2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、2020届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试试题数学(理)一、单选题1 .集合 M x|y 1m , N 1,0,1,2，则 M I N ()A. 0,1B.1,0,1C. 1, 1D. 0,1,2【答案】B【解析】计算M x x 1 ,再计算M【详解】M x | y 小xx x 1 , N故选：B.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.已知i为虚数单位，复数 z 1 i 2A. 1 3iB. 1 3i【答案】B【解析】先根据复数的乘法计算出【详解】N得到答案.1,0,1,2，故 M N 1,0,1i ,则其共轲复数Z ()C.1 3iD.1 3iz ,然后再根据共轲复数的概念直接写出

2、Z即可.由z 1 i 2 i 13,所以其共轲复数z 1 3i .故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轲复数的概念，难度较易3 .“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015 2019年，我国对“带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）U均口口 一通口亡til止型一底口:WiEA.这五年，出口总额之和比进口总额之和 大 B.这五年，2015年出口额最少C.这五年，2019年进口增速最快D.这五年，出口增

3、速前四年逐年下降【答案】D【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可【详解】2016年到2019年出口对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而额都大于进口额，则 A正确;对B项，由统计图可得,2015年出口额最少，则 B正确;对C项，由统计图可得,2019年进口增速都超过其余年份，则C正确;对D项，由统计图可得,2015年到2016年出口增速是上升的，则 D错误;故选：D本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题a9 aa1 4.已知数列a1,，-是首项为8,公比为-得等比数列，则 a3等于a a?an 12( )A. 64B. 32C. 2D. 4【答

4、案】A【解析】根据题意依次计算得到答案.【详解】a2a3 .根据题息知：a1 8, 4 ,故 a2 32 , 2 , a364.a1a2故选：A.【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力5 .“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样 .为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有 80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是【答案】DC. 10D.18【解析】直接根据几何概型公式计算得到答案【详解】 S8018根据几何概型：p，故S.92005故选：D.本题考查了根据几何概型求面

5、积，意在考查学生的计算能力和应用能力6.已知a , b为两条不同直线， 为三个不同平面，下列命题：若 / ，则/ ;若a/ , a/ ,则/ ;若 ， ，则 ；若a , b ，则a/b .其中正确命题序号为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若/ ,/ ,则/ ,故正确;若a/ , a/ ,平面，可能相交，故错误;若 ， ，则，可能平行，故错误;由线面垂直的性质可得，正确；故选：C本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题27.双曲线Ci : 22 a2yr1 ( a 0, b 0

6、)的一个焦点为 F (c,0) ( c 0),且双b22曲线Ci的两条渐近线与圆C2： (x c)2 y2 c-均相切，则双曲线Ci的渐近线方程 4为()A. x J3y 0B. 3x y 0C. 5x y 0D. x . 5y 0【答案】A, bc c【解析】根据题意得到 d j 22化简得到a2 = 3b2,得到答案.,-a2 b22【详解】根据题意知：焦点 F (C,0)到渐近线yb. bc一x的距离为d F=a；a故a2 = 3b2,故渐近线为x J3y 0.故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.2x 一，I8.函数f x葭一

7、的图象大致是()|e1【答案】B【解析】根据函数值恒大于 0,排除A，根据函数不是偶函数，排除C,根据x趋近于正无穷时，函数值趋近于0,排除D ,故选：B.【详解】2r x因为f x丁二T 0,所以A不正确；e 12x 函数f x 不是偶函数,图象不关于y轴对称,所以C不正确；e 1x2当x 0时，f(x) 0,当x趋近于正无否时，x2和ex 1都趋近于正无穷，但 e 12是ex1增大的速度大于x2增大的速度，所以f xx趋近于0,故D不正确.ex1故选：B本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性，考查了极限思想，根据函数的性质排除选项是解题关键9.已知 AB是过抛物线y

