高一数学(必修2)212空间中直线与直线之间的位置关系 课件

1、 立交桥是伴随高速公路应运而生的立交桥是伴随高速公路应运而生的城市的立交桥不仅大大方便了交通，而城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景为了车流且成为城市建设的美丽风景为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，畅通，并安全地通过交叉路口，19281928年，年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥形公路交叉桥.1930.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931.1931年至年至19351935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥从此，年，瑞典陆续在一些城市修建起立

2、体交叉桥从此，城市交通开始从平地走向立体城市交通开始从平地走向立体问题问题1 1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交提示：平行或相交问题问题2 2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？内？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行提示：不共面，即不相交也不平行问题问题3 3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是提示：是1 1异面直线异面直线(

3、1)(1)定义：不同在定义：不同在 的两条直线的两条直线(2)(2)异面直线的画法异面直线的画法任何一个平面内任何一个平面内（3）异面直线的判定定理：平面的斜线与平面内不过斜足的直线是异面直线。ba 例例1 1 如图是一个正方体的表面展开图如图是一个正方体的表面展开图, ,如果将它还原如果将它还原为正方体，那么为正方体，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH这四条线段所在直线是异这四条线段所在直线是异面直线的有多少对面直线的有多少对? ? FAHGEDCBCDBAEFGH2.2.空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？们各有什么特点？

4、 相交直线相交直线:平行直线平行直线:共面直线共面直线异面直线异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点 同一平面内，有且同一平面内，有且只有一个公共点；只有一个公共点； 同一平面内，没有同一平面内，没有公共点；公共点； 1 1在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行三条直线平行，那么这两条直线互相平行 问题问题1 1：在空间中，是否也有类似规律？：在空间中，是否也有类似规律？ 提示：是提示：是 问题问题2 2：能否利用某一空间几何体举出符合这一规律：能否利用某一空间几何体举出符合这

5、一规律的例子？的例子？ 提示：可以，例如教室墙面与墙面的交线之间提示：可以，例如教室墙面与墙面的交线之间2观察下图中的观察下图中的AOB与与AOB. 问题问题1 1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？置关系？ 提示：分别对应平行提示：分别对应平行 问题问题2 2：测量一下，这两个角的大小关系如何？：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等提示：相等平行平行平行线的传递性平行线的传递性ac思考思考: :在平面上，如果一个角的两边与另在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关

6、系？的大小有什么关系？ 2等角定理等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两，那么这两个角个角 或或 平行平行相等相等互补互补思考思考: : 如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-ABCD ABCD-ABCD 的底面是平行四的底面是平行四边形，边形，ADCADC与与ADC, ADCADC, ADC与与BADBAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?BADCABDCBADCABDC思考思考: :如图，在空间中如图，在空间中AB/ ABAB/ AB，AC/ ACAC/ AC，你能证明你能证明BACBAC与与B

7、AC BAC 相等吗？相等吗？ BCAB C A EE DD 3：异面直线所成的角：异面直线所成的角思考思考1:1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？通过什么几何量来反映的？ 思考思考2:2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？ 思考思考3:3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？直接

8、度量，你有什么办法解决这个矛盾？ 思考思考4 4：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角锐角(或直或直角角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成的角所成的角.你能给你能给“异面直线所成的角异面直线所成的角”下个定义吗？下个定义吗？ abobbab bao 对于两条异面直线对于两条异面直线a a，b b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作直线作直线aaaa， bbbb，则，则 aa与与bb所成的锐角所成的

9、锐角( (或直角或直角) )叫叫做异面直线做异面直线a a与与b b所成的角所成的角( (或夹角或夹角) ) 思考思考5:5:若点若点O O的位置不同，则直线的位置不同，则直线aa与与bb的夹角大小发的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点生变化吗？为什么？为了作图方便，点O O宜选在何处？宜选在何处？ aba boa b o O O思考思考1:1:我们规定两条平行直线的夹角为我们规定两条平行直线的夹角为0 0，那么两条异，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？面直线所成的角的取值范围是什么？ 2,0(思考思考2:2:如果两条异面直线所成的角是如果两条异面直线所成的角是9090，则称

10、这两条直，则称这两条直线互相垂直线互相垂直. .两条互相垂直的异面直线两条互相垂直的异面直线a a，b b，记作，记作abab. . 在长方体在长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中, ,有没有两条棱所在的直线有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线是互相垂直的异面直线?BADCABDC思考思考3 3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗平行，在空间中这个结论还成立吗 ?思考思考4 4：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么

11、？么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？ AFEDCB 如图，在四面体如图，在四面体ABCDABCD中，中，E E，F F分分别是棱别是棱ADAD，BCBC上的点上的点, ,且且已知已知AB=CD=3AB=CD=3， , ,求异面直线求异面直线ABAB和和CDCD所成的角所成的角.12A EB FE DF C3EF M异面直线所成的角异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O作直线作直线aa，bb，我们把，我们把a与与b所成的所成的 (或或 )叫做异面直线叫做异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角)锐角锐角直角直角(2)

