第2章第11节导数的应用

1、20092013年高考真题备选题库第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用1. (2013新课标全国I,5分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线尸f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1) 求a,b的值；(2) 讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值.(1) f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2) 由(1)知，f(x)=4ex(x+1)x2-4x,1f'(x)=4ex(x+2)2x-4

2、=4(x+2)ex-q.令f'(x)=0得，x=-In2或x=-2.从而当x(a,2)U(-In2,+s)时，f'(x)>0;当x(-2,-In2)时，f'(x)<0.故f(x)在(-a,-2),(-In2,+a)上单调递增，在(2,-In2)上单调递减.当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(-2)=4(1-e-2).2. (2013山东，12分)已知函数f(x)=ax2+bx-Inx(a,bR).(1) 设a>0，求f(x)的单调区间；(2) 设a>0，且对任意x>0,f(x)>f(1).试比较Ina与2b的大小.解：本

3、题主要考查利用导数研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.(1)由f(x)=ax2+bx-Inx,x(0,+a),得f'(x)=2ax2+bx1xbx一1 当a=0时，f'(x)=.x(i)若b<0,当x>0时，f'(x)<0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0,+a).(ii)若b>0，当0<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减;1当x>b时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.1 1所以函数f(x)的单调递减区间是0,，单调递增区间

4、是亍+. 当a>0时，令f'(x)=0,得2ax2+bx1=0.4ab+：'b2+8ax2=4a由A=b2+8a>0，得xb."+8a,当0<X<X2时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减;当X>X2时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是0,b+沖2+,单调递增区间是4ab+:b2+8a+s.4a综上所述，a=0,bw0时，函数f(x)的单调递减区间是(0,+);11a=0,b>0时，函数f(x)的单调递减区间是0,b,单调递增区间是1，;a>0时，函数f(x)

5、的单调递减区间是0,b+圧+囱,单调递增区间是4a4a由题意知，函数f(x)在x=1处取得最小值.由(1)知b+：'b+岚是f(x)的唯一极小值点，4a故-b+：b+8a=1,整理得2a+b=1即b=12a.4a令g(x)=24x+Inx,14x则g'(x)=x1令g'(x)=0，得x=1,1当0<x<4时，g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>4时，g'(x)<0,g(x)单调递减.11因此g(x)wg；=1+ln卩1-ln4<°.故g(a)<0,即24a+Ina=2b+Ina<0,即Ina&

6、lt;2b.3. (2012福建，5分)已知f(x)=x36x2+9xabc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论：f(0)f(1)>0:f(0)f(1)<0:f(0)f(3)>0:f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.解析：Tf(x)=x36x2+9xabc,.f'(x)=3x212x+9=3(x1)(x3)，令f'(x)=0,得x=1或x=3.依题意有，函数f(x)=x36x2+9xabc的图像与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)<0，即(16+9abc)(336X32+9x3

7、abc)<0,.0<abc<4,af(0)=abc<0,f(1)=4abc>0,f(3)=abc<0,故是对的.答案：C14. (2012辽宁，5分)函数y=2x2lnx的单调递减区间为()A.(1,1B.(0,1C.1,+)D.(0,+)1 1X1x|1解析：函数y=Tx2lnx的定义域为(0,+g),y'=x-=，令y'w0,2 xx则可得0<Xw1.答案：B5. (2009苏，5分)函数f(x)=x315x233x+6的单调减区间为.解析：f'(x)=3x230x33=3(x210x11)=3(x+1)(x11)<0

8、,解得：1<x<11，故减区间为(1,11).答案：(1,11)6. (2012新课标全国，12分)设函数f(x)=exax2.(1) 求f(x)的单调区间；若a=1,k为整数，且当x>0时，(xk)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.解：(1)f(x)的定义域为(m,+m),f'(x)=exa.若aw0,则f'(x)>0，所以f(x)在()上单调递增.若a>0,则当x(m,Ina)时，f'(x)<0;当x(Ina,+m)时，f'(x)>0,所以，f(x)在(m,ina)上单调递减，在(Ina,+m)上单

