理论力学第八章点的合成运动

1、第八章第八章点点 的的 合合 成成 运运 动动运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动 在前两章中研究点和刚体的运动在前两章中研究点和刚体的运动时时，认为地球（，认为地球（参考体）固定不动参考体）固定不动, ,将坐标系（参考系）固连于地面将坐标系（参考系）固连于地面。因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。 物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、加极为不同的运动学特征

2、（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。速度等）。运动学/点的合成运动 在实际问题中，不仅要在固联在地面上的参考系上在实际问题中，不仅要在固联在地面上的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的还要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。下面先看几个例子。运动。下面先看几个例子。 沿直线轨道纯滚动沿直线轨道纯滚动的圆轮，研究轮缘上的圆轮，研究轮缘上A点的运动，对于地面上点的运动，对于地面上的观察者，是旋轮线轨的观察者，是旋轮线轨迹，对站在轮心上的观迹，对站在轮心上的观察者是圆。察者是圆。A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的

3、合成。运动学/点的合成运动飞机螺旋桨上点飞机螺旋桨上点P的运动分析的运动分析飞机上观察飞机上观察P点为圆周点为圆周运动运动当飞机直线当飞机直线平移时地面平移时地面上观察上观察P点的点的运动为曲线运动为曲线运动。运动。P点的运动可看成随飞机的平移与绕点的运动可看成随飞机的平移与绕螺旋桨轴螺旋桨轴心转动的合成心转动的合成。运动学/点的合成运动 本章利用运动的分解、合成的方本章利用运动的分解、合成的方法对点的速度、加速度进行分析，研法对点的速度、加速度进行分析，研究点在不同参考系中的运动，以及它究点在不同参考系中的运动，以及它们之间的联系。们之间的联系。运动学/点的合成运动8-1 8-1 点的合成运

4、动的概念点的合成运动的概念8-2 8-2 点的点的速度合成定理速度合成定理8-3 8-3 牵连运动为牵连运动为平移平移时时 点的点的加速度合成定理加速度合成定理8-4 8-4 牵连运动为牵连运动为转动转动时时 点的点的加速度合成定理加速度合成定理本章中点的速度合成是重点，点的加速度合成是难点。本章中点的速度合成是重点，点的加速度合成是难点。运动学/点的合成运动定坐标系定坐标系：建立在固定参：建立在固定参考物上的坐标系，简称考物上的坐标系，简称定系定系。一般将定系固结在地面上。一般将定系固结在地面上。 动坐标系动坐标系：建立在相对于定系运动着的物体上的坐：建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，

5、简称标系，简称动系动系。图示原点在轮心与车厢固连的坐标系。图示原点在轮心与车厢固连的坐标系oxy 如图所示固结在地面上的坐标如图所示固结在地面上的坐标 系系 。 汽车车厢相对于汽车车厢相对于 运动，如果将运动，如果将 坐标系固坐标系固结于车厢上结于车厢上, ,则形成了相对于定系运动的坐标系则形成了相对于定系运动的坐标系 。yxoyxooxyoxy运动学/点的合成运动 是指相对于定系和动系均是指相对于定系和动系均有运动的点，本章就是研究动点有运动的点，本章就是研究动点相对于定系和动系的运动。相对于定系和动系的运动。如图中任选车轮上的点如图中任选车轮上的点P作为动点。作为动点。绝对运动绝对运动：

6、动点相对于定系的运动。动点相对于定系的运动。 如如P相对于地面相对于地面 的运动的运动。相对运动相对运动： 动点相对于动系的运动。动点相对于动系的运动。 如如P相对于车厢相对于车厢 的运动。的运动。点的运动点的运动点的运动点的运动oxyyxo运动学/点的合成运动牵连运动牵连运动：动系相对于定系的运动。动系相对于定系的运动。 如行驶的汽车如行驶的汽车 相对于地面相对于地面 的运动。的运动。刚体的运动刚体的运动oxyyxo运动学/点的合成运动 绝对（加）速度：绝对（加）速度：动点相对于定系的（加）速度动点相对于定系的（加）速度， 用用 表示。表示。)(aaav 牵连点牵连点：在某瞬时，：在某瞬时，

7、动坐标系上与动点相重合的动坐标系上与动点相重合的点点，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置不，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。同，牵连点也不同。 相对（加）速度：相对（加）速度：动点相对于动系的（加）速度，动点相对于动系的（加）速度， 用用 表示表示。)(rrav 牵连（加）速度：牵连（加）速度：牵连点牵连点相对于定系的（加）速度，相对于定系的（加）速度， 用用 表示表示。)(eeav运动学/点的合成运动牵连点的概念牵连点的概念 在某瞬时，在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的动坐标系上与动点相重合的点点，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置，为该瞬时动点

