DFT与CZT的不同应用场合

1、DFTDFT与与CZTCZT的不同的不同应用场合应用场合 目录目录一、一、CZTCZT的引入的引入二、二、DFTDFT与与CZTCZT实例讲解实例讲解三、三、总结总结一、一、CZTCZT的引入的引入 1 1、DFTDFT与与Z Z变换的关系变换的关系 序列的序列的DFTDFT是是 的的Z Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N N点等间点等间隔采样。隔采样。 采样间隔采样间隔 。2( )( )|jkNz eX kX z01kN( )x n2jNe一、一、CZTCZT的引入的引入 2 2、DFTDFT的局限性的局限性DFT DFT 是均匀分布在是均匀分布在 Z Z 平面单位圆上平面单位圆上 N N

2、 点处的频谱，点处的频谱，如果如果取样点不均匀取样点不均匀时，则很麻烦。时，则很麻烦。只研究信号的某一频段只研究信号的某一频段，要求对该频段取样密集，要求对该频段取样密集，提高分辨率提高分辨率( (如窄带信号的频谱分析）；如窄带信号的频谱分析）；研究研究非单位圆上非单位圆上的取样值（如频谱峰值探测）；的取样值（如频谱峰值探测）；如果需要准确计算如果需要准确计算N N点点DFTDFT，且，且N N 为大的素数为大的素数；当当x(n)x(n)是短时间序列时是短时间序列时, ,则得到的频率分辨率则得到的频率分辨率2 2 /N /N 是很低的。是很低的。提高频谱密度提高频谱密度的办法：用补零的方法增的

3、办法：用补零的方法增加点数，但加点数，但DFTDFT的点数又大大增加，使计算工作量增的点数又大大增加，使计算工作量增大。大。一、一、CZTCZT的引入的引入 3 3、CZTCZT的引入的引入 采用采用FFTFFT算法可以很快计算出全部算法可以很快计算出全部N N点点DFTDFT值，即值，即Z Z 变换在变换在z z平面单位圆上的全部等间隔取样值。而实际平面单位圆上的全部等间隔取样值。而实际中也许不需要计算整个单位圆上中也许不需要计算整个单位圆上Z Z变换的取样值，实变换的取样值，实际中有时也对非单位圆上的取样值感兴趣。际中有时也对非单位圆上的取样值感兴趣。 一、一、CZTCZT的引入的引入CZ

4、TCZT算法：对算法：对 z z 变换采用变换采用螺旋线螺旋线取样，取样，chirp-chirp-z z 变换变换( (线性调频线性调频 z z 变换，变换，Chirp z-transformChirp z-transform) ) CZTCZT的原理的原理 设设 x(n) x(n) 为已知时间序列，其为已知时间序列，其 Z Z 变换的形式为：变换的形式为：10 ( )( )( )NnnZ x nX zx n z一、一、CZTCZT的引入的引入 按照上式计算按照上式计算 Zx(n) 必然是从必然是从 z 的实轴开始，为得到的实轴开始，为得到任意起始点任意起始点和以和以 螺旋线规律变化螺旋线规律

5、变化的的 z 值，做如下假设：值，做如下假设： 其中，其中，A、W 为任意复数，为任意复数，0 为为 A 的起始角（第的起始角（第1个取样点（个取样点（k=0） ），），A0为为 A 起始半径，起始半径，0 为在为在 Z 平面中相邻的平面中相邻的 zk （即（即 zk 和和 zk+1 ）之间的夹角，）之间的夹角，W0 为任意正数值。为任意正数值。 M为要分析的点数，不一定等于为要分析的点数，不一定等于 N。000000000000()jjkkjjkkjkkAA eWW ezAWA eWeAWe 一、一、CZTCZT的引入的引入 CZT CZT 表达式表达式101001, ( )()( )( )

6、, ,NnkknNnnknCZT x nX zx n zx nMA Wk一、一、CZTCZT的引入的引入（1 1）取样点沿螺旋线按角度间隔）取样点沿螺旋线按角度间隔o o分布，分布，0 0 0 0 时时，取样轨迹逆，取样轨迹逆时针旋转；时针旋转；0 0 0 11，随着，随着 k k 的增加，向内盘旋，朝向原点；的增加，向内盘旋，朝向原点；W W0 011，随着，随着k k 的增加，向外盘旋；的增加，向外盘旋； （3 3）若）若W W0 0=1=1，一段圆弧，一段圆弧，（若同若同时时A A0 0=1=1，则为单位圆一部分，则为单位圆一部分，此时此时 CZTx(n) = DFTx(n) CZTx(

