灰色系统理论与建模()

1、灰色系统理论与建模灰色系统理论与建模一、灰色系统理论基础一、灰色系统理论基础l1982年，北荷兰出版公司出版的年，北荷兰出版公司出版的系统与控系统与控制通讯制通讯杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问灰色系统的控制问题题”，同年，同年，华中工学院学报华中工学院学报发表邓聚龙发表邓聚龙教授的第一篇中文论文教授的第一篇中文论文灰色控制系统灰色控制系统，这，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。l1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研灰色系统研究会成立，灰色系统相关

2、研究发展迅速。究发展迅速。l 1989年海洋出版社出版英文版年海洋出版社出版英文版灰色系灰色系统论文集统论文集，同年，英文版国际刊物，同年，英文版国际刊物灰色系灰色系统统杂志正式创刊。目前，国际、国内杂志正式创刊。目前，国际、国内300多多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成经济

3、、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。际问题，取得了显著成果。 灰色系统理论基础灰色系统理论基础二、几种不确定方法的比较二、几种不确定方法的比较l概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。种各具特

4、色的不确定学科。 l模糊数学着重研究模糊数学着重研究“认识不确定认识不确定”问题，其研问题，其研究对象具有究对象具有“内涵明确，外延不明确内涵明确，外延不明确”的特点。的特点。比如比如“年轻人年轻人”内涵明确，但要你划定一个确内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。是年轻人，则很难办到了。几种不确定方法的比较几种不确定方法的比较l概率统计研究的是概率统计研究的是“随机不确定随机不确定”现象，考察现象，考察具有多种可能发生的结果之具有多种可能发生的结果之“随机不确定随机不确定”现现象中每一种结果发生的可能性

5、大小。要求大样象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。本，并服从某种典型分布。l灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的以解决的“小样本，贫信息小样本，贫信息”不确定性问题，不确定性问题，着重研究着重研究 “外延明确，内涵不明确外延明确，内涵不明确”的对象。的对象。如到如到2050年，中国要将总人口控制在年，中国要将总人口控制在15亿到亿到16亿之间，这亿之间，这“15亿到亿到16亿之间亿之间“是一个灰概念，是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。 邓聚龙教授创立的灰

6、色系统理论，是一种研究少邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论以以“部分信息已知、部分信息未知部分信息已知、部分信息未知”的的“小样本小样本”、“贫信息贫信息”不确定系统为研究对象，主要通过对部不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、实分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别的控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别的要求和限制，因此

7、应用领域十分宽广。要求和限制，因此应用领域十分宽广。 灰色关联分析灰色关联分析 一般的抽象系统，如社会系统，经济系统一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪

8、些因素对系统对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制发展起阻碍作用需抑制灰色关联分析灰色关联分析 一般的抽象系统，如社会系统，经济系统一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素影响大，哪些因素对系统发展影响小

9、，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制发展起阻碍作用需抑制 数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分析等都是用来进行系统特征分析的方法。但数理析等都是用来进行系统特征分析的方法。但数理统计中的分析方法往往需要大量数据样本，且服统计中的分析方法往往需要大量数据样本，且服从某个典型分布。灰色关联分析方法弥补了采用从某个典型分布。灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用量的多少和样本

10、有无规律都同样适用,而且计算量而且计算量小小,十分方便十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。不符的情况。 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。例如某地区农业总产值小。例如某地区农业总产值,种植业总产值，畜种植业总产值，畜牧业总产值和林业总产值，从牧业总产值和林业总产值，从1997-2002年共年共6年的统计数据如下：年的统计数据如下：0X

11、 （18，20，22，35，41，46）1X （8，11，12，17，24，29）2X （3，2，7，4，11，6）3X （5，7，7，11，5，10） 从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果业总产值曲线与农业总产值曲线在几何形状上差业总产值曲线与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然是以别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。（一）关联度（一）关联度 关联

12、度分析是分析系统中各因素关联程度的方关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度前应计算关联系数。法，在计算关联度前应计算关联系数。 （1）关联系数：）关联系数： 设设则关联系数定义为：则关联系数定义为： 00001 ,2 ,.,XkXXXn 00001 ,2 ,.,XkXXXn 00000000minminmaxmax( )maxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk式中：式中： 为第为第k个点个点 和和 的绝对误差的绝对误差 为两极最小差为两极最小差 为两极最大差为两极最大差 成为分辨率，成为分辨率， 一般取一般取对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应对单位不一，初值

13、不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据个数据 00XkXk 0X 0X 00min min XkXk 00maxmax XkXk010.5（2）关联度）关联度 和和 的关联度的关联度 0Xk 0Xk11nkrkn关联度计算方法关联度计算方法1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。 设 个数据序列形成如下矩阵：其中 为指标的个数。m 01010101111222,mmmmxxxxxxXXXxnx nxnn2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数