8、的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。不同，牵连点也不同。 牵连运动一方面是动系的绝对运牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着动，另一方面对动点来说起着“牵连牵连”作用。但是作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （2 2）进一步说明进一步说明: : （1 1）定定 义义: : 由于相对运动，动点在动系上的位由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。 （3 3）

9、注注 意意: :运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动1.1.动点对动系要有相对运动。动点对动系要有相对运动。1.1.选择持续接触点为动点。选择持续接触点为动点。2.2.对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点为动点。根据选择原则具体问题具体分析。为动点。根据选择原则具体问题具体分析。基本基本原则：原则：具体选择方法：具体选择方法：动点和动系的选择动点和动系的选择2.2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。运动学/点的合成运动 动点与牵连点动点与牵连点 动点和牵连点是一对相伴点

10、，在运动的同一瞬时，动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，它们是重合在一起的。它们是重合在一起的。 动点是与动系有相对运动的点动点是与动系有相对运动的点 。 牵连点是动系上的几何点牵连点是动系上的几何点 。 在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。下面举例说明一点两系三运动的分析下面举例说明一点两系三运动的分析运动学/点的合成运动AB杆上的杆上的A点点动动 系：系：凸轮凸轮 定定 系：系：地面地面绝对运动：绝对运动：直线直线相对运动：相对运动： 曲线（圆弧）

11、曲线（圆弧）牵连运动牵连运动：直线平移直线平移动动 点：点：凸轮机构运动分析凸轮机构运动分析动动 系：系：凸轮凸轮 定定 系：系：地面地面绝对运动：绝对运动：直线直线相对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线（圆弧）牵连运动牵连运动：直线平移直线平移动动 点：点：运动学/点的合成运动AB杆上的杆上的A点点凸轮机构运动分析凸轮机构运动分析运动学/点的合成运动A( (在在AB杆上杆上) )偏心轮偏心轮C地面地面直线直线圆周圆周（C）定轴转动定轴转动动动 系：系：定定 系：系：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动牵连运动：动动 点：点：偏心凸轮机构运动分析偏心凸轮机构运动分析运动学/点的合成运

12、动套筒套筒A摇杆摇杆O1B地面地面圆周圆周（O）直线（沿直线（沿O1B）定轴转动定轴转动（绕（绕O1）动动 系：系：定定 系：系：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动牵连运动：动动 点：点：曲柄摇杆机构运动分析曲柄摇杆机构运动分析运动学/点的合成运动套筒套筒A摇杆摇杆OC地面地面圆周圆周（O1）直线直线（沿（沿OC）定轴转动定轴转动（绕（绕O）动动 系：系：定定 系：系：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动牵连运动：动动 点：点：曲柄摇杆机构运动分析曲柄摇杆机构运动分析运动学/点的合成运动平底凸轮机构运动分析平底凸轮机构运动分析动点：凸轮圆心点动点：凸轮圆心点C C动系

13、动系: :平底挺杆平底挺杆静系：地面静系：地面圆周圆周（C）直线直线直线平移直线平移绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动牵连运动：运动学/点的合成运动凸轮机构运动分析凸轮机构运动分析动点：凸轮圆心点动点：凸轮圆心点O动系动系: :摇杆摇杆静系：地面静系：地面直线直线直线直线定轴转动定轴转动绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动牵连运动：注意的问题注意的问题：三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的 运动。运动。相对相对、绝对运动指点的运动，可以是直线或曲线运动绝对运动指点的运动，可以是直线或曲线运动；牵连运动是指参考体的

14、运动，是刚体的运动，可以是；牵连运动是指参考体的运动，是刚体的运动，可以是平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式。平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式。牵连点指某瞬时动系上与牵连点指某瞬时动系上与动点相重合的点，不同瞬时动点相重合的点，不同瞬时牵连点的位置不同。牵连点的位置不同。以上可归结为一点、两以上可归结为一点、两系、三运动。系、三运动。动点相对动系、定系必动点相对动系、定系必须有运动，不能和动系在须有运动，不能和动系在同一物体上。同一物体上。运动学/点的合成运动 可以利用坐标变换来建立绝对、可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。相对和牵连运动之间的关系。 （1）绝对运动方程

15、绝对运动方程：)(),(tyytxx（2）相对运动方程：相对运动方程：)( ),( tyytxx（3）牵连运动方程牵连运动方程：)(),(),(ttyytxxoooo坐标变换关系：坐标变换关系：cossinsincos00yxyyyxxx 以二维问题为例。设定系以二维问题为例。设定系 ，动系动系 。动点动点M，如图所示。如图所示。yxooxy运动学/点的合成运动例例1 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖用车刀切削工件的端面，车刀刀尖P沿水平轴沿水平轴x作作往复运动，如图所示。设往复运动，如图所示。设 为定坐标系，刀尖的运动为定坐标系，刀尖的运动方程为方程为 。工件以等角速度工件以等角速度 逆时针方