12、异面直线所成的角异面直线所成的角的取值范围：的取值范围： .(3)当当时，时，a与与b互相垂直，记作互相垂直，记作 .090ab 例例11如图，正方体如图，正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，判断下列直线的位置关系：中，判断下列直线的位置关系： 直线直线A A1 1B B与直线与直线D D1 1C C的位置关系的位置关系是是_； 直线直线A A1 1B B与直线与直线B B1 1C C的位置关系是的位置关系是_； 直线直线D D1 1D D与直线与直线D D1 1C C的位置关系是的位置关系是_； 直线直线ABAB与直线与直线B B1 1C C的位置关系是

13、的位置关系是_. _. 思路点拨思路点拨 利用直线异面、平行、相交这三种不利用直线异面、平行、相交这三种不同关系的判断方法，结合正方体图形特点直观判断同关系的判断方法，结合正方体图形特点直观判断 精解详析精解详析直线直线D1D与直线与直线D1C相交于相交于D1点，所以点，所以应该填应该填“相交相交”；直线；直线A1B与直线与直线D1C在平面在平面A1BCD1中，且中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行平行”；点；点A1、B、B1在一个平面在一个平面A1BB1内，而内，而C不在平面不在平面A1BB1内，则直内，则直线线A1B与直线与直线B1C异面同理，直

14、线异面同理，直线AB与直线与直线B1C异面所异面所以应该填以应该填“异面异面” 答案答案平行异面相交异面平行异面相交异面1 1不平行的两条直线的位置关系是不平行的两条直线的位置关系是 ( () )A A相交相交B B异面异面C C平行平行 D D相交或异面相交或异面解析：解析：若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面答案：答案：D D2 2如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，与中，与AAAA1 1异异面的是面的是 ( () )AAB BBB1CDD1 DB1C1解析：解析：由异面直线

15、的定义知，与由异面直线的定义知，与AA1异面的异面的直线应为直线应为B1C1.答案：答案：D3已知直线已知直线AB、CD是异面直线，求证：直线是异面直线，求证：直线AC、BD是异面直线是异面直线证明：证明：假设假设AC和和BD不是异面直线，不是异面直线，则则AC和和BD在同一平面内，设这个平在同一平面内，设这个平面为面为(如图如图)AC，BD，A、B、C、D四点都在四点都在内，内，AB，CD，这与已知中这与已知中AB和和CD是异面直线矛盾，是异面直线矛盾，故假设不成立故假设不成立直线直线AC和和BD是异面直线是异面直线 例例2已知已知E，E1分别是正方体分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱

16、的棱AD，A1D1的中的中点求证：点求证：BECB1E1C1. 思路点拨思路点拨欲证两个角相等，欲证两个角相等，可先证角的两边分别平行，然后再通可先证角的两边分别平行，然后再通过等角定理来说明这两个角相等过等角定理来说明这两个角相等 一点通一点通 空间中，如果两个角的两边分别对应空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平

17、行是不够的边分别对应平行是不够的4. 如图所示，在三棱锥如图所示，在三棱锥SMNP中，中，E、F、G、H分别是棱分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则的中点，则EF与与HG的位置关系的位置关系是是 ()A平行平行 B相交相交C异面异面 D平行或异面平行或异面解析：解析：E、F分别是分别是SN和和SP的中点，的中点，EFPN.同理可证同理可证HGPN，EFHG.答案：答案：A 例例3(12分分)在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：中，求：(1)A1B与与B1D1所成的角；所成的角；(2)AC与与BD1所成的角所成的角 思路点拨思路点拨利用正方体的图形特点，把异面直线利用正方体的图形

18、特点，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后进行求解所成的角转化为相交直线所成的角后进行求解 (2)连接连接BD交交AC于点于点O，取，取DD1中点中点E，连接，连接EO、EA、EC. O为为BD的中点，的中点， OEBD1. (8分分) EDA90EDC， EDED，ADDC， EDA EDC. (9分分) EAEC.在等腰在等腰EAC中，中，O是是AC的中点的中点EOAC.EOA90. (10分分)又又EOA是异面直线是异面直线AC与与BD1所成的角，所成的角，AC与与BD1所成的角为所成的角为90. (12分分) 一点通一点通 异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了空间角转化为平面角求法的基本思想了空间角转化为平面角求法的基本思想6.过正方体过正方体ABCDA1B1C1D1的的 顶点顶点A作直线作直线l，使，使l与棱与棱AB， AD，AA1所成的角都相等，所成的角都相等， 这样的直线这样的直线l可以作可以作 () A1条条B2条条 C3条条 D4条条解析：解析：以以