7、n) = DFTx(n) （M=NM=N）0eR00 . 11MZ0Z1Z2Z0A0一、一、CZTCZT的引入的引入 A = 0.8A = 0.8* *exp(jexp(j* *pi/6); %pi/6); %起始半径起始半径0.8,0.8,起始角起始角 pi/6pi/6W = 0.985W = 0.985* *exp(-jexp(-j* *pipi* *0.05);0.05); % %W01W01W01，内旋，内旋；取样间隔；取样间隔 0.05pi0.05piM = 100; %M = 100; %计算点数计算点数z2 = Az2 = A* *(W.(-(0:M-1);(W.(-(0:M-1

8、);zplane( ,z2.)zplane( ,z2.)-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part二、二、DFTDFT与与CZTCZT的实例对比的实例对比CZT (Chirp z-transform) CZT (Chirp z-transform) 变换的变换的 Matlab Matlab 句法为：句法为： y = czt(x,M,W,A)y = czt(x,M,W,A) y = czt(x) y = czt(x) CZT CZT 是是 x x 信号沿着信号沿着 W W和和 A A 定义的螺旋线进行的定义

9、的螺旋线进行的 z z 变换。变换。M M 是说明了变换的长度，是说明了变换的长度，W W 是是 z z 平面上感兴趣的那部分螺旋线平面上感兴趣的那部分螺旋线上取样点之间的比值，上取样点之间的比值，A A 是螺旋线上的复数起始点。如果是螺旋线上的复数起始点。如果 x x 是矩阵，是矩阵，czt(x,M,W,A) czt(x,M,W,A) 是是 x x 的列变换。的列变换。 y = czt(x) y = czt(x) 使用下列缺省值：使用下列缺省值： M = length(x) M = length(x) W= exp(j W= exp(j* *2 2* *pi/m) pi/m) A= 1 A=

10、 1 对于这些缺省值，对于这些缺省值，czt czt 返回返回 x x 信号在单位圆上信号在单位圆上 m m 份等间隔的份等间隔的 z z 变换，也就是变换，也就是 x x 的离散傅立叶变换，或者的离散傅立叶变换，或者 fft(x)fft(x)。空矩阵。空矩阵 说明了这些参数的缺省值。说明了这些参数的缺省值。例：假设例：假设x(n)x(n)由由4 4个正弦序列组成，频率个正弦序列组成，频率分别为分别为60Hz60Hz，64 Hz64 Hz，95Hz95Hz和和100 Hz100 Hz，抽，抽样频率为样频率为600Hz600Hz，时域取样，时域取样200200点。试分点。试分别用别用DFTDFT

11、和和CZTCZT观察信号频谱。观察信号频谱。N=200; % 取样点数f1=60; f2=64; f3=95; f4=100;fs=600; % 取样频率stepf=fs/N; n=0:N-1; k=2*pi*n/fs; n1=0:stepf:fs/2-stepf;x=sin(f1*k)+sin(f2*k)+sin(f3*k)+sin(f4*k); %序列x(n)%求 DFTY1=abs(fft(x); subplot(2,1,1); plot(n1,abs(Y1(1:N/2);grid on; xlabel(f/Hz); ylabel(幅度); title(信号的DFT);%求50120Hz

12、的CZTM=200; f0=50; D=0.35;W=exp(-j*2*pi*D/fs); A=exp(j*2*pi*f0/fs);Y2=czt(x,M,W,A); n2=f0:D:f0+(M-1)*D;subplot(2,1,2); plot(n2,abs(Y2); grid on;xlabel(f/Hz); ylabel(幅度); title(信号的CZT); 050100150200250300050100150f/Hz幅度信 号 的 DFT5060708090100110120050100150f/Hz幅度信 号 的 CZT三、总结三、总结 CZTCZT变换和变换和DFTDFT变换相比变换相比（1 1）输入与输出序列的长度不需要相等，即不需要）输入与输出序列的长度不需要相等，即不需要 M=NM=N。（2 2）N N与与M M不必是合成数，即两者均可为素数。不必是合成数，即两者均可为素数。（3 3） 点的间隔不必均匀相等，这样可以得到任意的分辨点的间隔不必均匀相等，这样可以得到任意的分辨率率（4 4）不必要在）不必要在Z Z平面上的同心圆的