16、向转逆时针方向转动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。taxsin 根据题意，需求车刀刀尖根据题意，需求车刀刀尖P相相对于工件的轨迹方程。对于工件的轨迹方程。 设刀尖设刀尖P为动点，动系固定在为动点，动系固定在工件上。则动点在动系工件上。则动点在动系Ox1y1和和定系定系Oxy中的坐标关系为中的坐标关系为：tcosxx1tsinxy1解：解：oxyx1y1运动学/点的合成运动从上式中消去时间从上式中消去时间t，得刀尖的得刀尖的相对轨迹方程相对轨迹方程4a2ayx22121即：车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为即：车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为 的圆，该的圆

17、，该圆的圆心圆的圆心C在动坐标轴在动坐标轴Oy1上，圆周通过工件的中心上，圆周通过工件的中心O。2a将点将点P的绝对运动方程代入上式中，得：的绝对运动方程代入上式中，得：t2sin2atcostsinax1)t2cos1(2atsinay21车刀相对于工件的运动方程车刀相对于工件的运动方程。tcosxx1tsinxy1运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动点的合成运动基本概念的回顾点的合成运动基本概念的回顾一、一点、两系、三运动一、一点、两系、三运动一点：动点（研究对象）；两系（定系、动系）一点：动点（研究对象）；两系（定系、动系）三运动：绝对运动、相对运动、牵连运动三运动：绝对运动、相对运

18、动、牵连运动二、三种速度二、三种速度绝对速度、相对速度、牵连速度绝对速度、相对速度、牵连速度三、牵连点三、牵连点在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点，为该瞬时动点在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。运动学/点的合成运动 速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系度和牵连速度之间的关系: :reavvv绝对速度绝对速度相对速度相对速度牵连速度牵连速度运动学/点的合成运动 设动点设动点M在动系中沿某一曲线在动系中沿某一曲线AB作作

19、相对运动，而相对运动，而动系本身相对定系作某种运动动系本身相对定系作某种运动. .下面证明速度合成定下面证明速度合成定理理. .运动学/点的合成运动牵连点运动轨迹牵连点运动轨迹zxyOzxyM (m)M(m)绝对运动轨迹绝对运动轨迹相对运动轨迹相对运动轨迹 M1(m1)三种运动三种运动 轨迹轨迹 M2(m2)ABAB当当t t+t AB AB M M也可看成也可看成 M M M MMMM1为绝对运动轨迹为绝对运动轨迹为绝对位移为绝对位移为相对运动轨迹为相对运动轨迹为相对位移为相对位移MM1)(11mmMM牵连点运动轨迹牵连点运动轨迹MM1MM为牵连点位移为牵连点位移tttzxy M(m)M (

20、m) M1(m1) M2(m2)ABAB运动学/点的合成运动(1) limlimlim10100tMMtMMtMMttteravvvMMMMMM11attMMv0limrtttMMtMMv2010limlimemttvtmmtMMv1010limlim动点动点M在时间在时间t 内的绝对位移内的绝对位移则有则有其中其中：代入（代入（1）式可得）式可得vevavr速度合成定理速度合成定理运动学/点的合成运动绝对速度绝对速度牵连速度牵连速度相对速度相对速度某瞬时动点的绝对速度等某瞬时动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度于其相对速度与牵连速度的矢量和。的矢量和。eravvv 速度合成定理速度合成定理

21、 点的速度合成定理是点的速度合成定理是瞬时矢量式瞬时矢量式，共包括大小，共包括大小方向方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。zxy M(m)M (m) M1(m1) M2(m2)ABABvevavr注意的问题注意的问题由速度合成定理的矢量形式知，绝对速度是以相对由速度合成定理的矢量形式知，绝对速度是以相对速度和牵连速度为邻边组成的平行四边形的速度和牵连速度为邻边组成的平行四边形的对角线对角线。点的速度合成定理是点的速度合成定理是瞬时矢量式瞬时矢量式，共包括大小，共包括大小方向方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。六个元素

22、，已知任意四个元素，就能求出其它两个。该定理在推导的过程中，该定理在推导的过程中，牵连运动未加限制，牵连运动未加限制，可以可以是平移、定轴转动以及其他形式的刚体运动。是平移、定轴转动以及其他形式的刚体运动。牵连速度为该瞬时牵连速度为该瞬时动系上动系上与动点相重合的与动点相重合的点的速度。点的速度。运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动 例例2:2:已知正弦机构中，曲柄已知正弦机构中，曲柄OAl，匀角速度角速度 ， 当 30o 时。求求T型杆型杆BCD的速度的速度。OADCB运动学/点的合成运动解：解：1. 选择动点与动系选择动点与动系动点曲柄上的动点曲柄上的A点；点；动系固连于杆动系固连于杆

