自动控制原理系统时间响应

1、3.3 3.3 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应 凡是能够用二阶微分方程描述的系统凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为称为二阶系统二阶系统 典型二阶振荡环节传递函数为典型二阶振荡环节传递函数为 2222)(nnnsssG)2(2nnssiXoX框图：框图：二阶系统特征方程：二阶系统特征方程：0222nnss1221nns、 随着阻尼比取值不同，二阶系统特征随着阻尼比取值不同，二阶系统特征根不同，即极点不同。根不同，即极点不同。讨论：讨论：欠阻尼系统10) 1无阻尼系统0)2临界阻尼系统1)3过阻尼系统1)4共轭复数21nnjs极点分布极点分布欠阻尼系统10) 1s1s221njn21njR

2、eIm无阻尼系统0)2共轭纯虚根njs极点分布极点分布s1s2nnReIm临界阻尼系统1)3s1s2nReIm极点分布极点分布相等负实根ns过阻尼系统1)4极点分布极点分布s1s2ReIm不相等的负实根21nns3.3.1 3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应3.3.2 3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应3.3.3 3.3.3 二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标3.3.4 3.3.4 二阶系统计算举例二阶系统计算举例3.3.1 3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃信号的拉氏变换为单位阶跃信号的拉氏变换为X Xi i(s)=

3、1/s(s)=1/s； )()()(0sXsGsXisssnnn12222则二阶系统在单位阶跃信号作用下的则二阶系统在单位阶跃信号作用下的拉氏变换为拉氏变换为1 1、欠阻尼状态、欠阻尼状态) 10(2 2、无阻尼状态、无阻尼状态)0( 3 3、临界阻尼状态、临界阻尼状态) 1( 4 4、过阻尼状态、过阻尼状态) 1(1 1、欠阻尼状态、欠阻尼状态) 10(ssssXnnno12)(222222)(1dnnss22)(21dnnsss)(1)(122222dnddnnssss21ndd有频率为二阶系统的有阻尼固2211)sin(11)()(arctgtesXLtxdtnoo其中曲线曲线特点：特点

4、： 1)1)振荡过程：这是一个不断需要超调振荡过程：这是一个不断需要超调过程，只要输出大于输入，需要超调。过程，只要输出大于输入，需要超调。2)2)以以WdWd为振荡频率的衰减过程，幅值衰为振荡频率的衰减过程，幅值衰减的快慢取决于减的快慢取决于n n。3)3)随着随着的减小，其振荡幅值加大，衰的减小，其振荡幅值加大，衰减慢。减慢。4)4)终值为终值为1 1。2 2、无阻尼状态、无阻尼状态)0( sssXnno1)(222221nsssttxnocos1)(曲线曲线特点：特点：等幅振荡等幅振荡3 3、临界阻尼状态、临界阻尼状态)1( sssXnno1)()(22nnnsss1)(12ttnonn

5、eettx1)(曲曲线线10tX0(t)11特点：特点：1 1）不振荡）不振荡2 2）终值为）终值为1 1曲线曲线1 10 0t tX X0 0(t)(t)114 4、过阻尼状态、过阻尼状态) 1(特点：特点：1 1）不振荡）不振荡2 2）终值为）终值为1 1但相对于但相对于=1=1时过渡时间较长时过渡时间较长3.3.2 3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应1)()()()()(tLsXsXsGsXiio)()(sGsXo222112)()(nnnoossLsXLtx22221)1()(nnnsL有阻尼固有频率令21nd1 1、欠阻尼状态、欠阻尼状态) 10( 222221

6、)1()(11)(nnnnosLtxtttxdnnosin)exp(1)(22 2、无阻尼状态、无阻尼状态)0( 221)(nnnosLtxttxnnosin)(3 3、临界阻尼状态、临界阻尼状态) 1( 221)()(nnosLtx)exp()(2tttxnno4 4、过阻尼状态、过阻尼状态1nnnosLsLtx) 1(1) 1(112)(21212ttnnnee)1()1(22212。慢取决于衰减的快幅值衰减愈慢，随着nd曲线曲线3.4 3.4 瞬态响应的性能指标瞬态响应的性能指标 性能指标是针对欠阻尼二阶系统的单性能指标是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应而提出来的位阶跃响应而提出来的性能

7、指标计算性能指标计算1 1、上升时间、上升时间t tr r2 2、峰值时间、峰值时间t tp p3 3、调整时间、调整时间t ts s4 4、最大超调量、最大超调量M Mp p5 5、振荡次数、振荡次数N N1、上升时间、上升时间tr响应曲线从原工作状态出发首次到达输响应曲线从原工作状态出发首次到达输出稳定值所需的时间称为上升时间。对出稳定值所需的时间称为上升时间。对于过阻尼系统一般定义为响应曲线从稳于过阻尼系统一般定义为响应曲线从稳态值的态值的1010上升到稳态值的上升到稳态值的9090所需的所需的时间。时间。1)(rortxtt时，当)sin()exp(1)(rdrnrotttx0)exp

