三角形的内切圆和外接圆

1、三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R=ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。AD是4ABC的高，AE是 ABC的外接圆直径.求证 AB AC= AE- AD证：连接AO并延长交圆于点E,连接BE,则/ABE= 90° ./E= /C,/AB巳 /ADC= 900 ,A RtAABE RtAADCAB- AOAE- ADE方法二：2R= a/SinA , a为/ A的对边在锐角 ABC中，外接圆半径为R。求证：2R= AB/SinC证：连接AO延长交圆于点E,连接BE,则/ABq90° . AE= AB/SinE./C= /E, SinC

2、 =SinE/。1.AE= AB/SinCe ” .2R= AB/SinC若 C为钝角，则 SinC = Sin (180oC)应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。例1 已知：如图，在 ABC中，AC= 13, BC= 14, AB= 15,求 ABC外接圆。O的半径r.分析：作出直径 AD构造RHABD.只要求出 ABC中BC边上的高AE,用方法一就可以求出直径 AD.解：作AE! BC,垂足为E.设 CE= x,AC2-CE2 = AE'= aB'-BE2 , . 132-x 2= 152-(14-x) 2. x=5，即 CE= 5,AE= 12 R = ab/

3、(2h)=13x15/(2x12)=65/8.ABC外接圆。O的半径r为65.8例2已知：在 ABC中，AB= 13, BC= 12, AO 5,求 ABC勺外接圆的半径 R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径例3 已知：如图，在 ABC中，AO2, BO 3, / C= 60° ,求 AB的卜接圆。O的半径R. 分析：考虑求出角的对边长 AB,然后用方法一或方法二解题.解：作直径AR连结BD.作A已BC垂足为E.则/DBA= 90° , / D= /C= 600 ,/CAP

4、/ DA氏 90 0 60° =30°CE = 1Ao 1, AE=褥，AB=7； R=AC AB/2AE=2x7/（2x ；3）应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径用方法二例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=103,求它的外接圆的半径解从A作AML BC于M则aDmD= a m2= AC（MD+ CD.即 52MD= 72-（MD+ 3）2.图2D- iMD = 22.AM二三存2AB * AC 10'2艮= 一得R= 14,则 ABC外接圆面积S=兀&=196几.例5如图3,已知抛物线y = x24x+h的

5、顶点A在直线y= 4x1上,求抛物线的顶点坐标；抛物线与x轴的交点B、C的坐标；.¥ T ABC的外接圆的面积.-.解A（2, 一9）;B( 1, 0) ; C(5 , 0).从A作AMLx轴交于M点，WJ BM MC= 3. AM =9./. AB=AC = J梦+ 豕=if而,.z AB AC 3而 3V10 i 2kM-=.AM9. R= 5 ABC外接圆面积S=兀&= 25几三角形内切圆半径r的求法1 v SaABC=1/2(a+b+c)rr=2SAAB(/(a+b+c)2 Rt ABC中产(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接圆(1)过

6、三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形 的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等.(2)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径 R = 1( c为斜边长).2、三角形的内切圆(1)到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线 的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部.(2)若三角形的面积为S&BC,周长为a+b+c,则内切圆半径为：r= 2S&BC ,当a,b为a b c直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径r=或=也好

7、a b c23、圆内接四边形的性质(1)圆内接四边形的对角互补；(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.注意：圆内接平行四边形为矩形；圆内接梯形为等腰梯形.4、两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.【典型例题】一、填空和选择(1) 一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形(2)如右图，I是AABC的内心，则下列式子正确的是()A / BIC=180©-2 / A B、/ BIC=2/ A C、Z BIC=905+Z A/2 D、/BIC=90o-/A/2(3) AABC外

8、切于。O, E、F、G分别是。O与各边的切点，则AEFG的外心是 MBC的< (4)直角三角形的两条直角边分别为 5和12,那么它的外接圆的半径为 ,内切圆半 径为.(5)等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为r,R,则r:R=.(6)圆外切等腰梯形底角为60:腰长为10,则圆的半径长为 .(7)等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于 .(8)等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 .(9) &ABC的内切圆。I 与 AB BC CA分别切于 D E、F 点，且/ FID=/EID=135",则 AABC 为.例2.如图，ZXABC中，I是内心，AI交BC于D