23、BCD上上。2. 运动分析运动分析 绝对运动以绝对运动以O为圆心为圆心 、l为为半径的等速圆周运动。半径的等速圆周运动。 相对运动沿相对运动沿BC的直线的直线运动。运动。牵连运动铅垂方向的平移。牵连运动铅垂方向的平移。定系定系OADCBoxyoxy运动学/点的合成运动3. 速度分析速度分析l21sineaBCvvvsin30leravvv方向铅垂向上方向铅垂向上l大小：大小：方向：方向：？ OA水平向右水平向右 垂直向上垂直向上OADCBvrveva运动学/点的合成运动 例例3 3 仿形机床中半径仿形机床中半径为为R的半圆形靠模凸轮以的半圆形靠模凸轮以等速度等速度v0沿水平轨道向右沿水平轨道向

24、右运动，带动顶杆运动，带动顶杆AB沿铅沿铅垂方向运动，如图所示。垂方向运动，如图所示。试求试求=60时时，顶杆顶杆AB的的速度。速度。 ABnR运动学/点的合成运动解：解：1. . 选择动点、动系与选择动点、动系与定系定系动系动系：固连于凸轮：固连于凸轮2. . 运动分析运动分析 绝对运动：直线运动绝对运动：直线运动牵连运动：水平平牵连运动：水平平移移动点：动点：AB 杆的端点杆的端点A 相对运动：沿凸轮轮相对运动：沿凸轮轮 廓曲线运动廓曲线运动定系：定系：固连于水平固连于水平轨道轨道ABnRoxyoxy运动学/点的合成运动ABnR3. . 速度分析速度分析eravvv大小：大小：方向：方向：

25、？垂直垂直向上向上方向方向沿凸沿凸轮圆轮圆周的周的切线切线？0v方向方向水平水平向右向右00577. 060 cot cotvvvvea因为杆因为杆AB作平移，所以此瞬时它的速度大小：作平移，所以此瞬时它的速度大小： 0577.0vvvaAB方向垂直向上方向垂直向上例例4 4：图示机构，曲柄图示机构，曲柄OA的一端与滑块的一端与滑块A用铰链连接。当曲柄用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度以匀角速度 绕定轴绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动摇杆绕固定轴摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离两轴间距离 求曲柄在水平位置瞬时，摇杆求

26、曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕绕O1轴的角速度轴的角速度 1及滑块及滑块A相相对摇杆对摇杆O1B的相对速度。的相对速度。 lOO 1运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动1、选取选取动点动点： OA 上的上的A A点点动系：动系： O1B定系：定系： 基座基座解：解：绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动相对运动：直线运动相对运动：直线运动2 2、运运动动分分析析：滑块滑块A运动学/点的合成运动reavvv由：由：? O1B 沿沿O1B作出速度平行四边形如图示作出速度平行四边形如图示 r OA222221111222222221,sin,sinlrrlrr

27、lrAOvAOvlrrvvlrreeae又（ ）avrvev122cosrll22cosrlrlvvar3、速度分析速度分析运动学/点的合成运动 例5 5 如图所示，半径为如图所示，半径为R，偏心距为偏心距为e的凸轮，的凸轮，以匀角速度以匀角速度绕绕O轴转动，杆轴转动，杆AB能在滑槽中上下能在滑槽中上下平移，杆的端点平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且始终与凸轮接触，且OAB成一成一直线。求在图示位置时，杆直线。求在图示位置时，杆AB的速度。的速度。 运动学/点的合成运动eOCB解：解：1. 1. 选择动点，动系与选择动点，动系与定系定系动系动系: :固连于凸轮固连于凸轮2. . 运动分析运动分

28、析 绝对运动绝对运动: :直线运动直线运动相对运动相对运动: : 以以C为圆心为圆心的圆周运动的圆周运动牵连运动牵连运动: :绕绕O 轴的定轴轴的定轴转动转动动点动点: :AB的端点的端点A yx定系定系: :固连于机座固连于机座Axy运动学/点的合成运动eOCABreavvv3. 速度分析速度分析eOAeOAvveacot方向方向垂直垂直向上向上 OA? OA CA?沿沿AB运动学/点的合成运动 例例6 6 曲杆曲杆OBC以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动，使转动，使圆环圆环M沿固定直杆沿固定直杆OA上滑动。设曲柄长上滑动。设曲柄长OB=10 cm，OB垂直BC,。 =0.5 rad

29、/s，求求=60时，小环的时，小环的绝对速度。绝对速度。OABMC运动学/点的合成运动解解：1. . 选择动点，动系与选择动点，动系与定系定系动系动系: :固连于摇杆固连于摇杆 OBC2. . 运动分析运动分析绝对运动绝对运动: :沿沿OA的直线的直线运动运动相对运动相对运动: :沿沿OB的直线的直线运动运动牵连运动牵连运动: :绕绕O轴的轴的定定轴转轴转动动动点动点: :小环小环M 定系定系: :固连于机座固连于机座OABMC运动学/点的合成运动3. . 速度分析速度分析OABMCvavevrreavvvOM? OA向下向下?沿沿OA沿沿BC060taneavv 060tanOMcm/s32

