自动控制原理_第3章_3

1、1【例【例3-1】 已知二阶系统的闭环传递函数为222( )( )2nnnC sR sss其中 ， 。0.65rad/sn计算系统单位阶跃响应的特征量：rtptstpN 、 、 、 、 。2【解【解】r2n1t22n1arctan10.55单位：s12p2n1t40.785单位：s3321p100%e9.5%4s2114ln1nt1.4单位：s0.02 当 时0.05 当 时s2113ln1nt1.1单位：s45222 11.0210.023 10.76500.052N 5【补充例子【补充例子3-1】考虑卫星天线的仰角跟踪系统。cJBT天线和驱动部分的转动惯量阻尼系数驱动电机的转矩42 10B

2、 N m s56 10J Kg m26问题求转矩 和天线转角 之间的传递函数；cT假设控制律设定为比例控制，即crTK参考仰角r反馈增益K如果想要超调量 ，那么 的最大取值是多少？p10%K7【解【解】cJBT2c( )( )( )JssBssT s2524c( )11( )( )6 102 10sG sT sJsBsss c( )T s( ) s( )G s8c( )( )( )sG sT scrTKc( )( )( )sT sG scr( )( )( )T sKssr( )( )( )( )sKssG sr( )( )( )( )1( )sKG sssKG s 9c( )T s( ) s(

3、 )G sKr( ) s-( )E s2( )( )1( )KG sKsKG sJsBsK2KJBKssJJ2n2n1021p10%e470.4K 0.5911230nBJ0.028n50.0286 10nKKJ11【例【例3-3】已知系统的方块图，-( )R s( )Y s210s该系统能否正常工作？ 如果要求 ，0.707系统应如何改进？ 12【解【解】 根据系统的方块图-( )R s( )Y s210s2( )10( )10Y sR ss显然 ，0系统无阻尼，10n其单位阶跃响应信号是一个等幅振荡，不能反映控制信号的规律， 系统不能正常工作。13如果要求 ，0.707我们可以增加一个传递

4、函数为s的微分负反馈来改进原系统。-( )R s( )Y ss-210s改进后的闭环传递函数：2( )10( )1010Y sR sss14210n求得反馈系数为210n10n0.7070.447现在，阶跃响应已经变成阻尼比为 的减幅振荡。0.70721p100%e超调量为：4.3%15结论结论1微分负反馈提高了系统的阻尼程度。16【另一种解法【另一种解法】根据系统的方块图，引入“比例+微分”（PD）控制策略，如下图所示：-( )R s( )Y s210ss+-( )R s( )Y s210s1s17-( )R s( )Y s210s1s改进后的闭环传递函数：22101( )10( )11sY

5、 ssR sss210 11010sss18210 1( )( )1010sY sR sss2n2n10n0.7070.447现在，阶跃响应已经变成阻尼比为 的减幅振荡。0.70721p100%e超调量为：4.3%19结论结论2PD控制与微分负反馈一样，都具有提高系统阻尼，进而改善系统平稳性的效果；PD控制与微分负反馈的不同之处在于前者引入了一个闭环零点，会对系统的过渡过程产生一定的不良影响。这是PD控制的一个副作用！20PD控制与微分负反馈的比较分析控制与微分负反馈的比较分析微分负反馈-( )R s( )Y s1s210s-( )R s( )Y ss-210s21PD控制-( )R s( )

6、Y s210s1s结论结论3PD控制与微分负反馈具有相同功效的原因在于它们使得闭环系统具有相同的特征多项式。223.4.5 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应一般记为：( )k t单位脉冲函数( ) t的拉氏变换为1，标准二阶系统的单位脉冲响应的拉氏变换为：222( )( )2nnnY sLtss2222nnnss231无阻尼（ ）情形02122( )2nnnk tLssd2sin1ntnet0nnsint0t 有两个共有两个共轭纯虚根轭纯虚根等幅正弦振荡242欠阻尼（ ）情形012122( )2nnnk tLssd2sin1ntnet0t 有两个共有两个共轭的虚根

