天津高三数学总复习综合专题数列求和学生版

1、Sn数列求和概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前1、直接(或转化)由等差数列、等比数列的求和公式求和思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。n(aian)n(n-1).等差数列求和公式：Sn=-=nai+-d；22等比数列求和公式:naiSn=司(1-qn)=aa“q1-q1-q(q=1)(q=1)'n项和，即求和抓通项。1，=n(n1)；2nSnk2k11=-n(n1)(2n1).6，Sn312Zk3=-n(n+1)2ok122、逆序相加法思路：把数列正着写和倒着写再相加。(即等差数列求和公式的推导过程的推广)2x1-例1：设函数

2、f(x)=尸的图象上有两点P1(x1,y1),P2(xy2),若OP=(OP1+OP2),且点2x22一，1横坐标为-O2(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；4123n.*,、右Sn=f()+f()+f(-)+f(-),nwN,求Sn；nnnn3、错位相减法思路：设数列以是等差数列，是等比数列，则求以如的前n项和Sn可用错位相减法。例2：在数列an中，a1=2,anf=Aan+Kn+(2九)2n(nWN"),其中九:>0。(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn。4、裂项相消法思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的

3、每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列Qn为等差数列，且公差不为0,J1J1/11、1J/11、首项也不为0,乙=2-)=二'乙(一一)°-aa1-daa1d_aa1常见的通项分解(裂项)如下：1111an=),(当k#1时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项)n(nk)knnkan1n(n1)(通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项)an2n12(2n)2(2n-1)(2n1)11-1(22n-11(n1)(n2)等。11r1二n(n1)(n2)2n(n1)例3:，一.1求数列12，23，'JnJn

4、1,的前n项和。补充练习：已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f'(x)=6x-2,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nwN*)均在函数y=f(x)的图象上。(1)求数列an的通项公式;Tn<对所有neN*都成立的最小正整20、一3一一(2)设bn=,是数列bn的前n项和，求使得anan15、并项求和法思路：将摆动数列相邻两项(或若干项)合并成一项(或一组)，得到一个新数列，再利用直接法求这个n新数列的和。一般来说，摆动数列求和的基本模型是£(-1)iai。当这个摆动数列是正负或负正相间1 =1时，要对n为奇数或偶数进行分类讨论；当这个摆动数列

5、是正正负负或负负正正或正负正负或负正负正相同时，要对n=4k,n=4k1,n=4k2,n=4k3,kwN顺次进行分类讨论。注：一个数列，若从第2项起，有些项大于其前一项，有些项小于其前一项，这样的数列叫摆动数列。例4：求Sn=12-22+32-42+(1)nJLn2。例5：在数列%与必中，a1=1,b1=4,数列Qn的前n项和Sn满足nSn书(n+3)Sn=0,且2a-为bn与bn书的等比中项，n=N。(1)求a2,b2的值;(2)求数列匕/与6的通项公式；(3)设Tn=(1)a1bi+("厩+(1)"bn,ZN*,证明Tn|c2n；m会3。6、分组求和法思路：将既非等差，也非等比的数列适当拆分为几个等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并。例6：数列an的前n项和Sn=2%1,数列bn满bl=3,bn4!=an+bn(nwN")。(1)证明数列an为等比数列；(2)求数列bn的前n项和Tn。综合习题:1、计算(1)nn工(1+2+3+.+i)；=£i=1i1i(i1)(2)1n2nci2"i)=21i=11，cn(n1)(n26n1n2n111工1工2=2£(1-)=2(1-)=i=1123.iidi(i1)-ii1n12nn12、求S=1+(3+5)+(5+6+7)