30、.17方向水平向右方向水平向右运动学/点的合成运动求解合成运动的求解合成运动的速度问题速度问题的的为：为： 选取选取动点动点，动系动系和和定系定系； 分析分析三种运动三种运动； 分析分析三种速度三种速度； 根据根据速度合成定理速度合成定理作出作出速度速度合成合成平行四边形平行四边形； 根据速度平行四边形，求出未知量。根据速度平行四边形，求出未知量。 1 .1 .动点、动系不能动点、动系不能选在选在同一物体上同一物体上; ; 2 . 2 .动点相对动系的动点相对动系的相对运动轨迹相对运动轨迹易于直观判断。易于直观判断。 恰当选择恰当选择动点动点、动系动系和和定系定系是求解合成是求解合成运动问题的

31、运动问题的关键：关键：运动学/点的合成运动例例7 已知已知: : 凸轮半径凸轮半径r , 图示时图示时 杆杆OA靠在凸轮上。靠在凸轮上。 求：杆求：杆OA的角速度。的角速度。,30 ,v 分析：相接触的两个分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需很困难。这种情况下，需选择非接触点为动点。选择非接触点为动点。运动学/点的合成运动选取动点：选取动点： 凸轮上的凸轮上的C点点动系：动系：OA杆杆定系：定系： 基座基座reavv

32、v由由OC? OC/OA作出速度平行四边形如图示作出速度平行四边形如图示vrvvrrve6333212 vvvae33tan（） ,2sinrrOCve又解：解：绝对运动：直线运动绝对运动：直线运动相对运动：直线运动。相对运动：直线运动。C点到凸轮与点到凸轮与OA接触点的距离不变。接触点的距离不变。牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动evavrvyx运动学/点的合成运动 绝对加速度绝对加速度 ：动点相对于静坐标系运动的加速度动点相对于静坐标系运动的加速度相对加速度相对加速度 ：动点相对于动坐标系运动的加速度动点相对于动坐标系运动的加速度设：动点设：动点M在动坐标系在动坐标系中的坐标为中的坐标为

33、(x 、y 、z )牵连运动为平移，动坐标系单牵连运动为平移，动坐标系单位矢量位矢量 大小、方向不变大小、方向不变 aara 设有一动点设有一动点M按一定规律沿着固连于动系按一定规律沿着固连于动系 的的曲线曲线AB运动运动, , 而曲线而曲线ABAB同时又随同动系同时又随同动系 相对定系相对定系O xyz平移平移。zyxo zyxo k,j ,i运动学/点的合成运动kjir zyxkjivtztytxddddddrkjivar222222rddddddddtztytxt牵连运动为平移，动坐标系单牵连运动为平移，动坐标系单位矢量位矢量 大小、方向不变大小、方向不变 k,j ,i动点动点M点在动系

34、中的位置矢径：点在动系中的位置矢径：动点的相对速度动点的相对速度：动点的相对加速度：动点的相对加速度：运动学/点的合成运动牵连加速度牵连加速度 ：指某瞬时动坐标系上与动点相重：指某瞬时动坐标系上与动点相重合之点（牵连点）相对于静坐标系运动的加速度合之点（牵连点）相对于静坐标系运动的加速度 动坐标系作平移，刚动坐标系作平移，刚体平移时其上任一点的速体平移时其上任一点的速度、加速度相同。故动点度、加速度相同。故动点的牵连速度和牵连加速度的牵连速度和牵连加速度等于动坐标系原点等于动坐标系原点O 的速的速度和加速度，即度和加速度，即 OOaavvee,ea运动学/点的合成运动由速度合成定理：由速度合成

35、定理：reavvvktzjtyitxvvoadddddd ktzjtyitxvdddddd r而OOaavvee,kjivtztytxddddddrkjivar222222rddddddddtztytxt运动学/点的合成运动对对t求导：求导：tvaaadd因为因为动系为平移动系为平移，故，故 方向不变，是方向不变，是常矢量常矢量，有，有kji,0dd, 0dd, 0ddtktjtiktzjtyitxtvaOa222222ddddddddtvOddtitxitxdddddd22tktzktztjtyjtydddddddddddd2222ktzjtyitxvvOadddddd 运动学/点的合成运动

36、eooaatvdd reaaaa 即：即：当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的连加速度与相对加速度的矢量和。矢量和。ktzjtyitxar222222dddddd 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理ktzjtyitxtvaOa222222dddddddd运动学/点的合成运动运动学/点的合成运动例例8 已知：凸轮半径已知：凸轮半径 求求： =60o时时, , 顶杆顶杆AB的加速度。的加速度。ooavR,选取选取动点：动点： AB上的上的A点点动系：动系：凸轮凸轮定系：定系： 基座基座解解：re

