2.1-- 抽样Z变换--频域抽样理论ppt课件

1、3-7 抽样抽样Z变换变换-频域抽样理论频域抽样理论3-8 利用利用DFT对连续时间信号的逼近对连续时间信号的逼近3-6 DFT的性质的性质3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示有限长序列的离散频域表示3-3 周期序列的周期序列的DFS3-4 DFS的性质的性质3-2 傅氏变换的几种可能形式傅氏变换的几种可能形式3-1 引言引言一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。 3-1引言引言二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算

2、。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化 3-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换0t0dtetxjXtj)()(:正dejXtxtj)(21)(:反)( jX)(tx时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性: 时域连续，那么频域非周期。 反之亦然。二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数2/2/00)(1)(:ppTTtjkpdtetxTjkX正0tpT)(tx-ktjkejkXtx0)()(:0反0)(0jkXpT20时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换 -序列的傅

3、氏变换nTjnTjenTxeX)()(:正x(nT)T-T0T2Tt0Ts2)(TjjeXeX或-2/2/)(1)(:ssdeeXnTxTjnTjs反时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的TTs2,*频域的周期为时域抽样间隔为四.离散时间、离散频率的傅氏变换-DFTx(nT)=x(n)FTp1t0T 2T1 2 N NTTpn0002 0 1 2 3)1()1(0NNNN0k)()(0kxexTjk TfTss120NsFTp220NT 由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的.2,;2*0TTTTspp频域的周期为时域的离

4、散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为002/2/:10,2:10:)(1)()()(ddNkFkkNndeeXnTxenTxeXssTjnTjsnTjnTj从DFT的简单推演： 在一个周期内，可进行如下变换：102210220010010)(1)()()(222)()()()(0000NknkNjkNjNnnkNjkNjspNkTjnkTjksNnTjnkTjkeeXNnTxenTxeXNTTTeeXnTxenTxeX因此又 )()(2kNjeXnTx视作n的函数，视作k的函数，)()()()(2kXeXnxnTxkNj这样,102102)(1)()()(NknkNjNnnkNjekXN

5、nxenxkX正反 3-3 周期序列的周期序列的DFS一一.周期序列周期序列DFS的引入的引入ktjkekXtx0)()(0对上式进行抽样，得： 导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的： knkNjknTjkekXekXnTx200)()()(0NT20)(nTx)(0kX因 是离散的，所以 应是周期的。)(0kX，代入而且，其周期为 ，因而 应是N点的周期序列。0/2 NT 又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 这就是说，当在k=0,1,., N-1求和与在k=N,.,2N-1求和所得的结果是一致的。knNjrnjnkNjnrNkNjeeee222)(2102

6、0)()()()()()(NknkNjekXnxkXkXnxnTx则有，；，考虑到：1020NknkNjekXnTx二. 的k次谐波系数 的求法 1.预备知识)(nx)(kXrmmNrNeNnrnNj，其他为任意整数0,102)(11122)1(2222102时mNrNeeeeeerNjNrNjNrNjrNjrNjNnrnNj 同样，当 时，p也为任意整数，那么)()0(10)(2pNrkNNNeNnnrkNj)()()()(10rXpNrXpNrkkXNk)()()(110)(2pNrkpNrkpNrkeNNnnrkNjpNrk所以亦即t 的表达式t 将式 的两端乘 t t ，然后从 n=0

7、到N-1求和，那么：)(kXnrNje2102)(NnnrNjenx102)()(NknkNjekXnx1010)(2)(NnNknrkNjekX)()()()()()()(101010)(21010)(2102rXNpNrXNpnrkNkXekXekXenxNkNkNnnrkNjNnNknrkNjNnnrNj102)(1)(,NnnrNjenxNrX因此102102102)()()(1)(,)(1)(NkknNjNnknNjNnknNjekXnxenxNkXenxNkXkr对于周期序列所以则有换成将)(nx的DFS 通常将定标因子1/N移到 表示式中。即：)(nx102102)(1)()()