7、轭的虚根衰减正弦振荡253临界阻尼（ ）情形12122( )2nnnk tLss21222nnnLss212nnLs有两个相有两个相等的实根等的实根26212nnLs2ntnte0t 先单调增、后单调衰减的曲线。非振荡曲线！274过阻尼（ ）情形12122( )2nnnk tLss212211nnnnnLss有两个不有两个不相等实根相等实根2211221nnttnee 0t 28024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Impulse ResponseTime (sec)Amplitude00.10.30.50.71.0临界临界阻尼阻尼2.0过阻尼过阻尼

8、29对于欠阻尼二阶系统，单位脉冲响应达到最大值的时间 可以用求极值的方法来确定。ptd2( )sin1ntnk tet令 ，得：d ( )0dk tt2d1sinarctan0t302d1arctan0t2pd1arctant 22n1arctan1得0131pmaxpd p2( )( )sin1ntnk tk tetp21ntne22n1arctan121nne等于等于1代入代入 的值的值pt221arctan121ne0132单位阶跃函数单位脉冲函数求导积分单位阶跃响应单位脉冲响应求导积分33pt0t( )k t单位脉冲响应p1单位阶跃响应的峰值时刻p2n1t单位阶跃响应的峰值p( )y

9、t欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应34024681012-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4Time (sec)单位阶单位阶跃响应跃响应单位脉单位脉冲响应冲响应pt欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统01阴影阴影面积面积p1p35从上述分析可知：pp0( )( )dty tk ttp( )y p1 结论结论都是系统的一种数学模型。所以系统单位脉冲响应和传递函数一样，系统的单位脉冲响应是其传递函数的拉氏反变换，363.4.6 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应单位斜坡信号 的拉氏变换为( )r tt21( )R ss二阶系统的单位斜坡响应 的拉氏变换为( )y t22221(

10、)2nnnY ssss2222nnABCsDssss1A 2nB 2nC241D可求得37的拉氏反变换为( )Y s1222( )2nnABCsDy tLssss1欠阻尼（ ）情形012d22d2122sinarctan141sin1nntnntntetet 38上式右边的后两项是衰减项，其稳态响应为 。2nt结论结论二阶系统在跟踪斜坡信号时存在稳态误差。稳态误差为常值 。2n392临界阻尼（ ）情形122( )12ntnnny ttet 0t 3过阻尼（ ）情形122212221 12( )21ntnny tte 0t 403.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 求解高阶控制系统对各种

11、典型输入信号的响应是十分困难的，一般来说需借助计算机求取数值解。 本节根据高阶系统的单位阶跃响应，找出高阶系统动态响应的特点，进而寻找简化计算的近似方法。413.5.1 高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应高阶系统的闭环传递函数为11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbY ssR sa sasa sa也可以写成零极点的形式1212()()()( )( )( )()()()mnk szszszY ssR sssssss4212,mz zz闭环系统的零点12,ns ss闭环系统的极点它们可以是实它们可以是实数或共轭虚数数或共轭虚数假设闭环系统有 对共轭虚数极点，r21kk

12、nknkksj 1,2,kr43则高阶系统的闭环传递函数还可写为：12211()( )()(2)mjjqriknknkikkszsssss 2qrn44则高阶系统单位阶跃响应的拉氏变换为12211()1( )()(2)mjjqriknknkikkszY ssssss 22211112qrkknkknkkiikiknknkBssCAsssss 45求上式的拉氏反变换可得单位阶跃响应：111( )1cossiniknkknkqs tiirrttkdkkdkkky tAeB etC et 111siniknkqrs ttikdkkikAeD et iAkBkCkD适当的常系数4621dknkk21a