37、avvv由由大小大小方向方向v0? CA作速度平行四边形，有：作速度平行四边形，有：?由于求加速度分析需由于求加速度分析需 , ,故先求故先求沿沿ABsinervv 003260sinvvorvrv运动分析：运动分析：绝对运动：直线运动绝对运动：直线运动相对运动：圆周运动相对运动：圆周运动牵连运动：平移牵连运动：平移运动学/点的合成运动因牵连运动为平移，故有因牵连运动为平移，故有nrreaaaaa大小大小方向方向?沿沿ABa0? CA沿沿CA指向指向CRvarnr2n将上式投影到将上式投影到 n方向方向，得：，得：sinaasin/ )cos(nreaaaanraRvRvRvarnr34/)3

38、2(/ 20202其中：其中：coseara运动学/点的合成运动n60sin/ )3460cos(200Rva整理得整理得ABa 注意：注意：加速度矢量方程的投影是加速度矢量方程的投影是等式两端的投影等式两端的投影，与静，与静平衡方程的投影关系不同。平衡方程的投影关系不同。sin/ )cos(nreaaaanrreaaaaa)38(33200RvaaaCEDBA0600300O例例9:图示机构图示机构，OA=r，以匀角速度以匀角速度0转动，套筒转动，套筒A可沿可沿BC滑动滑动，BC=DE，BD=CE=l。求图示位置求图示位置BD的角速度及角加速度的角速度及角加速度。解解：（1）动点动点A，动系

39、动系BC，定定 系机座。系机座。（2）运动分析：运动分析：绝对运动为圆周运绝对运动为圆周运动；相对运动为直动；相对运动为直线运动；牵连运动线运动；牵连运动为曲线平移为曲线平移（3）速度分析速度分析reavvv大小大小方向方向r0OAl(未知未知）BD未知未知CB由图知由图知: :=r0/l 转向如图转向如图vavrve0reravvv运动学/点的合成运动600（4）加速度分析加速度分析eneranaaaaaaaa大小大小方向方向AO02rAO0/naa未知未知设设ABar2lBDneal(未知未知）BDea600300300向垂直方向投影：向垂直方向投影：00060cos30cos30sinn

40、eenaaaalrlrae3/ )(320lae转向如图转向如图运动学/点的合成运动CEDBA0600300Ovavrve600运动学/点的合成运动 例例1010 曲柄曲柄OA绕固定轴绕固定轴O转动，丁字形杆转动，丁字形杆BC沿水平沿水平方向往复平移，如图所示。铰链在曲柄端方向往复平移，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可的滑块，可在丁字形杆的铅直槽在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度内滑动。设曲柄以角速度作作匀角速转动匀角速转动，OA=r，试求杆试求杆BC 的加速度。的加速度。 OABDEC运动学/点的合成运动运运 动动 演演 示示运动学/点的合成运动解：动系：动系：固连于丁字形杆固连

41、于丁字形杆绝对运动：以绝对运动：以O为为圆心的圆周圆心的圆周运动运动相对运动：沿槽相对运动：沿槽ED的直线的直线运动运动牵连运动：牵连运动：BC 沿水平平移沿水平平移动点：滑块动点：滑块A 定系定系：固连于机座：固连于机座OABDECreaaaaOA 2 大小大小方向方向未知未知未知未知AO水平水平向左向左AE cos cos2aeraaaBC得杆得杆BC 的加速度的加速度水平向左。水平向左。运动学/点的合成运动 引言 上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度

42、合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例特例。 设一圆盘以匀角速度设一圆盘以匀角速度 绕定绕定轴轴顺时针转动，盘上圆槽内有顺时针转动，盘上圆槽内有一点一点M以大小不变的相对速度以大小不变的相对速度 vr 沿槽作圆周运动，那么沿槽作圆周运动，那么M点相对点相对于定系的绝对加速度应是多少呢？于定系的绝对加速度应是多少呢？运动学/点的合成运动选取选取动点：动点：点点M动系：动系：圆盘圆盘定系：定系： 基座基座reavvv由由大小大小方向方向 Rvr(常数常数）?常数rreavRvvv得得即绝对运动也为匀速圆周运动，所以即绝对运动也为匀速圆周运动，所以Rva

43、aa2rrvRvR222RvRr2)(evavaa运动学/点的合成运动另一方面另一方面Rvavrrr2, 常数有（指向圆心指向圆心）2 Rae（指向圆心指向圆心）reaaaa多出一项多出一项 2 vr 可见，当牵连运动为转动时，可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么速度和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？他们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它的物理意义又是怎样出现的呢？它的物理意义又是什么呢？又是什么呢？（方向指向圆心方向指向圆心）rravRvRa222evavaa预备知识预备知识动坐