14、据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作 1 ,2 ,1, 2,TiiiiXxxx nim 0000(1),2 ,Xxxxm3对指标数据序列用关联算子进行无量纲化（也可以不进行无量纲化），无量纲化后的数据序列形成如下矩阵： 01010101111222,mmmmxxxxxxXXXxnxnxn 常用的无量纲化方法有均值化像法、初值化像法等 1,110,1,1,2, .iiiiniikx kx kx kx kxx knimkn；4逐个计算每个被评价对象指标序列与参考序列对应元素的绝对差值 即 ； ；5确定 与 0( )( )( )iikxkxk1,kn1,im 011minmin( )( )nmi

15、ikMxkxk011maxmax( )( )nmiikmxkxk6计算关联系数 分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数式中 为分辨系数，在（0，1）内取值， 越小，关联系数间的差异越大，区分能力越强通常 取0.50( ),( )( )iimMr xkxkkM1,kn 7.计算关联度8依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果0011(,)( )niikr XXrkn灰色关联分析的应用举例灰色关联分析的应用举例 利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价。1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表131014.5

16、95%4kk 优势分析为什么要进行优势分析？有时，参考列不止一个，被比较的因素也不止一个，这时，就需要进行优势分析。举例：某关联矩阵R潜在优势子因素，次潜在优势子因素；潜在优势母因素等应用举例：建筑业收入交通收入；商业收入；农业收入；工业收入国民收入；交通投资。科技投资；农业投资；工业投资；固定资产投资；如下：个子因素，个母因素某地区有:,5665432154321YYYYYYXXXXXXYji行生成数累加生成的意义：累加生成的意义：应用举例图 8-2图 8-3存在的问题解决的方法图 8-7没有累加生成时的误差为21.26%GM(1, 1)模型模型（一）、数据的检验与处理（一）、数据的检验与处

17、理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。数据做必要的检验处理。 设参考数据为设参考数据为 ，计算数列的级比计算数列的级比 如果所有的级比如果所有的级比 都落在可容覆盖都落在可容覆盖 内，则数列内，则数列 可以作为模型的数据进行灰色预测。可以作为模型的数据进行灰色预测。 (0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(0)(0)(1)( ),1,2,( )xkkknxk2211(,)nnee( )k(0)X（二）、（二）、 建立建立GM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程（数据预处理）（数据预处理）1.累加生成

18、。设累加生成。设 为原始序列为原始序列 对对 进行一次累加生成，得生成序列进行一次累加生成，得生成序列其中其中,(0)X(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn(0)X(1)(0)1( )( ),1,2,kixkxi knGM(1, 1) 模型的一般过程（建立模型）模型的一般过程（建立模型）2. 建模。建模。 由由 构造背景值序列构造背景值序列其中，其中， 一般取一般取= 0.5 ,建立白化方程建立白化方程(影子方程影子方程)为为 称之为称之为GM(1, 1)模型的原始形式模型的原始形式(1)X(1)(1)(1)(1)(2

19、),(3),( )Zzzzn(1)(1)(1)( )(1)(1)( )zkxkxk2,3,kn(2,3, )kn( 1 )( 1 )d xa xbd tGM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程这里，符号这里，符号GM(1, 1)的含义如下：的含义如下： G M （1， 1） Grey Model 1阶方程阶方程 1个变量个变量 将上式离散化，微分变差分，得到将上式离散化，微分变差分，得到GM(1, 1)微微分方程如下：分方程如下：称之为称之为GM(1, 1)模型的基本形式。模型的基本形式。(0)(1)( )( )xkazkbGM(1, 1) 模型的一般过程（求解参数）模型的一般过程（求解

20、参数） 其中其中a, ba, b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作量作量,a,a的有效区间是的有效区间是(-2, 1)(-2, 1)。3. 3. 求解参数。求解参数。 应用最小二乘法可经下式得：应用最小二乘法可经下式得：其中其中, ,1(,)()TTTnaa bBBBY(1)(1)(1)(1)(1)(1)11 / 2(1)(2),1 1 / 2(2)(3),11 / 2(1)( ),xxxxBxnxn(0)(0)(0)(2),(3),( )nYxxxnGM(1, 1) 模型的一般过程（建立预测模型）模型的一般过程（建立预测模型）4. 建立预测公式建立预测

21、公式(1)(0)(0)(1)(1) (1)(1)(1)(1)( )akbbxkxeaaxkxkxkGM(1, 1) 模型的一般过程（模型检验）模型的一般过程（模型检验）5.检验模型检验模型(1)求出求出 与与 之残差之残差 ，相对误差，相对误差求出原始数据平均值求出原始数据平均值 , 残差平均值残差平均值 : ( 0 )11()nkxxkn(0)(0)( )( )( )ekxkxk( 0 )()1 0 0 %()ke kxk(0)( )xk(0)( )xk()e kkxe(0)21( )1nkeeknGM(1, 1) 模型的一般过程（模型检验）模型的一般过程（模型检验）l(2)求出原始数据方差