13、rctankkk11sin( )1iknkrtkdkkkqs tiiD eAeytt 稳态稳态分量分量指数衰减指数衰减暂态分量暂态分量振荡衰减振荡衰减暂态分量暂态分量高阶系统的单位阶跃响应由三部分构成：47高阶系统单位阶跃响应的特点高阶系统单位阶跃响应的特点1若高阶系统的闭环极点全部具有负实部，即所有闭环极点全部位于复平面的左半平面，则单位阶跃响应的暂态分量最终一定衰减为零。2在暂态分量中， 每一项的衰减快慢取决于相应极点的实部绝对值的大小， 或者说极点离虚轴的远近，负实部的绝对值越大，或者说极点离虚轴越远，则这一项暂态分量衰减越快。483高阶系统的单位阶跃响应中， 暂态分量的各项系数不仅和闭

14、环极点有关，而且也和闭环零点有关。在复平面上，如果某一闭环极点靠近某一零点，而且又与其他极点相距较远， 则相应衰减项系数较小，对暂态分量的影响也较小。如果某一对闭环极点、零点非常靠近，则称为一对闭环闭环偶极子偶极子。该闭环极点对暂态过程几乎没有影响。49如果某一闭环零点附近没有极点， 并且离虚轴较近，则相应项的系数较大，对暂态过程的影响也较大。503.5.2 高阶系统的闭环主导极点高阶系统的闭环主导极点离虚轴较近的闭环极点离虚轴较远的闭环极点对应项的系数较大；衰减较慢；对动态过程影响较大。对应项的系数较小；衰减较快；对动态过程影响较小。极点附近有零点时， 相应项的系数较小，对动态过程的影响也较

15、小。51闭环主导极点在闭环极点中，如果有一对共轭虚数极点，或一个实数极点，离虚轴最近，其他极点离虚轴的距离都是它（们）到虚轴距离的5倍以上， 并且距离虚轴较近处又没有单独的闭环零点，离虚轴最近的极点称为高阶系统的闭环主导极点闭环主导极点。则这对（个）52高阶系统的动态过程主要取决于闭环主导极点，所以对于存在闭环主导极点的高阶系统， 在分析它的动态过程时，可以近似为以这对闭环主导极点为极点的二阶系统，或者近似为以这一个闭环主导极点为极点的一阶系统。533.6 用用MATLAB做线性系统的时域分析做线性系统的时域分析3.6.1 用用MATLAB求解系统的单位阶跃响应求解系统的单位阶跃响应MATLA

16、B给出了下列几种求取单位阶跃响应的方式：y=step(G, t)要计算的时间点所构成的向量与时间点相对应的响应值构成的向量54y, t=step(G)由系统自动产生y, t, X=step(G)系统的状态向量step(G)直接画响应图55举例分析下列系统的单位阶跃响应3243272424( )10355024sssG sssss编写下列MATLAB文件：a=1,7,24,24;b=1,10,35,50,24;G=tf(a,b);t=0:0.1:10;y=step(G,t);plot(t,y,r-);grid;Y_sd=dcgain(G)56运行结果如下：单位阶跃响应曲线57 step_01Y_

17、sd = 1 MATLAB的工作空间583.6.2 用用MATLAB求解系统的单位脉冲响应求解系统的单位脉冲响应MATLAB给出了下列函数impulse(num,den);impulse(G);impulse(G,t);在0, t时间内作出单位脉冲响应曲线59举例给定系统的闭环传递函数3258( )6108sssss求系统的单位脉冲响应。编写下列MATLAB文件：sys=tf(5,8,1,6,10,8);impulse(sys,r-);grid;axis(0,6,-0.1,0.9);60运行结果如下：0123456-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9 System:

18、 sys Time (sec): 0.505 Amplitude: 0.883 System: sys Time (sec): 2.42 Amplitude: 0.00239 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude613.6.3 用用MATLAB求解系统对任意输入的响应求解系统对任意输入的响应MATLAB给出了下列函数Lsim(sys,u,t);举例绘制典型二阶系统121( )1sss 221( )0.61sss和的单位斜坡响应。62编写下列MATLAB文件：t=0:0.01:5;u=t;sys1=tf(1,1,1,1);sys2=tf(1,1,0.6,1);lsim(sys1,u,t);hold on;lsim(sys2,u,t);grid;legend(sys1,sys2);63运行结果如下：00.511.522.533.54