8、2 4x焦点A. 2B. - 4【答案】D22【解析】设A L,y1 , B巨， 44计算uuu uur 2 2OA OB y1” y1y2得到答案16【详解】22设A巧-,y1 , B4,y2，故44易知直线斜率不为0 ,设AB ： x2得到 y 4my 4 0 ,故 y1y2uur uurF的弦，O是原点，则OA OB ()C. 3D. 3，设AB ： x my 1 ,联立方程得到 yy24 ,uuu uuu y2 y/OA OBy1 y2.16,x my 1my 1 ,联立方程2y 4xuuu uuu y12 yJ4 ,故 OA OB 山yy23.16故选：D.本题考查了抛物线中的向量的

9、数量积,设直线为x my 1可以简化运算，是解题的关键.10.正四棱锥P ABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为回 侧棱长为2J3,则它的外接球的表面积为()A. 4B. 8C. 16D. 20【答案】C【解析】如图所示，在平面 ABCD的投影为正方形的中心 E,故球心O在PE上，计299算长度，设球半径为 R,则PE R BE2 R2,解得R 2,得到答案.【详解】如图所示：P在平面ABCD的投影为正方形的中心 E ,故球心O在PE上，1BD 应AB 2褥，故 BE 2BD V3, pe VPBBE 3，设球半径为R,则PE R 2 BE2 R2,解得R 2,故S 4 R2 16

10、.故选：C.AB【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力11.关于函数f(x) 2tanx cos2x,下列说法正确的是()1 tan xA.函数f(x)的定义域为R3B.函数f(x) 一个递增区间为 ，一8 8C.函数f(x)的图像关于直线 x 对称8D.将函数y J2sin 2x图像向左平移 一个单位可得函数 y f(x)的图像8【答案】BACD ,计算单调性知B正【解析】化简到f(x) J2sin 2x ，根据定义域排除4确，得到答案【详解】2tanxf(x) noT；cos2x sin 2xcos2x V2sin 2x 一 , 4故函数的定义域为xx

11、k ,k Z ，故A错误；23 一当x ，一时，2x ,，函数单调递增，故 B正确；8 842 2一冗一当x ,关于x 的对称的直线为 x 不在定义域内，故 C错误.4 82平移得到的函数定义域为R,故不可能为y f(x), D错误.故选：B.本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查 学生的综合应用能力12.已知函数f(x)b的一条切线为y a(x 1),则ab的最小值为(A.工2e【答案】AB.14eC.2D. 【解析】求导得到f'(x)ex,根据切线方程得到aln a ,故 aba2 In a ，设求导得到函数在0,e上单调递减,上单调递增，故g

12、 x min1g e 2 ,计算得到答案f (x) exb ,则 f '(x)ex,取ex0故 xo In a ,f x0a b.故 a b a(ln a D，故 b a In a , ab a2 In a.21设 gx xlnx, g'x 2xln x x x2lnx 1,取 g'x 0,解得 7 2 2.x e故函数在10,e 2上单调递减，在上单调递增，故12eg x min故选：A.本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力二、填空题一 rr13 .若向量a (x 1,2)与向量b (2,1)垂直，则x . 【答案】0【解析】直

13、接根据向量垂直计算得到答案.【详解】rr r向量 2 i与向量b (2,1)垂直，则a b x 1,22,1 2x 2 2 0,故x 0.故答案为：0 .【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力14 . (1 x)(1 x)4展开式中，含x2项的系数为.【答案】2【解析】变换得到(1 x)(1 x)4 (1 x)4 x(1 x)4,展开式的通项为Tr 1 C；x4, 计算得到答案.【详解】(1 x)(1x)4(1x)4x(1x)4, (1x)4 的展开式的通项为：Tr1C；x4r.含x2项的系数为：C42 C432.故答案为：2 .【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考

14、查学生的计算能力和应用能力15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明，该药物3释放量y mg/m 与时间t(h)的函数关系为y1kt, 0 t 2, 、.（如图所不），实验L t 1kt 23表明，当药物释放重 y 0.75 mg/m 对人体无害.(1) k; (2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间t火速扃I 2【答案】2 40【解析】(1)由t12时,y 1,即可得出k的值;(2)解不等式组12t0.75,即可得出答案.(1)由图可知，当t12时,1y 1,即 I, 1 k2(2)由题意可得t12t12

