第6章无限脉冲响应数字滤波器设计

1、第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 1. 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 （1）经典滤波器 一般滤波器特点：输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占不同的频带举例：Butterworth Filter、Chebyshev Filter、Ellipse Fil

2、ter、Bessel Filter（2）现代滤波器特点：频带重叠举例：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z(6.1.1) (6.1.2) 从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： 经典滤波器分类： 从功能上分：低通、高通、带通、带阻 数字滤波器的传输函数 以2为周期，低通频带位于 2的整数倍附近；高通频带位于的奇数倍附近。如图6.1.1所示。)(jeH图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 )(ejH)(

3、ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示： 图6.1.2 低通滤波器的技术要求)()()(jjjeeHeHp通带截止频率s阻带截止频率阻带：频带 s,， 幅值 0,2通带：频带 0,p， 幅值 1-1, 1过渡带： p ,s,3dB通带截止频率当幅度下降到 时，dBpc3,22 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通通带内允许的最大衰减带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰阻带内允许的最小衰减减用s表示，p和s分别定义为：00

4、()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e(6.1.3) (6.1.4) 如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：20lg()20lg()psjpjsH edBH edB (6.1.5) (6.1.6) 3. 数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述 （1） IIR滤波器的设计方法： 借助于模拟滤波器的设计方法进行； Ha(s) H(z) 直接在频域或时域中设计 （2） FIR滤波器的设计方法： 窗函数法 频率采样法6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计几种典型滤波器的比较：几种典型滤波器的比较： 巴特沃斯(Butt

5、erworth)滤波器：具有单调下降的幅频特性 切比雪夫(Chebyshev)滤波器：幅度特性在通带或阻带内 有波动 提高选择性提高选择性 椭圆(Ellipse)滤波器：选择性最好 贝塞尔(Bessel)滤波器： 通带内有较好的线性相位特性 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c 1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 设计指标：设计指标：p, p,s和s p/s 通带截止频率/阻带截止频率 p /s 通带最大衰减系数/阻带最小衰减系数 对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1) (6.

6、2.2) 2222)()0(lg10)()0(lg10saaspaapjHjHjHjH 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图6.2.2表示。 图中c称为3dB截止频率，因 2210lg()10lg()papsasHjHj (6.2.3) (6.2.4) ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB图6.2.2 低通滤波器的幅度特性 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，其幅度平方函数满足给定的指标p和s. 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.5) )()()(*2jHjHjHaaajsaasHsH)()( 2. 巴特

7、沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(6.2.6) 图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系滤波器阶数 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.7) 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje (6.2.8) 特点：特点：（1）极点在s平面上象限对称；（2）极点决不会落在虚轴上，因而滤波器才有可能稳定；（3）N为奇，实轴上有极点； N为偶，实轴上无极点式中， ，2N个极点等

8、间隔分布在半径为c的圆（巴特沃斯圆）上，间隔为 rad12 , 1 , 0NkN23012321334135jccjcjccjcsessesesse 设N=3，极点有6个，它们分别为图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为10( )()NcaNkkHsss仍已N=3为例，取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s) 32233( )()()()aajjcccHssss 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止

9、频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率归一化频率；令p=j，p称为归归一化复变量一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101( )()aNkkccHsss(6.2.10) 101( )()aNkkHppp(6.2.11) 式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： 1 21()22,0,1,1kjNkpekN(6.2.12)NNNappbpbpbbpH1122101)(6.2.13) 式中，系数bk，k=0,1,2,N-1，以及极点可由表6

10、.2.1查得。另外，表中还给出了Ha(p)的分母因式分解形式中的各系数。 只要确定阶数只要确定阶数N，查表即得，查表即得Ha(p)及各极点。及各极点。表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：/10/10221()101()10psapNcaNsc 将=s代入(6.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14) (6.2.15) 阶数N的大小主要影响幅度特性的下降速度，它由技术指标p, p,s和s确定。 将 =p代入式（6.2.6），再将|Ha(jp)|2代入（6.2.3）中得11011010/10/psNps

11、用上式求出的N取最小整数作为所求滤波器阶数。 如果技术指标中没有给出3dB截止频率c ，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(6.2.15)式得到： (6.2.17)(6.2.18) 令,则N由下式表示： (6.2.16) 110110,10/10/3psppsspkspspkNlglg 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1) 根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2) 按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将

12、pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解:(1) 确定阶数N。3223.4111011010/10/psspk4 . 222psspff525. 4lglgNkNspsp，取 (2) 按照(6.2.12)式，其极点为按照(6.2.11)式，归一化传输函数为401( )()akkHppp5745632541530,

