二次函数详解(附习题、答案)

1、二次函数详解（附习题、答案）21 二次函数的概念：一般地， 形如 y ax bx c（ a， b， c是常数， a 0） 的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而 b ， c 可以为零二次函数的定义域是全体实数22 二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 a ， b ， c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y ax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0， 0y轴x 0

2、时，y 随 x 的增大而增大；x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 a0向下0， 0y轴x 0 时，y 随 x 的增大而减小；x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 22. y ax c 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0， cy轴x 0 时，y 随 x 的增大而增大；x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值c a0向下0， cy轴x 0 时，y 随 x 的增大而减小；x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值c 23. y a x h 的性质：左加右减。a 的符号开口方向顶点

3、坐标对称轴性质a0向上h， 0X=hx h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 随x的增大而减小；x h 时，y有最小值0a0向下h， 0X=hx h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 随x的增大而增大；x h 时，y有最大值024. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h， kX=hx h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 随x的增大而减小；x h 时，y有最小值k a0向下h， kX=hx h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 随x的增大而增大；x h 时，y有最大值k 1. 平移步骤：2方法一：将抛物线解析

4、式转化成顶点式y a x h k ，确定其顶点坐标h， k ； 保持抛物线y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h， k 处，具体平移方法如下：y=ax2(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k| 个单位向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k| 个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2(k>0)【或下(k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+ky=ax 2+k第 23 页 共 14

5、页者，即yaxb2 2a4ac b24ah b，k2a4ac b24a2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：22 y ax bx c沿 y轴平移 :向上(下)平移m 个单位，y ax bx c变成22y ax bx c m(或y ax bx c m ) y ax2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移m 个单位，y ax2 bx c 变成y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c)y a x h 2 k 与 y ax2 bx c 的比较从解析式上看，y a x h 2 k 与

6、 y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、 与 y 轴的交点0，c 、以及0，c 关于对称轴对称的点2h，c 、与 x轴的交点x1，0 ，x2，0 (若与 x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质1. 当 a 0时，抛物线开

7、口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为2a2b 4ac b，2a 4a当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 2a2值 4ac b 4ax b 时， y 随 x 的增大而增大；当x b 时， y有最小2a2a2. 当 a 0 时， 抛物线开口向下，对称轴为x b ， 顶点坐标为2ab ， 4ac b22a 4ax b 时， y 随2a2时， y 有最大值4ac b4ax 的增大而增大；当x b 时，y 随 x 的增大而减小；当x b2a2a七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c( a， b ， c为常数，a 0) ；2. 顶点式：y a(x h)2 k( a， h

8、 ， k 为常数，a 0) ；3. 两根式：y a(x x1)(x x2) ( a 0， x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a 0当a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；当a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大

9、，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a 0的前提下，当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是b 0 时，2aby 轴；2a0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧总结起来，在a 确定的前提

10、下，ab 的符号的判定：对称轴b 决定了抛物线对称轴的位置b在 y 轴左边则ab 0 ，在2ay 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c当c0 时，抛物线与当c0 时，抛物线与当c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；y 轴交点的纵坐标为0 ；y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a， b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析

11、式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：九、二次函数图象的对称1.2.1.2.3.4.二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于 x轴对称x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；2ya 2xb x 关于 c x 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是关于 y 轴对称2y ax bx c ；2y a x h k；y a 2xb x 关于 c y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；2y a x h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2y ax h k；3.关于原点对称y a 2x

12、b x 关于原点对称后，得到的解析式是 cyax2 bx c；2y a x h 关于原点对称后，得到的解析式是 k2y ax h k；2b2y ax bx c ；2a2y ax h k4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）ya 2xb x 关于顶点对称后，得到的解析式是 c2y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点 m， n 对称y a x h k 关于点m， n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方

13、便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0 是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数： 当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A x1 ， 0 ， B x2， 0 （x1 x2） ，其中的x1 ， x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根这两点间的距离AB x2b2 4acx1a 当0

14、 时，图象与x轴只有一个交点； 当0 时，图象与x轴没有交点.x 为任何实数，都有y 0 ；x 为任何实数，都有y 0 1' 当a0 时，图象落在x轴的上方，无论2' 当a0 时，图象落在x轴的下方，无论22. 抛物线 y ax bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ， c）；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c中 a， b， c的符号，或由二次函数中a， b， c的符号判断图象的位置，要数形结合；

15、二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0） 本身就是所含字母x的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利

16、润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2的图像经过原点，则 m的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图， 如果函数y kx b 的图像在第一、二、 三象限内，那么函数y kx2bx 1 的图像大致是（）3考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5（0,3） ， （4,6） 两点，对称轴为x ，求这条抛物线的解析式。34 考查用

17、配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：y ax2bx c（ a 0）与x轴的两个交点的横坐标是1、 3，与y 轴交点的纵坐标是（ 1 ）确定抛物线的解析式；（ 2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。2c例 1 （ 1 ）二次函数y ax2 bx c 的图像如图1，则点M （b, ） 在（ ）aA 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限（ 2）已知二次函数y=ax2+bx+c（ a 0）的图象如图2 所示， ?则下列结论：a、 b 同号；当x=1和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当y=

