yyf33泰勒Taylor级数展开ppt课件

1、3.3 3.3 泰勒泰勒TaylorTaylor级数展开级数展开 通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义 ， 而 且 很 有 实用价值. 实变函数可展为泰勒级数的条件是存在任实变函数可展为泰勒级数的条件是存在任意阶导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导数，因此解析函数可展为复变项的泰勒意阶导数，因此解析函数可展为复变项的泰勒级数。级数。1 设设 在以在以z0z0为圆心的圆为圆心的圆域域CRCR内解析，则对于圆内

2、任内解析，则对于圆内任意意z z点，点， 可展开为幂级数可展开为幂级数 f z f z 00kkkfzazz一、定理泰勒定理）：一、定理泰勒定理）： 101012!RkkkCffzadikz为圆为圆 内包含内包含z z且与且与 同心的圆。同心的圆。1RCRCRC其中其中z0zCRRCR1R12证明：证明： 112RCff zdiz由柯西公式由柯西公式将将 展为幂级数展为幂级数1z 0000011111 () ()zzz zzz zz001zztz 0000011 () ()kkzzzzzz又又z0zCRRCR1R1301001kkkzzzz代入上式逐项积分代入上式逐项积分 1010012Rkk

3、Ckff zzzdiz 000!kkkfzzzk0()zzR 的每一项都是的每一项都是z z的解析函数，且在的解析函数，且在其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。00kkkazz 112RCff zdiz4讨论：讨论：1、收敛范围：、收敛范围： 对给定对给定 z0 点，找点，找 f(z) 最靠近最靠近 z0 的奇点的奇点 z1 ，一般，一般 即为收敛半径。即为收敛半径。01zz 2、解析函数的又一充要条件：、解析函数的又一充要条件： f(z)在在 区域区域B内解析，当且仅当内解析，当且仅当 f(z) 在在B 内任一点的某邻域内可展开成幂级数。内任一点的某邻域内可展

4、开成幂级数。3、展开系数的唯一性。、展开系数的唯一性。5二、将函数展开成泰勒级数的方法二、将函数展开成泰勒级数的方法6初等函数幂级数展开式举例：初等函数幂级数展开式举例：例例1 1： zf ze在在z=0z=0处处 01!kkfakk zf ze解：解：在复平面上解析整函数）在复平面上解析整函数）00023( )()!12!3!kzkkkkkzf zeazzkzzzzk 7例例2 2：coszcosz，sinzsinz在在z=0z=0处处 00!cos22kkizizkkizizeekkz解：解：ze利用利用 的展开式，可得的展开式，可得奇次幂全消去奇次幂全消去201cos()2!kkkzzz

5、k 8sin2izizeezi同理同理 0012!kkkkizizikk 21210121 !kkkizik2101()21 !kkkzzk 91111()()1111zazbzabababazababa解：01(),.nnnczazba b把函数表示成形如的幂级数 其中是不相等例 ：的常数5102111()()()1nzabazazazazababababa 则 当时，有22311111()()()()1()()nnzazazbbababazaba 从而.abazabR，收敛圆为其收敛半径为11 nf zLz，在，在z0=1z0=1处处例例3 3：解：解： 是多值函数，如理解为定义是多值函数

6、，如理解为定义在黎曼面上，则可看成单值解析函数。在黎曼面上，则可看成单值解析函数。 nf zLz支点为：支点为：0,z 0011zz不是支点，以为中心展开时，邻域内不能包含支点，这样各单值分支相互独立，各自可看成单值解析函数。121ln zz而而011111kkzzz 011(11)kkkzzR01z o支点支点yx010=111zzRz离最近的支点为取，即收敛圆为13101n211kkkLznizk11z 0101ln111111kkkkkkzdzzdzzzck111220, 1, 2zcLnLnninin 令代入得0n 其中时为主值142201 ( )11kkkf zzz 1z 22011

7、1kkkarctgzdzz dzz1z 2101121kkkarctgzkzk1z 2101121kkkzck0,(0)0zcfarctgk令得例例4 4：arctgzarctgz，在，在z0=0z0=0点点解：解：151zez例例5 5：函数：函数在在z0=0z0=0展开展开2311111111111!1!2!1!2!zezzzz 1z 将两式按对角线相乘，得将两式按对角线相乘，得2312!3!zzzez z 23111zzzz 1z 1zez1z 解：解：在在内解析，内解析，1621( )1,(1)0( 1)1f zzR 有一个奇点从而解：0210(1).zzz把函数展开成 的幂级数， 即

8、在处展开成泰勒级数例例6 6：1.1112zzzzzn由：1.) 1(.1)(11112zzzzzznn可知：172121123.( 1).(1)1nnzznzzz 1.) 1(.321)111122znzzzznn（即：!两边求导183.4 解析延拓解析延拓以几何级数为例：以几何级数为例：) 1()(111)() 1()(111)(264220zzFzzzzzfzzFzzzzzzfkkk对于对于 ，在，在 的圆域的圆域b内内,等效于解析函等效于解析函数数 ， 在在 的区域，的区域， 发散，发散， 除除 外，全平面解析解析区域外，全平面解析解析区域B) 与与 在在b上等同，但上等同，但B含有含有b 。 )(zf1z)(zF1z)(zf)(zFiz)(zF)(zf19解析延拓解析延拓已知在已知在b上解析的函数上解析的函数 ，可找到另一，可找到另一函数函数 ，使，使 的解析区域的解析区域B含有含有b，并且在并且在b上上 等同于等同于 ，此即为解，此即为解析延拓，它扩大了解析函数的定义域。析延拓，它扩大了解析函数的定义域。 定义：定义：)(zf)(zf)(zF)(zF)(zF解析延拓的唯一性：解析延拓的唯一性：(用不同方法延拓结果一样）用不同方法延拓结果一样）Bb0z.