8、(NkknNjNnknNjekXNnxenxkX3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，那么：NjNeW210102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnx正变换：反变换：4. 的周期性与用Z变换的求法)(kX)()()()()(102102210)(2kXenxeenxenxmNkXNnknNjNnmnjknNjNnnmNkNj周期性：个不同值。只有这就是说，NkX)( 的一个周期内序列记作 ,而且)(nx =)(nx, 0n N-10 , 其他n10)()()(NnnnnZn

9、xZnxZX对 作Z变换， nx)(nx)(nx用Z变换的求 ：)(kX 可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。kNjeZ2)()()(1022kXenxeXNnknNjkNj)(kX)(ZX假如 ，则有 ZjIm ZRe1234567(N-1)N2k=0其中，a,b为任意常数。)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS 3-4DFS的性质的性质一.线性假如则有二.序列的移位 )()(kXnxDFS)()()(2kXekXWmnxDFSmkNjmkN则有：假如证明：10)()(N

10、nnkNWmnxmnxDFS令i=m+n,那么 n=i-m。n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m所以 mkNmNmiikNWWixmnxDFS1)()()()(10kxWWixWmkNNiikNmkN* 和 都是以N为周期的周期函数。)(ixikNW三.调制特性 假如 则有 )()(kXnxDFS)()(mkXnxWDFSmnN证明： )()()()(10)(10mkXWnxWnxWnxWDFSNnnmkNknNNnmnNmnNmnNjnmNjmnNjmnNeeeW)(222时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。nNje2四.周期卷积和 1.假如 那么：)()()(

11、21kXkXkY10101221)()()()()()(NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny证明从略。 2.两个周期序列的周期卷积过程 （1画出 和 的图形； （2将 翻摺,得到 可计算出：)(1mx)(2mx)(2mx)0()(22mxmx1102011010101)0()()0(5021mmxmxy)(2mxm计算区)(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )(2mx )1 (2mx1101001010111)1 ()() 1 (5021mmxmxy（3将 右移一位、得到可计算出：)1 (2mxm计算区)(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )1 (2mxm（4将 再右移一位

12、、得到 ，可计算出：)(2mx )2(2mx3100001011121)2()()2(5021mmxmxy（5以此类推， 4000001112111)3()()3(5021mmxmxy, 4)4(y同样，可计算出：3)5(y)(nyn134 4计算区313.频域卷积定理 假如 ，那么)()()(21nxnxny1012102110)()(1)()(1)()()(NlNlNnnkNlkXlXNlkXlXNWnynyDFSkY证明从略。 3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示有限长序列的离散频域表示一一.预备知识预备知识 1.余数运算表达式余数运算表达式 假如假如 ， m为整数；则有：为整数；则

13、有： 此运算符表示此运算符表示n被被N除，商为除，商为m，余数，余数为为 。 是是 的解的解,或称作取余数或称作取余数,或说作或说作n对对N取取 模值模值, 或简称为取模值或简称为取模值,n模模N。mNnn1101Nn1nnN1n)(1n Nn例如： (1) (2)7252792259,2591nNnNn5455949,49NnNn 先取模值，后进行函数运作;而 视作将周期延拓。 含义1nxnxN Nnxnx1 1nx2.二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系)(nxmmNnxnx)()( =)(nx, 0nN-10 , 其他n )(nx周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。)(nx有限

14、长序列x(n)是周期序列 的主值序列。)(nx Nnx)()()(nRnxnxN或如：N-1nx(n)0.n)(nx0N-1定义从n=0 到N-1的第一个周期为主值序列或区间。三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系)(kX )()()()(kRkXkXkXkXNN 同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。 而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。)(kX)(kX四.从DFS到DFT10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnx 从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进展。 因

15、此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX, 0kN-1, 0nN-1或者：)()()()()()(nRnxnxkRkXkXNN 3-6 DFT的性质一.线性1.两序列都是N点时 假如 则有：)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT2. 和 的长度N1和N2不等时， 选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。)(1nx)(2nx21,maxNNN 二.序列的圆周移位1.定义一个有限长序列 的圆周移位定义为这里包括三层意

16、思：先将 进行周期延拓再进行移位最后取主值序列： nRmnxnxNNm)( Nnxnx)(Nmnxmnx)( nRmnxnxNNm)()(nx)(nxn)(nx0N-1nNnxnx)()(0周期延拓nNnxnx2)2(0左移2n)()2(nRnxNN0取主值N-12.圆周位移的含义 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列 : 。)(nx)(nx)(nx12345n=0N=6顺时左移 三、共轭