13、jjjjjepepepepep 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb 式中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(6.2.17)式，得到：将c代入(6.2.18)式，得到：将p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )1

14、0cacccccHssbsbsbsbsbskradNpcp/2755. 52) 110(211 . 0skradNcss/525.102) 110(211 . 03. 切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）滤波器的设计方法）滤波器的设计方法Butterworth滤波器的缺点：滤波器的缺点：频率特性曲线是频率的单调函数，当通带边界处满足指标要求时，通带内有余量。更有效的设计方法：更有效的设计方法：选择具有等波纹性的逼近函数，使精确度均匀分布在整个通带或阻带内 Chebyshev FilterChebyshev型滤波器：振幅特性在通带内等波纹，在阻 带内单调Chebyshev型滤波器：振幅特性在

15、通带内单调，在阻带 内等波纹 这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。 图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示： 22221()()1()aNpAHjC (6.2.19) 式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性 令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为cos(arccos ),1( )(),1NNxxCxch NArchxx当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N

16、=3时，C3(x)=4x3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20) 图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时，|CN(x)|1,在|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。 图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线 按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关。 定义允许的通带波纹允许的通带波纹用下式表示： (6.2.21) 因此 220.110lg(

17、1)101 (6.2.22)min2max2)()(lg10AA2min2max211)(, 1)(AA 图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定： 2221()1()ssNPAC(6.2.23) 令s=s/p，由s1，有22211()()1()111()()1111()NsssssspsCch NArchAArchANArchArchNA (6.2.24) (6.2.25)可以解出 3dB截止频率用c表示，22221()2()1,1()()ccNccpNccACCch NArch 按照(6.2

18、.19)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： 11( )cpchArchN (6.2.26) 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： (6.2.27) NichNichpipi2) 12(cos2) 12(sinNi,2, 1式中 (6.2.28) 111222222chshArshNpipi (6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31)

19、NijchNichsppii2) 12(cos2) 12(sin则 111121()21()2111NNNNaab图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布 设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即11( )()aNiiHpcpp(6.2.32)式中c是待定系数。 根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为111( )2()aNNiiHppp(6.2.33a) 切比雪夫切比雪夫型滤波器设计步骤：型滤波器设计步骤： 1) 确定技术要求确定技术要求p,p,s和和s 去

20、归一化后的传输函数为11( )2()NpaNNipiHssp(6.2.33b) 22110lg()110lg()ppssAA(6.2.34) (6.2.35) 按照(6.2.22)式求： 1,spspmin2max2)()(lg10AA这里p就是前面定义的通带波纹，见(6.2.21)式归一化频率2) 求滤波器阶数求滤波器阶数N和参数和参数1101 . 021101101 . 01 . 011psk)()(11sArchkArchN令 则 取大于等于N的最小整数p3) 求归一化传输函数求归一化传输函数Ha(p) 先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk, k=1,2,N。NkjchNkchpk

21、2) 12(cos2) 12(sin 将极点pk代入(6.2.33)式，得到： 4) 将将Ha(p)去归一化，得到实际的去归一化，得到实际的Ha(s)，即，即 (6.2.38) (6.2.39) 111( )2()aNNiiHppppspaapHsH)()( 例6.2.2 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解: (1) 滤波器的技术要求： 4, 12,602,1 . 0psspssspppfffdBfdB (2) 求阶数N和：110.1110.10.10.01()()1016553101

22、(6553)9.474.6,5(4)2.061011010.1526sppsaaaArch kNArchkArchNNArch(3) 求Ha(p):5(5 1)11( )0.1526 2()aiiHppp由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：2211( )2.442(0.5389)(0.33311.1949)0.87200.6359aHpppppp(4)将Ha(p)去归一化，得到：/7261427141( )( )(1.0158 10 )(6.2788 104.2459 10 )11.6437 102.2595 10paap sHsHpsssss4.模拟滤波器的频率变换模

23、拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带模拟高通、带通、带阻滤波器的设计阻滤波器的设计给定HPF、BPF或BSF的技术指标LPF技术指标设计LPF的G(p)HPF、BPF或BSF的H(s)频率转换频率转换为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 1) 低通到高通的频率变换低通到高通的频率变换 低通传输函数G(s)，s=j，归一化频率；p=j，p为归一化拉氏复变量 所需类型滤波器的传输函数H(s)，s=j，归一化频率 ；归一化拉氏复变量q， q=j ；归一化传输函数H(q)观察图6.2.9，对比LPF的幅度特性和HPF的幅度特性可知0:psps0:图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性1(6.2.4

