方程的根与函数的零点

1、3.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 思考：一元二次方程思考：一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根与二次函的根与二次函数数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象有什的图象有什么关系？么关系？数数形 方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x2-2x-3=0 xy01321121234.x

2、y0132112543.yx012112y= x2-2x+3方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数

3、根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点思考：思考：1 1、零点是不是点？、零点是不是点？2 2、零点是不是、零点是不是f(0)f(0)？函数零点的求法：函数零点的求法：)(xfy 求函数求函数 的零点：的零点：)(xfy 2 （几何法几何法）对于不能用求根公式的方程，）对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数可以将它与函数 的图象联系起的图象联系起 来，并利用函数的性质找出零点。来，并利用函数的性质找出零点。0)(xf1 1 （代数法代数法）求方程）求方程 的实数根。的实数根。xxyxxxyxxyxy 4112532323223329212观

4、察对数函数观察对数函数f(x)=lgx的图象的图象:xy0121零点是零点是1，取区间，取区间0.5 , 1.5 ， f(0.5)0 ，f(0.5)f(1.5)”或或“”或或“”) 发现在区间发现在区间(2，4)上零点上零点 （）观察右边函数）观察右边函数)(xfy的图象的图象xy01321121234)(af)(bf在区间（在区间（a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； 0（或）（或）, 2 在区间（在区间（b,c）和（）和（c,d）上呢？）上呢？由以上两步探索，你可以得出什么样的结由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？论？ 1yx5-4-13有有探探究究 活活动动 如果函数如果函数y=

5、f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的一条曲线一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0)0就说明函数就说明函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )内没有有零点？请内没有有零点？请举一反例。举一反例。探究探究3 3：若：若f(a)f(a)f(bf(b)0)0，函数，函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )内只有一内只有一个零点吗？可能有几个？个零点吗？可能有几个？探究探究4 4：若：若f(a)f(a)f(bf(b)0)0，增加什么条件可以确定函数，增加什么条件可以确定函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(

6、a,b) )内只有一个零点？内只有一个零点？ 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函，那么，函数数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。函数零点存在性定理函数零点存在性定理 ababba例题? ?思考：怎样利用函数零点存在性定理，断定函思考：怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？数在某给定区间上是否存在零点？ ab由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13） 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例题例题1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数