44、标系单位矢量对时间的变化率动坐标系单位矢量对时间的变化率已知动系已知动系oxyz以角速度以角速度e绕定系绕定系oxyz的的z轴转动，如图示轴转动，如图示krroAtktrtroAddddddkrkrrtrveoeoeAeAA)(ddoeortrddktkedd同理同理：itieddjtjedd定轴转动定轴转动刚体上任刚体上任一点速度一点速度泊松泊松公式公式运动学/点的合成运动动点：动点：M动系：动系： A xyz定系：定系：O xyzreavvvtvtvtvareaadddddd kzjyixvr tkzkztjyjytixixtvrdddddddd 如图所示如图所示tkztjytixkzjy

45、ixdddddd 运动学/点的合成运动其中其中 为相对加速度为相对加速度。 kzjyixar )(kzjyixaer ratkztjytixkzjyixdddddd ixekzjyeerervaidtide 为附加项附加项与牵连运动与牵连运动 和相对运动和相对运动 有关。有关。 revrve运动学/点的合成运动 evreereeeMereeMeaeMeMeMeevavvrvvrvrtrrttv)(dddddd其中其中 为牵连加速度为牵连加速度。eeMeevraMere 为附加项附加项与牵连运动与牵连运动 和相对运动和相对运动 有关。有关。 revrve运动学/点的合成运动 即：即：当牵连运动为

46、转动时，动点的绝对加速度等于牵连当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。科氏加速度：科氏加速度：), sin(2:rerecv va大小方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。0), / ( 180 0creav时或当recrevav2), ( 90时当creaaaaarerreeavavaarerevaa2运动学/点的合成运动点点M1的科氏加速度的科氏加速度例例11 矩形板矩形板ABCD以匀角速度以匀角速度 绕绕固定轴固定轴 z 转动，点转动，点M1和点和点M2分别沿分别沿板的对角线板的对角线BD

47、和边线和边线CD运动，在图运动，在图示位置时相对于板的速度分别为示位置时相对于板的速度分别为 和和 ，计算点计算点M1 、 M2的科氏加速的科氏加速度大小度大小, , 并标出方向。并标出方向。1v2vsin211vac点点M2 的科氏加速度的科氏加速度 02ca垂直板面向里垂直板面向里 1ca解解：)/( 2v运动学/点的合成运动creaaaaa牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。reaaaa)(rcv2ae运动学/点的合成运动例例12 已知：凸轮机构以匀角速

48、度已知：凸轮机构以匀角速度 绕绕O轴转动，轴转动，图示瞬时图示瞬时OA= r ，A点曲率半径点曲率半径 , 已知。已知。 求：求：该瞬时顶杆该瞬时顶杆AB的速度和加速度。的速度和加速度。选取选取动点：动点：AB上的上的A点点动系：动系：凸轮凸轮定系：定系：地面地面解：解：由由大小大小方向方向 r? n作出作出速度平行四边形速度平行四边形如图示如图示?沿沿ABreavvv)(rvvveaABtg tgcos/ cos/rvver运动学/点的合成运动由牵连运动为转动时的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理cnneeaaaaaaarr大小大小方向方向 2 r? n?沿沿AB rvarnr

49、2222cos/其中/2rv同同 n0cos/222rvarcrv2与与n相反相反作出作出加速度矢量图加速度矢量图，并向，并向 n 轴投影得轴投影得cosneacos/ )sec2/seccos(22222rrraaaAB)sec2/sec1 (232rrcosaanracacos/ rvraanearanraca运动学/点的合成运动例例11 曲柄摆杆机构。已知：曲柄摆杆机构。已知：O1Ar , , ， 1；取取O1A杆上杆上A点为动点，动系固点为动点，动系固结在结在O2B上，试计算动点上，试计算动点A的科氏加速度。的科氏加速度。解：解：rrecvva222rcrvav222 reavvv根据

50、根据作出作出速度平行四边形速度平行四边形)sin(cos1rvvae1122cossin)sin(cossin)sin(rrAOvervarc212cossin)22sin(2方向：与方向：与 相同。相同。ev)(90)cos(sin1rvvarBca运动学/点的合成运动第八章第八章点的合成运动点的合成运动习题课习题课 1. 1. 一点、二系、三运动一点、二系、三运动 reavvv3. 3. 加速度合成定理加速度合成定理 牵连运动为牵连运动为时时牵连运动为牵连运动为时时reaaaa creaaaaa2. 2. 速度合成定理速度合成定理)2( recva运动学/点的合成运动1. 1. 选择选择动

51、点动点、动系动系和和定系定系；2. 2. 分析分析三种运动三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动；：绝对运动、相对运动和牵连运动；3. 3. 作作速度分析速度分析： 画出画出，求出有关未，求出有关未 知量（速度，角速度）；知量（速度，角速度）；4. 4. 作作加速度分析加速度分析：画出：画出，求出有关未求出有关未 知量（加速度、角加速度）。知量（加速度、角加速度）。二、解题步骤二、解题步骤运动学/点的合成运动 1. 1. 恰当地恰当地选择动点、动系和定系选择动点、动系和定系 动点和动系不能动点和动系不能选选在同一刚体上；在同一刚体上； 若有始终若有始终接触的点，应选择接触的点，应选择始终始终接