17、对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量 周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为 )()(21)()(21)()()(21)()(21)(*NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnx同样，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称 分量分别定义为)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()()()()()()()()()(

18、nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep 这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。3.共轭对称特性之一)()()()()()()(*kRkNXkRkXnxDFTnxDFTkXNNNN，则如果证明：)()()()()()()()()()()(*10*)(10*10*10*kRkNXkRWnxkRWWnxkRWnxkRWnxnxDFTNNNnNnkNNNnNnkNNnNNnNnkNNnNnkN4.共轭对称特性之二)()()()()(*kXnRnxDFTnxDFTkXNN则，如果证明：)()()()()()()()(*10*)1(0

19、*1010*kXWnxWnxWnxWnRnxnRnxDFTNnnkNNnnkNNnnkNNnnkNNNNN可知：)()()(*kRkXnxNN)()()(*kXnRnxNN5.共轭对称特性之三)()()()(21)(Re)()(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN，则如果证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Re)()(21)(Re*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxDFTnxnxnxepNNNNN圆周共轭对称分量。的该序列复数序列实部的DFTDFT *6.共轭对称特性之四)()()()(21)(Im)()(*kXkRkNXkXnxj

20、DFTnxDFTkXopNNN，则如果证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Im)()(21)(Im*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN圆周共轭反对称分量。的该序列的复数序列虚部乘以DFTDFTj*7.共轭对称特性之五、六)()(Im)()(RenxDFTkXjnxDFTkXopep，同样，可证明：8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性)()()()1 (kXkXkXopep、)()()()()()()3()()()()()()()2(*kRkNXkRkXkXkXkRkNXkRkXkXkXNNopN

21、NopopopNNepNNepepep、9.实、虚序列的对称特性 当x(n)为实序列时，根据特性之三，那么 X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：)()()(*kRkNXkXNNepep 当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，那么 X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN四.圆周卷积和1.时域卷积定理 设 和 均为长度为N的有限长序列，且 ，)(1nx)(2nx)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT)()()(21kXkXkY假如 ，那么 )()()()(1102

22、1nxnRmnxmxkYIDFTnyNNmNN)(2nx)()()(21012nxnRmnxmxNNmNN)(1nx证明： 相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。)(),(21nxnx将 周期延拓：)(ky)()(21kXkXkY）（则有：10211021)()()()()(NmNNNmmnxmxmnxmxkYIDFSny在主值区间 ，所以：)()(, 1011mxmxNmN )()()()()(11021nxnRmnxmxnRnynyNNmNNN)(2nx同样可证：)()()()(21012nxnRmnxmxnyNNmNN)(2nx2.时域圆周卷积过程N-10n)(1nxN-10)(2nx

23、)(0)(22mRmxmxNN0m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)(32mRmxNN0m1) 6 (0) 5 (1) 4 (220001010111101)()3()() 3 (300000010111111)()2()() 2 (310000000111111)()1()() 1 (210100000011111)()0()() 0 (607721607721607721607721yyymRmxmxymRmxmxymRmxmxymRmxmxymmmm0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny最后结果：五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积 的长度为 的长

24、度为 它们线性卷积为)(1nx) 10(11NnN)(2nx) 10(22NnNmNmlmnxmxmnxmxny1021211)()()()()( 的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间. 例如:)(1mx101Nm)(2mx102Nmn2021NNn)(nyl)(1nx1012n)(2nx1012n3m)(2mx -1-2-3111)0(lym)1 (2mx21111) 1 (lym)2(2mx3111111)2(ly)(1mx1012mm)3(2mx3111111)3(lyn)(nyl2101)5(, 2)4(llyy同样314523321)(1mx1012m2.

