函数单调性的判定方法

1、函数单调性的判定方法函数单调性的判定方法第一页，共18页。证证,21baxx ,21xx 且且应用拉格朗日中值定理应用拉格朗日中值定理, 得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则21()().f xf x 于于是是( ) , .yf xa b 在在上上单单调调增增加加, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则21()().f xf x 于于是是.,)(上上单单调调减减少少在在baxfy 第二页，共18页。例例1 1解解.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx. 1 xey且且,)0

2、,(内内在在 , 0 y上上单单调调减减少少；函函数数在在0 ,( ,), 0(内内在在, 0 y.), 0上上单单调调增增加加函函数数在在 注意注意: : 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性符号来判别一个区间上的单调性(,), 定定义义域域第三页，共18页。单调区间求法单调区间求法问题问题: : 如上例，函数在定义区间上不是单调的，但如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调在各个部分区间上单调定义定义: : 若

3、函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点导数等于零的点(称为称为驻点驻点)和和不可导点不可导点，可能是，可能是单调区间的分界点单调区间的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 第四页，共18页。31292)(23 xxxxf的单调区间的单调区间.解解: :12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx令令,0)( xf得得2,1 xxx)(xf )(x

4、f) 1,(2001)2,1 (),2(21单调增单调增区间为区间为, 1,();,2 单调减单调减区间为区间为.2,112xoy12例例2. 确定函数确定函数第五页，共18页。例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf (,). 定定义义域域)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 0)( xf时，时，当当 x0, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在0 ,()( xf，0 ,()., 0 单调增单调增区间为区间为单调减区间为单调减区间为第六页，共18页。 如果函数在某驻点两边导

5、数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变则不改变函数的单调性函数的单调性 .例如例如,),(,3 xxy23xy 0 xyox3xy 注意：注意：驻点驻点时时，当当)0,( x, 0 y时，时，当当), 0( x, 0 yy 在在( (- - , ,0 0 y 在在0,+ )0,+ )3(,)yx 在在又例如又例如,cos(,).yxx 在在内内单单调调增增加加证明证明 (留作习题留作习题 )第七页，共18页。例例4 4证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设,), 0)(上上连连续续在在 xf上单调增加；上单调增加；在在), 0)(xf时，时，

6、当当0 x, 0)0()( fxf).1ln(xx 即即利用单调性证明不等式：利用单调性证明不等式：, 01111)(), 0( xxxxf内内，且且在在则则第八页，共18页。20 x时时, 成立不等式成立不等式2sin1.xx 证证: 令令,sin)(xxxf ( )(0,2f x 则则在在上上连连续续(0,)2 在在上上可可导导，2cossin( )xxxfxx 2cos(tan )xxxx0 ,2,0()(内单调递减内单调递减在在因此因此 xf即即2sin1.xx ()( )(0 ),2ff xf 所以当所以当且且例例5. 证明证明20 x时时, 内内第九页，共18页。例例6证明证明时时

7、0 x221)1ln(1xxxx 证证221)1ln(1)(xxxxxf 令令222212211221)1ln()(xxxxxxxxxxf )1ln(2xx ,0时时当当 x, 01ln)( xf )(xf0)0()( fxf221)1ln(1xxxx 即即则则,0时时当当 x第十页，共18页。例例7xxxx2tansin,20 时时证明证明 证证,2tansin)(xxxxf 记记2seccos)(2 xxxf2seccos22 xx0 )(xf0)0()( fxfxxx2tansin 即即,20时时则当则当 x2)sec(cosxx 第十一页，共18页。小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定

8、理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式的个数和证明不等式.第十二页，共18页。思考与练习思考与练习 1 ,0上上( )0,fx 则则(0),(1),ff(1)(0)ff 或或(0)(1)ff 的大小顺序是的大小顺序是 ( )( )(1)(0)(1)(0)Affff( )(1)(1)(0)(0)Bffff( )(1)(0)(1)(0)Cffff()(1)(0)(1)(0)Dffff提

9、示提示: ( )fx 单调增加单调增加 ,(1)(0)( ) (01)fff 及及B1. 设在设在( )0,fx 第十三页，共18页。2讨论函数讨论函数( )ln(0)f xxaxa的零点个数的零点个数.解解(0,),定定义义域域1( ),fxax 1.xa 驻驻点点1(0,xa 当当) )时时, ,( )0,( )fxf x 1(xa当当,+ ),+ )时时, ,( )0,( )fxf x 111( )( )ln1.f xxfaaa 在在点点处处取取最最大大值值00lim( )lim(ln),xxf xxax 又又第十四页，共18页。11( )ln10,faa10ae时时, ,函数有两个零点

10、，分别位于函数有两个零点，分别位于11(0,), (,).aa 11( )ln10,faa1ae 时时, ,函数仅有一个零点，即函数仅有一个零点，即1.xa 11( )ln10,faa函数没有零点函数没有零点.lnlim( )lim(),xxxf xxax ln(lim0)xxx 1ae 时时, ,第十五页，共18页。一一、 填填空空题题：1 1、 函函数数7186223 xxxy单单调调区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 函函数数212xxy 在在区区间间 - -1 1, ,1 1 上上单单调调_ _ _ _

11、_ _ _ _ _， 在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上单单调调减减. .3 3、函函数数22ln xxy 的的单单调调区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 单单减减区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .练练 习习 题题第十六页，共18页。第十七页，共18页。一、一、1 1、), 3,1,( 单调增加单调增加, ,3 , 1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加, ,), 1,1,( 3 3