9、调递增.(2) 由于a=1,所以(xk)f'(x)+x+1=(xk)(ex1)+x+1.故当x>0时，(xk)f'(x)+x+1>0等价于k<41+x(x>0)eIx+1令g(x)=寺+X,则e1xeX1(x)=_exi2exex-x-2ex12>0.由知，函数h(x)=exx2在(0,+s)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+s)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+)上存在唯一的零点.设此零点为a,贝Ua(1,2)当x(0,a时，g'(x)<0;当x(a,+)时，g'(x)

10、>0.所以g(x)在(0,+)上的最小值为g(a.又由g'(a)=0，可得ea=a+2,所以g(a)=a+1(2,3).由于式等价于k<g(a,故整数k的最大值为2.7. (2012浙江，15分)已知aR，函数f(x)=4x32ax+a.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 证明：当0Wxw1时，f(x)+|2a|>0.解：由题意得f'(x)=12x22a.当aw0时，f'(x)>0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(8,+).当a>0时,f'(x)=12(x;|),此时函数f(x)的单调递增区间为(OO+O),单调递减区间为证明

11、：由于0wxw1,故当aw2时，f(x)+|2a|=4x32ax+2>4x34x+2.当a>2时，f(x)+|2a|=4x3+2a(1x)2>4x3+4(1x)2=4x34x+2.设g(x)=2x32x+1,0wxw1,则g'(x)=6/2=6(x33)(x+于)，于是所以,g(x)min=g(弄1-x0(0,習)3挣，“1g'(x)一0+g(x)1减极小值增1所以当0wxw1时，2x32x+1>0.故f(x)+|2a|>4x34x+2>0.考点二应用导数研究函数的极值和最值1. (2013新课标全国n,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+

12、bx+c,下列结论中错误的是()A. ?XoR,f(xo)=0B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形C. 若xo是f(x)的极小值点，贝Uf(x)在区间(汽xo)单调递减D. 若xo是f(x)的极值点，则f(xo)=0解析：本题考查三次函数的性质，考查数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.由于三次函数的三次项系数为正值，当XT8时，函数值8，当XT+8时，函数值也T+8,又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定？xoR,f(xo)=o,选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x+m)3+n(x+m)+h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式

13、可以化为y=x3+nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点xi,X2，则极小值点X2>xi,即函数在一8到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确答案：C2. (2oi3福建，5分)设函数f(x)的定义域为R,xo(xoo)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A.?xR,f(x)<f(xo)B. xo是f(x)的极小值点C. xo是一f(x)的极小值点D.xo是一f(x)的极小值点解析：本题主

14、要考查函数的极值点、导数等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.取函数f(x)=x3x,贝yx=¥为f(x)的极大值点，但f(3)>f-弓,排除A;取函数f(x)=(x1)2,则x=1是f(x)的极大值点，但一1不是f(3x)的极小值点，排除B;f(x)=(x1)2,1不是f(x)的极小值点，排除C,故选D.答案：D3. 已知函数f(x)=x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()1A.(8,0)B.0,2C.(0,1)D.(0,+8)解析：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题的能力和化归与

15、转化能力.由题知，x>0,f'(x)=Inx+12ax，由于函数f(x)有两个极值点，贝yf(x)=0有两个不等的正根，显然aw0时不合题意，必有a<0.令g(x)=Inx+12ax,g'(x)=-2a，令g'(x)=0，得x=，故g(x)在o,£上单调递增，在x2a2a1iiii2a，+m上单调递减，所以g(x)在x=亦处取得最大值，即f'=|n2a>o，所以o<a<2.答案：B4. (2013广东，14分)设函数f(x)=x3kx2+x(kR).(1) 当k=1时，求函数f(x)的单调区间；(2) 当kv0时，求函数f

16、(x)在k,k上的最小值m和最大值M.解：本题以三次函数为背景，主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用，意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力.(1)当k=1时，f(x)=x3x2+x,f'(x)=3x22x+1.方程3x22x+1=0的判别式=44X3=8v0,f'(x)>0恒成立，f(x)的单调递增区间为(8,+).当kv0时，f'(x)=3x22kx+1,方程3x22kx+1=0的判别式=4k24X3=4(k23),当A<0时，有k23<0，即一,3wkv0时，f'(x)>0恒成立，这时f(x)在k,k