25、用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. 的长度为 , 的长度为 ,先构造长度均为L长的序列, 即将 补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，即 所以得到周期卷积：)(1nx1N)(2nx2N)(),(21nxnxLLnxnx)(,)(211021)()(LmLLmnxmxnyrlrLmrLmLmLrlnymrLnxmxmrLnxmxmnxmxny)()()()()()()(102121011021 因此故由于, 1011mxmxLmL 可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为L.由于 有 个非零值,所以周期L必须满足: 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周

26、卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即ly121 NN121NNLLnxnRrlnynRnynyLrlL)()()()()()(1)()()(212nxnxnx1,21NNL 3-7 抽样Z变换-频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因而,完全可以由抽样信号恢复原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。2.由频域抽样恢复序列 一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为 由于x(n)绝对可和,故

27、其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到nnZnxZX)()()(kXnnkNWzWnxZXkXkN)()()(对 进行反变换,并令其为 ,那么)(kX)(nxN mmNkknmNNknkNmmkNNknkNNmxmxWNWWmxNWkXNkXIDFSnx)()(1)(1)(1)()(10)(1010 可见,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。10)()1(NkknmNWN1 , m=n+rN , 0 , 其他mrNrNnxnxrmrm)()(所以；)(nxN)(kX3.频域抽样不失真

28、的条件 当x(n)不是有限长时，无法周期延拓； 当x(n)为长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即MNnxnRrNnxnRnxnxrNNNN, )()()()()()(1.由X(k)恢复X(Z) 序列x(n),（0nN-1的Z变换为由于 ，所以下页！）)(jeX10)()(NnnZnxZX10)(1)(NknkNWkXNnx二.由X(k)表达 X(Z)与 的问题内插公式 1010110110110) 1() 1(22110101010)()(11)(1)(1)(111)(11)(1)(1)(NkkNkkNNNkkNNNkkNNkNNkNkNNkNkNNkNnnnkNNnnNknkNZkX

29、ZWNZkXZWkXNZkXZWZWNkXZWZWZWNkXZWNZWkXNZX) 1(22kjNkNjNkNeeW上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中称作内插函数。)(1111)(11kNNNkNNkWzzzNZWNZZ2.内插函数的特性 将内插函数写成如下式: ZRe1ZkNje2 ZjIm。)(11)(1kNNNkWzzzNZ 令分子为零,得 ； 所以有N个零点。令分母为零,得 为 一阶极点, Z=0为(N-1)阶极点。但是极点 与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不 为零,其他(N-1)个抽样点均为零。1, 1 , 0,

30、2NkreZrNjkNjkNeWZ2kNjeZ2kNje2)(11)(1kNNNkWzzzNZ3.频率响应 单位圆上的Z变换即为频响, 代入jeZ 10)()()(NkjkjekXeX4.内插函数的频率特性 2)2(222)2(22221111kNjkNjkNjNjNjNjNkjjNjkeeeeeeNeeNe111)(ZWNZZezkNNkj代入：将 可见, 既是 的函数又是k的函数,其可表示为 当k=0时,则有jkeNkejk2 2102sin2sin1NjeNNNkNjekNNN212/ )2(sin2sin1 时, 时, ，所以 0 ; 121212cos2cos100NNN) 1, 2

31、 , 1(2NiNi0sin2siniN . 00。在其他抽样点为，在本抽样点为这说明012Nkejk 当N=5时, 的幅度特性 和相位 特性 如下图： 0 021N 02sin25sin512sin2sin1NN221N其中， N=520N22; 12022, 1)0(0NkNkNk时，在可推断出由。时，亦即在122NkNk时，即而当kiNi,2122NkiNk 由于i与k均为整数,所以i k 时 这就是说,内插函数在本抽样点 上 , 而在其他抽样点上 02NkkN2, 12Nk. 02,2NkkiNi上5. 与X(k)的关系 由于 的特性可知,在每个抽 样点上其值为1, 故 就精确等于X(

32、k)。即jeX102)(NkjkNkXeXNk2jeX1, 1 , 0),(2NkkXeXNkj 而在抽样点之间, 等于加权的内插函数值 叠加而得。jeX kNkX2) 1, 1 , 0(Nk 3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差 1.混叠现象 为避免混叠,由抽样定理可知，须满足 其中, 为抽样频率; 为信号的最高频率分量； 或者 其中,T为抽样间隔。 hsff2sfhfhsffT211例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。 假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为1频 率分辨率为 ，（2） 信号的最高频率 ，试确定 以下参量：（1最小记录长度 ;(2) 抽样点间的最大时间 间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。ZH10ZkH4