9、,交 ABC的外接圆于E。求证：(1) IE=EC, (2) IE2=ED EABE例3.如图，已知AABC内接于。O, AE切。于点A, BC/ AE,求证：AABC是等腰三角形例4.已知AABC三边长为6, 8,10,则它的内心，外心间的距离为 【经典练习】、选择题1 .下列命题中，正确的有（） 圆内接平行四边形是矩形圆内接梯形是等腰梯形A . 1个 B . 2个2 .在圆内接四边形ABCDK / A:圆内接菱形是正方形圆内接矩形是正方形C . 3个 D . 4个/ B: / C=3: 5: 6,那么/ D=（）A . 80°B .90°C . 100° D

10、. 120°3 .如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r,那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（）CD4 .如图1,四边形ABCM接于。0,若/ BOD=110 ,则/ BCD=()A . 125°B . 110°C . 55°D .705 .如图 2,四边形 ABCDft接于。O, /ADC=60 ,则/ ABC=()A.30°B .60°C.120° D . 90°6 .如图3,正方形ABCDft接于。，点P在？D上，则/ BPC为()A. 35°B . 40°C.45&#

11、176;D . 50°7 .如图4£7 MNPQ中，过点Q M的圆与PQ MN分别相交于点E、F,下列结论中正确的有()/EFN之 Q=Z N;/ EFN吆 P=180° ; EF=PN=MQ®Z M=/ FERA .1个B.2个C.3个D.4个8 .如图5,四边形ABCD!。的内接四边形，AD为。的直径，若/CBE=50,则圆心角/AOC= ()A . 50°B . 80° C . 100° D . 130°、填空题9 .设 I 是ABC勺内心，。是4ABC的外心，/A=80° ,则/ BIC=, /

12、BOC=10 .若三角形白三边长为5、12、13,则其外接圆的直径长等于 ,其内切圆的直径长 为 011 .直角三角形的一边为a,它的对角是30° ,则此三角形的外接圆的半径是 。12 .如图 6, OI 切ABCT D E、F, / C=60° , / EIF=100° ,则/ B=。图7图8/C=90° , D E、F 为切点。若/ AOC=120 ,贝U/ OAC=, / B=;若 AB=2cm 贝U AC= , ABC的外接圆半径=,内切圆半径=14 .如图 8,若弓* AD)/ BC, /BAC=70 , /ABC=80 ,贝U/ ADC=度，

13、ZACD=度。15 .如图9,四边形ABCDfe。的内接四边形，AH CD若/ABC=130，则/DAE=。ADA .B P图1016 .如图10,四边形ABC此。的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知/ A=60° , /ABC=100 ,贝叱 P=。【大展身手】、选择题1 .下列说法正确的是（）A .三点确定一个圆B .三角形有且只有一个外接圆C .四边形都有一个外接圆D.圆有且只有一个内接三角形2 .下列命题中的假命题是（）A .三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B .三角形的外心到三角形三边的距离相等C .三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D .三角形任意两边的中

14、垂线的交点，是这个三角形的外心3 .下列图形一定有外接圆的是（）A .三角形 B.平行四边形C.梯形D.菱形4 .下列说法正确的是（）A .过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B .过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C .过三点A、B C的圆的圆心有且只有一点D .过四点A、B C D的圆不存在5 .在RtAABC, / C=90° , AC=6cm BC=8cm则它的外心与顶点 C的距离为（B. 6cmC. 7cmD.8cm6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的（倍.B._j_33C-3D.7 .三角形的外心具有的性质是（A .到三边距离相等B.到三个顶点距离相等C .外心在三角形外D.外心在三角形内8 .对于三角形的外心，下列说法错误的是（.它到三角形三个顶点的距离相等.它与三角形三个顶点的连线平分三内角.它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径.以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9 .在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（B.等腰梯形C.矩形D.正方形10.如图所示,三角形有（B、 2对11./DCEg圆内接四边形ABCD勺一个外角，那么、/DCE+A=180°B、/DCE+B=180立圆的