15、,解得t0.75则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经、2过一60 40分钟人方可进入房间.3故答案为：(1) 2; (2) 40本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题16.在 ABC 中，角 A, B , C 的对边分别是 a , b , c,若 J3sin A cosA 1 , a 2,则 ABC的面积的最大值为【答案】、,3【解析】化简得到 sin A1 .，人、，一r ，A根据余弦定理和均值不等式得到2 3根据面积公式计算得到答案3sin A cos A 2sin A 61._ 一一,A 0,，故 A .23根据余弦定理:a2 b2 c2 2bc

16、cos A,即 4b2 c2 bc 2bc bc bc .当b c 2时等号成立，故S -bcsin A 33.2故答案为：.3.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式， 意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题17.等差数列 an的前n项和为Sn,已知a3 a7 18 , 036(i)求数列 an的通项公式及前n项和为Sn ；(n)设为数列的前n项的和，求证：Tn 1.Sn n【答案】(I) an 2n 1 , Sn n2 ( n)见解析【解析】(I)根据等差数列公式直接计算得到答案.(n)1Snn111-一，根据裂项求和法计算得到n n n n 11 口 ,

17、Tn 1得到证明n 1(I)等差数列an的公差为d ,由a3a718, S 36 得 a591 a6 12,即 a1 4d9, 2a1 5d 12 ,解得 a11, d 2.an2n 1, Sn 1 3 5 L(2n 1) n2._2(n) Sn n ,111112Sn n n n n(n 1) n n 1【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算,裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18.为了响应国家号召，促进垃圾分类,某校组织了高三年级学生参与了 “垃圾分类,从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于 70分的为“合格”68

18、0 15 67 3 4 5 7 7 7 86 0 79 5 109 9 4 4 28 fi 5 1 1 04 3 3 2（I）由以上数据绘制成2X2联表，是否有95猊上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关?男女总计合格不合格总计（II）从上述样本中，成绩在 60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为 X ,求X的分布列及数学期望附：P k2k00.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2n(an a b c d(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】（I）填表见解析，有95减上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关

19、；（n），一 4 分布列见斛析，一360【解析】(I)根据茎叶图填写列联表，计算K2 360 3.956 3.841得到答案.91182(n) X 0,1,2,计算 P(X 0) ，P(X 1) ，P(X 2),得到分布15155列，再计算数学期望得到答案.【详解】(I)根据茎叶图可得:男女总计合格101626不合格10414总计202040240(10 4 10 16)2 360K2 (3.956 3.841 ,26 14 20 2091故有95猊上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关.4人和2(n)从茎叶图可知，成绩在 60分以下(不含60分)的男女学生人数分别是人，从中任意选 2人，基本

20、事件总数为 C：15, X 0,1,2c21c4c2P(X 0) G G' P(X 1) C1T8C42一,P(X 2)1515615X012P18215155E(X)15本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力19.如图，在直角梯形 ABCD中，AB/DC , ABC 90 , AB2DC2BC, EM为PB为AB的中点，沿DE将 ADE折起，使得点A到点P位置，且PE的中点，N是BC上的动点(与点 B, C不重合).(I)证明：平面 EMN 平面PBC垂直;(n)是否存在点 N ,使得二面角 B EN M的余弦值 得？若存在，确定 N点位 置；若不存在，说

21、明理由.【答案】(I)见解析 (n )存在，此时 N为BC的中点.【解析】(I)证明PE 平面EBCD ,得到平面PEB 平面EBCD ,故平面PBC 平面PEB , EM 平面PBC ,得到答案.(n )假设存在点 N满足题意，过 M作MO EB于O , MQ 平面EBCD ,过Q 作QR EN于R ,连接MR ,则EN MR ,过Q作QR EN于R ,连接MR ,MRQ是二面角B EN M的平面角，设 PE EB BC 2, BN x,计算得 到答案.【详解】(I) PE EB , PE ED, EBI ED E, . PE 平面 EBCD.又PE 平面PEB，平面PEB 平面EBCD ,