17、上单调递增，有m=f(k)=k3kk2+k=k,M=f(k)=k3kk2k=2k3k.当A>0时，有k23>0,即卩kv,3,令f'(x)=3x22kx+1=0，解得X1=X2=且X1vX2V0,x1-k=十>0,k=2k=V4?-(k2-3=3=3于是kv*vx2<0,当kvxvX1或x2vxvk时，f'(x)>0,f(x)为增函数;当X1vXvX2时，f'(x)v0,f(x)为减函数，故M=maxf(k),f(x1),m=minf(k),f(x2).先证f(k)>f(x1)._223x3+X1T3x22kx1+1=0,kx2=f(

18、x1)=x1kx2+X1=x13x3+X12+X1=X3+X12二f(k)f(x"=(2k3k)号+X1=2k3k+x3*xi=2k3+gx1+.1k2x1,又一k*xi>0，要证f(k)>f(xi)，只需证-2k3+2x1>0?x1>4k3?xi>畅k,由kvxiv0知xi>34k显然成立，f(k)>f(xi).再证f(k)vf(X2).x3+X2x2+x2ii同理f(x2)=2，有f(k)f(X2)=k2=?(kX2)+2(k+x2)v0,f(k)vf(x2).综上所述，M=f(k)=2k3k,m=f(k)=k.5. (20i3浙江，i5

19、分)已知aR,函数f(x)=2x33(a+i)x2+6ax.(1) 若a=i，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(2) 若|a|>i，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力.(i)当a=i时，f'(x)=6X2i2x+6,所以f(2)=6.又因为f(2)=4，所以切线方程为y=6x8.记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f'(x)=6x26(a+1)x+6a=6(x1)(xa).令f'(x)=0,得到xi=i,x2=a.当a>

20、;1时，X0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af'(X)+0一0+f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值玄2(3a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3a)的大小可得0,1<aw3,g(a)=2门ca3a,a>3.当a<1时，X0(0,1)1(1,2a)2af'(X)一0+单调极小值单调f(x)028a324a2递减3a1递增得g(a)=3a1.综上所述，f(x)的闭区间0,2|a|上的最小值为3a1,a<1,g(a)0,1<a<3,a?3a,a>3.2 6. (2012陕西，5分)设函数f(x)=;+Inx,

21、则()1A.x=j为f(x)的极大值点1B. x=j为f(x)的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点21X2解析:(x)=0；函数f(x)的定义域为(0,),f'(X)x2+-=丁,当x=2时，f'当x>2时，f'(x)>0，函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f'(x)<0，函数f(x)为减函数，所以x=2为函数f(x)的极小值点.答案：D7. (2011福建，5分)若a>0,b>0,且函数？(x)=4x3ax22bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于()C.6D.9解析：函

22、数的导数为？(x)=12x22ax2b，由函数？(x)在x=1处有极值，可知函数?(x)在x=1处的导数值为零，122a2b=0，所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数，所以abw(导尸=(|)2=9,当且仅当a=b=3时取到等号.答案：D8. (2011浙江，5分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR).若x=1为函数f(x)ex解析：若x=1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a=c.因选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2,则f(x)ex'=f'(x)ex+f(x)(ex)'=a(x+1)(x+3)ex，二x=1为函数f(x)ex的一个极值点满足

23、条件;选项C中，对称轴X亦>0，且开口向下,av0,b>O.f(1)=2abv0也满足条件;选项D中,对称轴开口向上，a>0,b>2a.f(1)=2abv0与图矛盾.答案：D9. (2010山东，5分)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=】x3+81x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()3A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析：因为y'=x2+81,所以当x>9时，y'v0;当x(0,9)时，y'>0,所以函数y=冬3+81x234在(9,+)上单调递减，在(0,9)

24、上单调递增，所以x=9是函数的极大值点，又因为函数在(0,+)上只有一个极大值点，所以函数在x=9处取得最大值.答案：C10. (2012广东,14分)设0<a<1，集合A=xR|x>0,B=xR|2x23(1+a)x+6a>0,D=AAB.(1) 求集合D(用区间表示);(2) 求函数f(x)=2x33(1+a)x2+6ax在D内的极值点.1解：(1)方程2x23(1+a)x+6a=0的判别式=9(1+a)248a=9(a3)(a3),而30<a<1,A=xR|x>0,11当A>0时，得a<3或a>3,即0<a<3,31