24、1) 1()()H jG j(6.2.40) 上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换： 和之间的关系为 模拟高通滤波器的设计步骤如下：模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1) 确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。 (2) 确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： 低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减p= p ，阻带最小衰减s= s (3) 设计归一化低通滤波器G(p)。 (4

25、) 求模拟高通的H(s)。 将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得 例6.2.3 设计高通滤波器, fp=200Hz, fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。( )( )cpsH sG p(6.2.42) 不用去归一化 解 高通技术要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率低通技术要求：11,23,15psspsdBdB5 . 0, 1csscppffff 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg

26、2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模拟高通H(s)： 2) 低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf lu 、 BPF的通带上限频率和通带下限频率luBB 通带带宽， 一般作为归一化参考频率21ss 、 下阻带上限频率和和上阻带下限频率20ul20通带中心频率,图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性 表6.2.2 与的对应关系 112220/,/,/sssslluuluBBBB 各归一化边界频率为 与的对应关系见表6.2.2 由与的

27、对应关系，得到：2202201upul由表6.2.2知p对应u，代入上式中，有 (6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。 下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 pj(6.2.43) 将(6.2.43)式代入上式，得到：将q=j代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：(6.2.44) (6.2.45)202 jpqqp202)(2lulussp)(2)()(lulusspGsH模拟带通的设计步骤模拟带通的设计步骤:(1) 确定模拟带通滤波器的技术指标，确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 通带上限频

28、率u，通带下限频率l 下阻带上限频率 s1 ,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度 B=u-l 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：121220,sslssluuluBBBB (2) 确定归一化低通技术要求：确定归一化低通技术要求： 注意：注意：s与与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的的s，这样保证在较大的，这样保证在较大的s处更能满足要求。处更能满足要求。 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。 (3) 设计归一化低通设计归一化低通G(p)。 (4) 由由(6.2.45)式直接将式直接将G(p)转换成带通转换成带通H(s)。 2

29、2222010211,sspssss 例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s, s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6 (2) 模拟归一化低通技术要求：222220103211,1.833,1.874sspsss 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)

30、 设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN 取N=3，查表6.2.1，得(4) 求模拟带通H(s)： 23652242330042224610000( )2(32)(4)(32)2SH ss B sBBsBB sBsBs sBssspGpGsHlulu2022)()()()(1221)(23ppppG 3) 低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。 l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率；s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率；0为阻带中心频率，20=ul；

31、B为阻带带宽，B=u-l，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B, s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表6.2.3 与的对应关系 图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性 根据与的对应关系，可得到： 且u-l=1，p=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 220(6.2.46) 2220()ululsBspss (6.2.47) 220( )( )sBpsH sG p(6.2.48) 下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波

32、器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率s1，阻带上限频率s2阻带中心频率02=ul，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。12222210201,sspssss 例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2

33、980rad/s, s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解 (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 02=lu=421000025, B=u-l=2200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器G(p):95. 4,95. 4, 12021120222sssssspdBdBsp25,30.10.121010.05621014.

34、95lg1.8,2lg1( )21psspssppspspkkNNG ppp (4) 带阻滤波器的H(s)为22042240042222240002( )( )2(2)2sBpssssH sG psBBsBs 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 数字滤波器DF的技术要求AF的技术指标设计ALPF的H(s)数字低通滤波器DLPF的H(z)转换关系 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 保持因果稳定性。要求转换关系应是s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部； (2)数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，s平

35、面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。 转换关系：脉冲响应不变法脉冲响应不变法、双线性变换法双线性变换法 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：(6.3.2) NitsiatueAthi1)()( 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 1( )()()iN

36、s nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z) 11( )1iNis TiAH zez (6.3.4)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，( )( ) ()aanhth ttnT下面分析从下面分析从AF转换到转换到DF，s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系 对 进行拉氏变换，得到: ( )aht 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) ns

37、nTastnastaaenThdtenTtthdtethsH)()()()()( 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：sTze(6.3.6) ( )aht()aHj1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 将s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7) (6.3.8) (6.3.9) 上式表明：将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴

38、按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。 (6.3.6)式可称为标准映射关系。 下面进一步分析这种映射关系。设jsjzre 按照(6.3.6)式，得到:jTj Treee因此得到:TreT (6.3.10) 那么 2(),jM TsTTj TTTeeeeeM为任意整数另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成=0, r=1 s平面的虚轴映射z平面的单位圆0, r0, r1 s平面的右半平面映射z平面的单位圆外 Ha(s)因果稳定 H(z)因果稳定 当不变，模拟频率 变化2/T的整数倍时，映射值不变，也即： 当模拟频率从- /T 变化到/T时，

39、数字频率从- 变化到，且有T所在s平面与H(z)所在z平面的映射关系如图6.3.1所示。若原模拟信号ha(t)的频带不限于 之间，则会在 附近产生频率混叠，映射到z平面上，在附近产生频率混叠，如图6.3.2所示TT带限滤波器适合，非带限（如高通、带阻）不适合带限滤波器适合，非带限（如高通、带阻）不适合图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象 假设 没有频率混叠现象，即满足 按照(6.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到： 为避免当T很小时H(ej)增益太高，令()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11(

40、)()( )1()(/),iaNisTijah nTh nTTAH zezH eHjT则 一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为 (6.3.11) 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 (6.3.12) 22)(iiissiijTiTiTiiiezTezTez2211cos21cos1 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为 (6.3.13)(6.3.14) 一阶基本节的形式： 模拟 iissA11zeATsii数字TiTiTiiiezTe

41、zTez2211cos21sin22)(iiisiij脉冲响应不变法的优缺点：脉冲响应不变法的优缺点：优点：优点： （1）频率坐标变换是线性的，即=T； （2）DF的单位脉冲响应完全模仿AF的单位冲激响应，时域逼近性好缺点：缺点： 产生频率混叠现象，只适合低通、带通滤波器的设计只适合低通、带通滤波器的设计 例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解： 首先将Ha(s)写成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajj

42、Hssjsj极点为12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的极点为1212,s Ts Tzeze按照(6.3.4)式，并经过整理，得到111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz 选取T=1s 和T=0.1s 两种情况。设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则26449. 03224. 0113224. 0)7772. 0cos(21)7772. 0sin(3224. 02)(zeTezzTezHTTT112222111110.5012( )0.

43、6449()()aHsss再按照(6.3.14)式，H(z)为111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz e 转换时，也可以直接按照(6.3.13), (6.3.14)式进行转换。 首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,2=1j1,则图6.3.3 例6.3.1的幅度特性6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字低通滤波器低通滤波器 121tan()2TT (6.4.1) 脉冲响应不变法产生频率混叠的原因：脉冲响应不变法产生频率混叠的原因：模拟低通的最高截止频率超过折叠频率/T 克服方法：克服方法：采用非线性频率压缩方法

44、，将整个频率轴上的频率范围压缩到 之间T 设Ha(s), s=j, 经过非线性频率压缩后得 Ha(s1), s1=j1, 用正切变换实现频率压缩： 再通过 转换到z平面上，得到：1s Tze112 1122zsTzsTzsT(6.4.3) (6.4.4) 111212 1()21s Ts TesthTTTe(6.4.2) :1TT则双线性变换双线性变换图6.4.1 双线性变换法的映射关系下面分析模拟频率和数字频率之间的关系： 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有2 1121tan2jjejTeT (6.4.5) 两次映射：两次映射： 从s平面映射到s1平面，具有非线性频率压缩功能

45、，消除频率混叠现象； 从s1平面映射到z平面，其 之间的水平带的左半部分映射到z平面的单位圆内，虚轴映射到单位圆T图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系与之间呈非线性关系优点：优点：消除频率混叠缺点：缺点：影响DF对AF频响模仿的逼真性非线性的实质：非线性的实质： （1）如果的刻度是均匀的，映射到z平面的刻度不均匀，而是随的增加越来越密； （2）若AF的频响具有片断常数特性，则DF的频响也具有片断常数特性，即适合设计具有片断常数特性片断常数特性的滤波器 一般的滤波器都适合一般的滤波器都适合 设 系数Ak、Bk、ak、bk之间的关系见表6.4.1。kkkkasBsBsBBsAsAsAAsH22

46、102210)(TCsHzHzzCsa2,)()(1111kkkkzbzbzbzazazaazH2211221101)( 表6.4.1 系数关系表 例6.4.1 试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 解： 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为1( ),aHssRC 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 11( )1TH zez 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTTH1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) 图6.4.6例6.4.1 图数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性 1000利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤：数字低通滤波器的步骤： (1) 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s (2) 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 21tan()2TT 脉冲响应不变法：双线性变换法： (3) 按照模