22、求出原始数据方差 与残差方差与残差方差 的均方差比值的均方差比值C和小误差概率和小误差概率p: 当当 ， ， 时，模型精度时，模型精度为一级。当发展系数为一级。当发展系数 时时, 则所建则所建GM(1, 1) 模型则可用于中长期预测。模型则可用于中长期预测。 21s22s2(0)2111( )nksxkxn2(0)2211( )nkseken0.35C 0.95p ( 2, 1)0.3aa 且21Css(0)1( )0.6745 pP ekes0.01k GM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程 精度检验等级参照表精度检验等级参照表相对误差相对误差 关联度关联度均方差比值均方差比值小误差

23、概率小误差概率一级一级二级二级三级三级四级四级0.010.010.050.050.100.100.200.200.900.900.800.800.700.700.600.600.350.350.500.500.650.650.800.800.950.950.800.800.700.700.600.6000C0p级比偏差检验级比偏差检验 (3)级比偏差值检验级比偏差值检验 据数据预处理中的级比据数据预处理中的级比 和和a求出级比偏差求出级比偏差 如果如果 ，则可认为达到一般要求；如果，则可认为达到一般要求；如果 ，则认为达到较高要求。，则认为达到较高要求。( )k1 0.5( )1 () ( )

24、1 0.5akka ( )0.2k( )0.2k例题例题 设原始序列为：设原始序列为：试用试用GM(1,1)模型对模型对 进行模拟。进行模拟。(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(0)X(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)第一步第一步对对 作一阶累加作一阶累加(0)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步第二步对对 作紧邻均值生成。令作紧邻均值生成。令得得(1)X(1)(1)(1)( )0.5(1)0

25、.5( )zkxkxk(1)(1)(1)(1)(1)(2),(3),(4),(5)Zzzzz(4.513,7.820,11.184,14.718)于是，(1)(1)(1)(1)4.5131(2) 17.8201(3) 111.184 1(4) 114.718 1(5) 1zzBzz (0)(0)(0)(0)3.278(2)3.336(3)3.390(4)3.678(5)xxYxx第三步第三步对参数列对参数列 进行最小二乘法估计。进行最小二乘法估计。得得( , )Taa b10.03720()3.06536TTaB BBY第四步第四步确定模型确定模型及时间相应式及时间相应式(1)(1)0.037

26、23.06536dxxdt(1)(0)(1)(1)akbbxkxeaa0.037285.27615182.402151ke第五步第五步求求 的模拟值的模拟值(1)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第六步第六步还原求出还原求出 的模拟值的模拟值得得(0)(1)(1)(1)(1)( )xkxkxk (0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)(0)X第七步第

27、七步检验误差。检验误差。残差平方和残差平方和平均相对误差平均相对误差(2)(3) (2), (3), (4), (5)0.01511(4)(5)Ts 5211.6025%4kk 误差检验表误差检验表序号序号实际数据实际数据模拟数据模拟数据残差残差相对误差相对误差12343.2783.3373.3903.6793.2303.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%(0)( )x k(0)( )xk(0)(0)( )( )( )k x k x kk残差修正残差修正GM(1,1)若用若用 修正修正 则称修正后的时间响

28、应式则称修正后的时间响应式为残差修正为残差修正GM(1,1)模型，简称残差模型，简称残差GM(1,1)0(0)0(1)()(0)(0)00(1) (1)(1)( )akak kakbbxekkaaxkbbbkkxeakeaaa(0)X 0新陈代谢新陈代谢GM(1,1) 设原始序列为：设原始序列为： 设设 为最新信息，置入最新信息，去掉最老信为最新信息，置入最新信息，去掉最老信息息 ，称用，称用 建立的模型为新陈代谢建立的模型为新陈代谢GM(1,1)(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(0)(1)xn (0)(1)x(0)(0)(0)(0)(2),(3),(1)XxxxnGM

29、(1，1)模型的变换模型的变换1.GM增量模型增量模型 对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一累减算子运算，分离出增量部分累减算子运算，分离出增量部分 再对增量序列建立普通再对增量序列建立普通GM(1, 1)预测模型，最后再经预测模型，最后再经 式式 还原成总量。我们称经过这种变换的模型为灰色增量模还原成总量。我们称经过这种变换的模型为灰色增量模型型(IGM模型模型)。(0)(0)(0)(0)()( 1)()ztxx tx t (0)(0)(0)(1)()()xtztxt 2.新初值新初值GM模型模型以以 为初始条件的为初始条件的GM模型模型 根据灰色系统理论的新信息优先原理，把根据灰色系统理论的新信息优先原理，把 的第的第n个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以使模型精度有所提高。灰色微分方程使模型精度有所提高。灰色微分方程 的时间响应的时间响应函数为函数为 还原值还原值(1)( )x n(1)x(1)(1)()( )( )a t nbbxtxneaa(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)( )aa tnbxtxtxtexnea 3.离散离散