22、而BC 平面EBCD , BC EB ,，平面PBC 平面PEB , 由 PE EB , PM AB知 EM PB ,可知 EM 平面 PBC ,又EM 平面EMN，平面EMN 平面PBC.(n)假设存在点 N满足题意，过M作MO EB于。，由PE EB知PE/MQ ,易证PE 平面EBCD ,所以MQ 平面EBCD ,过Q作QR EN于R,连接MR ,则EN MR (三垂线定理)，即 MRQ是二面角BENM的平面角,不妨设PE EB BC 2,则MQ在Rt EBN中，设BN2),由 Rt EBN Rt ERQ 得,BNRQENEQMQ . x2 4RQ xx .22 x2x 即,得 RQ 2

23、 22，-tan MRQRQ 12 x依题意知cos MRQ*即tan MRQ餐后解得x 1 (0Z,此时N为BC的中点.综上知，存在点 N ,使得二面角 B EN M的余弦值叵,此时N为BC的中点.60【点睛】本题考查了面面垂直， 根据二面角确定点的位置,意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案2220 .椭圆 C : y- a2b21 (a b 0)的离心率为,2它的四个顶点构成的四边形面积为2、. 2.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是直线x a2上任意一点，过点 P作圆a2的两条切线，切点分别求证：直线 MN恒过一个定点.(1)2 x 21y 1 ； (2

24、)证明见解析.(1)根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程;(2)设点PN x2,y2，由PM OM , PN ON ,结合斜率公式化简得出2 2x1yyo 0,2 2x2y2y00 ,即 M Xi,ViN X2,y2 满足 2 2x yy00,由y0的任意性，得出直线MN恒过一个定点(1,0).b2(1)依题意得1 2a22bb22a2c2即椭圆C :-2(2)设点 P 2, y0 , M Xi,yi , N x.2,y2其中 xyi22, X2y22由 PMOM,PNON得y1y0*1 ,y2y0y11Xi2XiX22X22222即 Xi yi 2Xi yiyo 0, X2 y 2

25、X2 yy 0注意至U X2 y2 2 , X2 y2 2于是 22Xiyyo0 , 22X2N2、q0因此 MXi,yi , NX2,y2满足2 2xyy00由y0的任意性知，x i, y 0,即直线mn恒过一个定点(i,0).【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题 2i .已知函数 f(x) axex (a R, a 0), g(x) x In x i.(I)讨论f (x)的单调性；(n)若对任意的 x 0, f (x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围【答案】(I)见解析 (n) a i(x 1)(x In x)2X，x e【解析】(I)求导得到f (x) a(

26、x i)eX,讨论a 0和a 0两种情况，得到答案(n)变换得到 a x lnx1，设 F (x) x lnx1，求 F (x) xexe1 一 一令(x) x Inx,故(x)在(0,)单倜递增，存在X0- ,1使得eF (X)max F X0，计算得到答案.【详解】(I) f (x) a(x 1)eX (a 0),当a 0时，f(x)在(，1)单调递减，在(1,)单调递增;当a 。时，f(x)在(,1)单调递增，在(1,)单调递减.x ln x 1(n) f (x) g(x)( x 0),即 axe x In x 1(x 0) , a x(x 0).xex In x 1令 F(x) x-( x 0),xex - xex (x 1)ex(x In x 1)则x(x 1)(x lnx),F (x)-22-xxexx e令(x) x In x,、.1 x 1(x) 1 ，故(x)在(0,)单调递增, x x11c注意到 11 1 0,(1) 1 0,ee1， 于是存在x0一，1 使信x0x0In x0 0,e可知F(x)在0,小单调递增，在x。,单调递减.F ( x) maxx°In x0_x0x°e综上知，a 1.本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力22.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线