 c2 b21,则 c 1,a<2.故椭圆的方程为2-y2 1.6 分2'区（n）当直线I的斜率不存在时，由坐标原点 O到

31、直线i的距离为、6可知3/，6 ,.6.6.66.6, 6 6A（一, 一），B（, ）或人（ , ），B（ ,），33333333uur unr.OA OB 0,.-.AOB=90o,8分当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y kx m ,A(xy1), B(x2, y2),9 分原点o到直线i的距离为 冬1 k2,整理得 3m2 2(k2 1)3(),10分y kx11分2(4 km)1,得(2k2 1)x22-4kmx 2m 20._ 24(2k_21)(2m2)一 一 28(2k1),将（）式代入得232k2 80,或二16m20,12分4km2m2 2x1x22, x1x222k

32、1 2k 1乂丫22(kx1 m)( kx2 m) k X1X2km(x1X2)k22 m2 22k2 1km4 km2k2 12 m2 222m 2k22m 2k2k2 13m2 2k2X1x2y1y22k2 12k2 12k2 113分AOB=90o综上分析， AOB的大小为定值，且14分AOB=90o.【考点】本小题主要椭圆标准方程的求解和直线与椭圆位置关系的判断和应 用.点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不 要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记 验证判别式大于零.,1 222 .已知函数 f(x) 2x 4x 3ln x(1)求函数f X的单调区间;(2)若 f Xif X2fX3,X1X2X3,试证：X3Xi4.【答案】(1)单调增区间为0,1与3,减区间为1,3 ； (2)见解析【解析】(1)求导，令f X 0,可得增区间，令f X 0,可得减区间, 要注意函数定义域为 0,;构造函数F(x) f(X)