18、-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个（1）（2）a， b， c 之间的关系，是解决问题的关键例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于点（-2 ， O）、 （x 1， 0） ，且1<x 1<2，与y 轴的正半轴的交点在点（O，2） 的下方 下列结论：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正确结论的个数为（ ）A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D 4 个 会用待定系数法求二次函数解析式例3. 已知： 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=3

19、的一个根为x=-2 ， 且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）A（2 ， -3） B.（2， 1） C（2答案： C3） D （3， 2）ABC以 2 米 /秒的速度沿直线例 4、如图（单位：m） ，等腰三角形x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（ 1 ）写出 y 与 x 的关系式；（ 2）当x=2， 3.5 时， y分别是多少？（ 3） 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 .L 向正方形移动，直到AB与 CD重合设例5、已知抛物线y= 1 x2+x- 5 22（ 1 ）用配方法求它的顶点坐标

20、和对称轴（ 2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A、 B，求线段AB的长【点评】本题（1 ）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系12例6、“已知函数 y x2 bx c的图象经过点A（ c，2） ，2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1 ）小题，要根据已知和结论中现有信

21、息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（ c，2） ”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1 ）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。12 解答 （ 1）根据yx 2 bx c 的图象经过点A（ c，2） ，图象的对称轴是x=3，2c 2.所以所求二次函数解析式为y 1 x2 3x 2.图象如图所示。

22、2（ 2）在解析式中令y=0，得1 x2 3x 2 0，解得x1 35,x2 35.2所以可以填“抛物线与 x轴的一个交点的坐标是（3+ 5,0）”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（35,0）.5令 x=3 代入解析式，得y ,2125所以抛物线y x 3x 2的顶点坐标为（3,）,225所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3, 5）等等。2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边

23、形ABCDE（如图），其中AF=2， BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030,y（件）252010,若日销售量y 是销售价x 的一次函数（ 1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（ 2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？15k b 25,【解析】

24、 （ 1）设此一次函数表达式为y=kx+b则解得 k=-1 ， b=40， ?即一次函数表达2k b 20式为 y=-x+40 （ 2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w元w= （ x-10 ） （ 40-x ） =-x 2+50x-400=- （ x-25 ） 2+225产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元【点评】 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（ 1） 设未知数在 “当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）” 的设问中，?“某某”要设为自变量， “什么” 要设为函数；（ 2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解

25、方程1. 二次函数yx2A.(2, 11)二次函数对应练习试题4x 7的顶点坐标是B.2， 7)C. ( 2， 11 ) D.2，3)2. 把抛物线y 2x2 向上平移1 个单位，得到的抛物线是(222A. y 2(x 1) B. y 2(x 1) C. y 2x 1 D.y2x2 12k3. 函数 y kx2 k 和 y (k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的 x4. 已知二次函数y2ax bx c(a 0)的图象如图所示, 则下列结论: a,b 同号 ; x 1 和 x 3 时 , 函数值相等; 4a b 0 当 y 2 时 , x 的值只能取0. 其中正确的个数是( )5. 已知

26、二次函数6. 已知二次函数A.1 个B.2 个 C. 3 个D. 42y ax bx c(a 0)的顶点坐标(-1 ， -3.2 )及部分图象(如图 ),x的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1 1.3和 x2B.-2.3C.-0.3D.-3.3ax2 bx c的图象如图所示，则点(ac,bc) 在(A第一象限C第三象限D 第四象限227. 方程 2x x 的正根的个数为()xA.0 个B.1C.2个.38. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点C, 且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. yx2 x 2B.2y x x2C. y22x x 2或 y

27、x22x 2 D. y x x 2 或 y x x 2二、填空题9二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则 b 。10 已知抛物线y=-2( x+3) 2+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是11 一个函数具有下列性质：图象过点(1 ， 2) ，当x< 0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。12抛物线y 2(x 2)2 6的顶点为C，已知直线y kx 3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数y 2x2 4x 1 的图象是由y 2x2 bx c的图象向左平移1 个单位 , 再向下平

28、移2个单位得到的 , 则 b= ,c=。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段AB上离中心M处 5 米的地方，桥的高度是( 取 3.14).三、解答题：515. 已知二次函数图象的对称轴是x 3 0 , 图象经过(1,-6), 且与 y 轴的交点为(0,).2(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 当 x 为何值时, 这个函数的函数值为0?(3) 当 x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y随 x 的增大而增大?1216. 某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式hv0tgt ( 0<t 2) ，其中重02力加速度g 以 10 米

29、 / 秒 2计算这种爆竹点燃后以v0=20 米 / 秒的初速度上升，1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？2)在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由217. 如图，抛物线y x bx c经过直线y x 3与坐标轴的两个交点A、 B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（ 1 ）求此抛物线的解析式；（ 2）点 P为抛物线上的一个动点，求使S APC：S ACD 5 ： 4 的点 P的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价

30、为260 元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7.5吨 综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元 设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（ 1 ）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（ 2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（ 3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（ 4）小静说： “当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由练习试题答案一，选择题、1 A 2 C 3A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C二、填空题、