52、触的那一点为接触的那一点为动点（如导杆滑块机构中的滑块，凸轮导杆机构中导动点（如导杆滑块机构中的滑块，凸轮导杆机构中导 杆上与凸轮接触的点）。杆上与凸轮接触的点）。 2. 2. 速度问题速度问题：一般采用：一般采用几何法几何法求解简便，即作出速求解简便，即作出速 度平行四边形；度平行四边形； 加速度问题加速度问题：往往超过三个矢量，一般采用：往往超过三个矢量，一般采用解析法解析法 （投影法）（投影法）求解。求解。三、解题技巧三、解题技巧运动学/点的合成运动 1. 1. 牵连速度和牵连加速度是牵连速度和牵连加速度是牵连点牵连点( (动系上的与动点动系上的与动点相重合的点相对定系）的速度和加速度；

53、相重合的点相对定系）的速度和加速度； 2. 2. 作速度平行四边形时，要使绝对速度为平行四边作速度平行四边形时，要使绝对速度为平行四边 形的形的对角线对角线； 3. 3. 牵连运动为牵连运动为转动转动时，作加速度分析不要丢掉时，作加速度分析不要丢掉科氏科氏 加速度加速度，正确分析和计算；，正确分析和计算； 4. 4. 加速度矢量方程的投影是加速度矢量方程的投影是等式两端的投影等式两端的投影，与静，与静 平衡方程的投影式不同。平衡方程的投影式不同。四、注意问题四、注意问题a运动学/点的合成运动已知：已知：OAl ， = 45o 时时 、 。 求：小车的速度与加速度。求：小车的速度与加速度。选取选

54、取动点：动点： OA上的上的A点点动系：动系： 滑杆滑杆定系：定系： 基座基座解：解：reavvv由由大小大小方向方向?水平水平铅垂铅垂l OA 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构作作速度平行四边形速度平行四边形如图示如图示。cosaevv ll2245cos小车的速度小车的速度)(vavevr运动学/点的合成运动因牵连运动为平动，故有因牵连运动为平动，故有renaaaaaaaa大小大小方向方向l OAl 2沿沿OA指向指向O?水平水平铅垂铅垂作出加速度矢量图作出加速度矢量图cosaaeal )(222将上式投影到将上式投影到 水平水平方向方向，得，得sinnaa45cosl45sin2leaaanaa

55、eara小车的加速度小车的加速度运动学/点的合成运动已知：已知： 。 求求: : OA杆的杆的 , a。avh,选取选取动点：动点：BC上上的的D点点动系：动系： OA杆杆定系：定系：基座基座解：解：reavvv由由?沿沿OA作出速度平行四边形如图示。作出速度平行四边形如图示。v OAcosaevv 摇杆滑道机构摇杆滑道机构cosvvavevr运动学/点的合成运动ODve/（）cosaevv cosv)cos/(coshvhv2cos sinarvv sinv由牵连运动为转动时的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理crneeaaaaaa大小大小方向方向OD 2?沿沿OA指向指向O沿

56、沿OAarv2 OA? OA2 ODanercva222)cos(coshvhhv32cossincos22vhv其中：其中：hvsincos222aaraneaeacavavevrD运动学/点的合成运动如图示。如图示。cosaacosaceaaaODae（）向向 轴投影，得轴投影，得eacacossincos222ahv2222cos2sincoshahvcrneeaaaaaa大小大小方向方向OD 2?沿沿OA指向指向O沿沿OAarv2 OA? OAaaraneaeacaD运动学/点的合成运动(1)先取动点：先取动点： O1A上上的的A点点动系：动系： BCD定系：定系：基座基座解：解：EO

57、AO21/已知：已知： ； 图示瞬时图示瞬时 。hrAO,11reavvv由由?/BC作出速度平行四边形如图示。作出速度平行四边形如图示。 1 r O1A水平水平sinaevv 曲柄滑块机构曲柄滑块机构求求: 该瞬时该瞬时O2E杆的杆的 2 。 sin1rvavevrA运动学/点的合成运动（2）再取动点：再取动点：BCD上上的的F点点动系：动系：O2E杆杆定系：定系： 基座基座rFeFaFvvv由由?/O2E作出速度平行四边形如图示。作出速度平行四边形如图示。r 1 sin O2EsinFaFevvFOveF22）（21sinrhrsinsin2131sinhrvaFveFvrFF运动学/点的合成运动例例4 凸轮机构凸轮机构凸凸轮半径为轮半径为R，图示瞬时图示瞬时O、C在一条铅直线上在一条铅直线上， av、 选取选取动点：动点： 凸轮上的凸轮上的C点点动系：动系： OA杆杆定系：定系： 基座基座解：解：reavvv