8、(rnt0)sin()exp(rdrntt0)sin(rdt的时间第一次达到是)()(oorxtxtktrd21nrdrtt或2,1 ,0k讨论：一定时，) 1rnt,一定时，n)2rt，2 2、峰值时间、峰值时间t tp p响应曲线达到第一个峰值所需的时间响应曲线达到第一个峰值所需的时间为峰值时间为峰值时间时有极值当ptt 0)(pttodttdx0)cos()exp(1)sin()exp(122pdpndpdpnntttt0)cos()sin(pddpdntttgttgndpd21)(均大于0,pdt讨论：,2 , 0pdt取pdt)2(的一半周期峰值时间是有阻尼振荡ddpt一定时，) 1

9、,2一定时）n.,pt;,pnt3 3、调整时间、调整时间t ts s响应曲线达到并永远保持在允许范围的时间响应曲线达到并永远保持在允许范围的时间)()()(oooXxtx即：1)(ox1)(txo1)sin(112tedtn21 arctg其中：)sin(12tedtn所表示的曲线是上式所描述的减幅所表示的曲线是上式所描述的减幅正弦曲线的包络线，正弦曲线的包络线，内。实际曲线也在此范围之之间，那么只有包络线在121tne由于由于21tne即：211ln1nst解得：02. 0若nst211ln4则05. 0若时若7 . 00nst211ln3则)02. 0(4nst)05. 0(3nst,1

10、一定时、n一定时，、2，st时，02. 0最小，附近st76. 0时，05. 0最小，附近st68. 0以后，但8 . 0。st。而快速性使平稳性。snt ,4 4、最大超调量、最大超调量M Mp p响应曲线的最大峰值与稳态值响应曲线的最大峰值与稳态值x0()的差值的差值再与再与x x0 0()()之比值。之比值。时，当1)(ox)()(opopxtxM%100)()()(oopopxxtxM即：1)(opxdtt时，1)sin(112pdtpteMpn)sin(1212ddnnesin1212e21sin21eMp。，无关；有关而与只与pdpMM5 5、振荡次数、振荡次数N N在调整时间内响

11、应曲线振荡的次数在调整时间内响应曲线振荡的次数 dsstTtN2时，7 . 00时，nst402. 0时，nst305. 0。而随着振荡次数N212N215 . 1N二阶系统计算举例二阶系统计算举例例例1 1：设系统的方框图如图示，其中：设系统的方框图如图示，其中=0.6,=0.6,n n=5s=5s-1-1 , ,当有一单位阶跃当有一单位阶跃信号作用系统时，求其性能指标信号作用系统时，求其性能指标t tp p, ,M Mp p和和ts ts 。)2(2nnss)(sXi)(sXo)(sEdpt) 121ndstp785. 046 . 0152解：解：%1001exp)22pM%5 . 9%1

12、00)6 . 016 . 0exp(2pM%24%53)3nnst%233. 1%51sts例例2 2 如图所示的机械系统如图所示的机械系统, ,在质量块上在质量块上 施加施加9.89.8牛顿阶跃力后，牛顿阶跃力后，m m的时间响应的时间响应 如图曲线，试求系统的如图曲线，试求系统的 m m、k k 、c c 。)(txo)(tFikcm解：根据牛顿第二定律，得解：根据牛顿第二定律，得 )()(txMFFtFocki )(tkxFok)(txcFoc)()()()(txmtxctkxtFoooi 拉氏变换得拉氏变换得 )()()(2sXkfsmssFoikcsmssFsXsGio21)()()

13、(阶跃力输入的是N9 . 8NssXi9 . 8)(1)1)求求k k：由拉氏变换的终值定理可知：由拉氏变换的终值定理可知 )()(lim)(lim)(lim)(00sXsGssXstxxisosoto03. 09 . 81lim20skcsmsss03. 09 . 8kmNk297%6 . 9%10003. 00029. 0pM%6 . 9)1exp(2pM6 . 0212npt196. 1snkgkmn3 .7796. 129722:)2m求：求c)3nmc2mNsc8 .18196. 16 . 03 .772mcn2 例例3 3 有一位置随动系统，其方框图如图（有一位置随动系统，其方框图

14、如图（1 1） 当系统输入单位阶跃函数时，当系统输入单位阶跃函数时，p p5%5%。求。求（1 1）校核该系统的各参数是否满足要求。）校核该系统的各参数是否满足要求。（2 2）在原系统中增加一个微分反馈，求微）在原系统中增加一个微分反馈，求微 分反馈的时间常数分反馈的时间常数。)(sXi)(sXo) 105. 0(50ss) 1 ()(sXi)(sXo) 105. 0(50ss)2(s15005. 05050) 105. 0(50)(2sssssGB解：解：（1 1）求）求G GB B(S)(S)22262.3162.31316. 0262.31sGB62.31316. 0n标准式：)1exp(2pM)316. 01316. 0exp(2该系统不能满足要求%5%35)1 () 105. 0(