25、+a31a3a3由2x23(1+a)x+6a=0,解得X1=x2=31+a+3a3a§有0<X1<X2,此时B=(8,X1)U(x2,+8),D=AAB=(0,X1)U(X2,+);1当A=0时，得a=-,由x22x+1=0,得x=1,3此时B=(8,1)U(1,+8),D=AAB=(0,1)U(1,+8);1 当A<0时，得-<a<1,3D=AAB=(0,+a).1综上所述：当0<a<m时,D=(0,31+a3"-a3a空)U31+a+3a3a3(-，+1当a=3时，D=(0,1)U(1,+a)；1当3<a<1时，D=

26、(0,+a).由题知f'(x)=6x2-6(1+a)x+6a=6(x1)(xa),0<a<1,令f'(x)=0得x=a或x=1,当x<a或x>1时，f'(x)>0,f(x)单调递增,当a<x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减.1当0<a<3时，D=31+a3.ja3a(0,'13)U31+a+3".a3a§(,+a),由f(0)=0,f(a)=2a33(1+a)a2+6a2=a2(3a)>0,f(1)=23(1+a)+6a=3a1<0,再由f(x)的单调性可

27、得0<a<X1<1<x2,所以函数f(x)在D内的极值点为x=a.11当a=3时，D=(0,1)U(1,+a)，函数f(x)在D内的极值点为x=a=3.1当3<a<1时，D=(0,+a)，函数f(x)在D内的极值点为x=a和x=1.综上，当3<a<1时，函数f(x)在D内的极值点为x=a和x=1;当a=1时，函数f(x)在11D内的极值点为x=3；当0<a<3时，函数f(x)在D内的极值点为x=a.11.(2012安徽，12分)设定义在(0,+a)上的函数f(x)=ax+丄+b(a>0).ax(1)求f(x)的最小值;3若曲线y

28、=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=2x,求a,b的值.解：法一：由题设和均值不等式可知，f(x)=ax+丄+b>2+b,ax其中等号成立当且仅当ax=1,1即当x=时，f(x)取最小值为2+b.a1a2x2-1法二：f(x)的导数f'(x)=a0X2=ax2，11当x>-时，f，(x)>0,f(x)在(-，+m)上单调递增；aa11当0<x<a时，f'(x)<0,f(x)在(0，o)上单调递减.1所以当x=时，f(x)取最小值为2+b.a1131(2)由题设知，f'(x)=a农，f'(1)=aa=2，解得a=2或a

29、=不合题意，舍去).13将a=2代入f(1)=aHFb=，解得b=1.所以a=2,b=1.a212.(2010浙江，15分)已知函数f(x)=(xa)2(xb)(a,bR,avb).(1) 当a=1,b=2时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；设X1,X2是f(x)的两个极值点，X3是f(x)的一个零点，且X3MX1,X3MX2.证明：存在实数X4，使得X1,X2,X3,X4按某种顺序排列后构成等差数列，并求X4.解：(1)当a=1,b=2时，因为f'(x)=(x1)(3x5)，故f'(2)=1.又f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x2.

30、af2ba2b(2) 证明：因为f'(x)=3(xa)(x3)，由于avb，故av3，所以f(x)的两个极值点为x=a,a+2ba+2b不妨设X1=a,X2=,因为X3MX1,X3X2,且X3是f(X)的零点，故X3=b,又因为吐直a=2(b吐型),3 3八故可令X4=*a+宁)=号，此时a,笃山,节严，b依次成等差数列,所以存在实数X4满足题意，且X4=2a+b3考点三利用导数研究函数的综合问题x3a+5x,x<01. (2013天津，14分)设a2,0，已知函数f(x)=3a+32x3x2+ax,x>0.证明f(x)在区间(一1,1)内单调递减，在区间(1,+m)内单调

31、递增；设曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(Xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行，且X1X2X3工0.证明X1+X2丄1+X3>-3.证明：本题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.a+3o(1) 设函数f1(X)=X3-(a+5)x(xw0),f2(X)=x3厂x2+ax(x0), f'1(x)=3X2(a+5)，由于a2,0，从而当一1<x<0时，f'1(x)=3x2(a+5)<3a5w0,所以函数f1(x)在区间(一1,0内单调递减. f&#

32、39;2(x)=3X2(a+3)x+a=(3xa)(x1),由于a2,0，所以当0<x<1时，f'2(x)<0；当X>1时，f'2(x)>0.即函数f2(X)在区间0,1)内单调递减，在区间(1,+8)内单调递增.综合，及f1(0)=f2(0)，可知函数f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1,+8)内单调递增.a+3(2) 由(1)知f'(x)在区间(一8,0)内单调递减，在区间0,厂内单调递减，在区间a+3,+8内单调递增，因为曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行，从而X1,X2,X3互不相

33、等，且f'(X1)=f'(X2)=f'(X3).不妨设X1<0<X2<X3，由3x2(a+5)=3X2(a+3)x2+a=3x3(a+3)X3+a,可得3x23x2(a+3)(x2x3)=0,解得X2+x3=玄；3,从而0<X2<O3<X3.a+3设g(x)=3X2(a+3)x+a,贝Vg<g(x2)<g(0)=a.由3x1(a+5)=g(x2)<a,解得一.5<X1<0,所以X1+X2+X3>"2a+5+a+33+，故X1+X2+X3>t+叮36ax+b(i)判断f(1),f，fa

34、是否成等比数列，并证明fbf设t=羽：5,则a=3t5,因为a2,0，所以t121、1=尹-即X1+X2+X3>32. (2013湖北，13分)设a>0,b>0,已知函数f(x)=x+1-(1)当a丰b时，讨论函数f(x)的单调性;当x>0时，称f(x)为a,b关于x的加权平均数.)2尹-3,(ii)a,b的几何平均数记为2abG.称为a,b的调和平均数，记为H若Hwf(x)wG,求a+bx的取值范围.解：本题主要考查不等式、导数的应用，利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.f(x)的定义域为(一8,1)U(1,+),ax+1a

35、x+bf'(X)=x+1当a>b时，f'(x)>0，函数f(x)在(8,1),(1,+8)上单调递增;当a<b时，f'(x)<0，函数f(x)在(8,1),(1,+8)上单调递减.(2)(i)计算得a+bf(1)=b2ab>°，fa=不>°，fab>0.故f(1)fb=些型=ab=fa2a+b2所以f(1),f即f(1)fb=f,fa成等比数列.a+b因为,ab,即f(1)>fa.由得f；wf=G.故由Hwf(x)wG,b(ii)由(i)知f；=H,fa当a>b时,o<<1,从而a&l

36、t;得bwxwa,即x的取值范围为b,a即x的取值范围为当a<b时,由f(x)在(0,+8)上单调递减与式，得wxwb，得fiwf(x)w:a.当a=b时，f£=f(x)=f£=a.这时，x的取值范围为(0,+8)；,由f(x)在(0,+8)上单调递增与式,b，a当a<b时，x的取值范围为综上，当a=b时，x的取值范围为(0,+8)；当a>b时，x的取值范围为-,a1ia3. (2012天津，14分)已知函数f(x)=3X3+x2_axa,xR，其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间；若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

37、(3) 当a=1时，设函数f(x)在区间t,t+3上的最大值为M(t)，最小值为m(t),记g(t)=M(t)_m(t)，求函数g(t)在区间3,_1上的最小值.解：(1)f(x)=x2+(1a)x_a=(x+1)(x_a).由f'(x)=0,得X1=1,x2=a>0.当x变化时f'(x),f(x)的变化情况如下表：x(_8,_1)1(3) a=1时,f(x)=§x3_x1由(1)知f(x)在3,1上单调递增，在1,1上单调递减，在1,2上单调递增. 当t3,2时，t+30,1,1t,t+3,f(x)在t,_1上单调递增，在1,1t+3上单调递减.因此，f(x)在t,t+3上的最大值M(t)=f(1)=-，而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)f(t)=3(t+1)(t+2)知，当t3,2时，f(t)<f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(1)f(t).而f(t)在3,2上单调递增，因此f(t)<f(2)=5.所以g(t)在3,2上的最小值为g(2)=3_(；)=； 当t2,1时，t+31,2，且一1,1t,t+3.