12_定积分(1)

1、定积分定积分 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -取极限取极限” ” 的步骤的步骤. .将曲边梯形的底，即将曲边梯形的底，即a ,b进行分割进行分割( (用垂直于用垂直于x轴的直线轴的直线).).第一步第一步 分割；分割；曲边梯形的面积的解决思路：曲边梯形的面积的解决思路：a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x记记1.iiixxx 取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo)(xfy ()if

2、 高高底底ix1x1 ix1 nx2xix 典型小区域面积典型小区域面积 iS i ().iiiSfx a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面积和与曲边梯矩形面积和与曲边梯形面积不相等形面积不相等1 2 1n n 11().nniiiiiSfx 将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来有的小矩形面积加起来. .第四步第四步 取极限取极限. .当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似和越近似于于曲边梯形面积曲边梯形面积. .a bx

3、yo)(xfy 0,1,2,ixinmax0ix 11()nniiiiiASfx 112233( )()()(),nnfxfxfxfx iniixfA )(lim10 1122330lim()()()() .nnfxfxfxfx 曲曲边边梯梯形形面面积积的的近近似似值值为为: :曲曲边边梯梯形形面面积积为为当当即即小小区区间间的的最最大大长长度度趋趋近近于于零零时时分分割割无无限限加加细细12,max,(0),nxxx 设设是是定定义义在在区区间间上上的的有有界界函函数数 用用点点将将区区间间任任意意分分割割成成 个个子子区区间间这这些些子子区区间间及及其其长长度度均均记记作作在在每每一一子子

4、区区间间上上任任取取一一点点作作 个个乘乘积积的的和和式式012111( ) , ,. , ,(1,2,.),(1,2,., ).,()nniiiiiiiiif xa baxxxxxba bnxxixxxinxnfx 二、二、 定积分的定义定积分的定义1().niiifx 定义定义以直代曲以直代曲求和求和被积函数被积函数被积表达式被积表达式 , a b 为为积积分分区区间间积分上限积分上限积分下限积分下限 如如果果当当同同时时最最大大子子区区间间的的长长度度时时 和和式式并并且且其其极极限限值值与与的的分分割割法法以以及及 的的取取法法无无关关 则则该该极极限限值值称称为为函函数数区区间间在在

5、上上的的定定积积分分 记记作作的的极极限限存存在在1,max0, , , , ()(,:)niiiiifxf xnxa ba b 1(0)( )lim()nbiianif xxfx d d积分变量积分变量积分和积分和( )f xx取极限取极限即即注意：注意：( )baxfx d d( )baf t t d d( )baf u u d d(2).i 在在定定义义中中区区间间的的分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的(1),.积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关(3)( ) , ,( ) , f xa bf xa b当当

6、函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分存存在在时时称称在在区区间间上上可可积积. .xtuxtu223sin tdt 中中,积分上限是积分上限是_,积分下限是积分下限是_,积分区间积分区间是是_.2 2-2-2-2,2-2,2练一练练一练xaxby0yf(x)xaxb探究点探究点2 2 定积分的几何意义定积分的几何意义, 0)( xf( )baf x xA d d曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xfd d( )baf x xA 曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值1234( )baf xxAAAA d d 定积分的几何意义3A4A2A1A abyxO几何意义( ),;xf xxa

7、 xbxx 它它是是介介于于轴轴、函函数数的的图图形形及及两两条条直直线线之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代数数和和在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号 在在轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号 _ _abyxO思考思考 试将曲线试将曲线 与直线与直线x=0,x=4,y=0 x=0,x=4,y=0所围成的所围成的图形的面积写成定积分的形式图形的面积写成定积分的形式. .提示提示: : 0(x0(x0,40,4) )，由定积分的几何意，由定积分的几何意义知，曲线义知，曲线 与直线与直线x=0,x=4,y=0 x=0,x=4,y=0围成图形的围成图形的面积可以用定积分表示为面积可以用定积

8、分表示为yxyxyx40Sx dx.例例 说明下列定积分所表示的意义，并根据说明下列定积分所表示的意义，并根据其其意义求出定积分的值意义求出定积分的值. .102dx21xdxdxx1121(1)(1)(2)(2)(3)(3)oyx2y1解解（1 1）102dx表示的是图表示的是图中所示长方形中所示长方形的面积，由于这个长方形的面积，由于这个长方形的面积为的面积为2.2.所以所以2210dx2oyxxy 1（2 2）表示的是图表示的是图中所中所示梯形的面积，示梯形的面积，由于这个梯形的面由于这个梯形的面21xdx122积为积为 . .2321xdx23所以所以o（3 3）半径为半径为1 1的半

9、圆的面的半圆的面表示的是图中所示表示的是图中所示积，积，由于这个半圆由于这个半圆oyx1-11dxx1121的面积为的面积为 . .2dxx1121221xy所以所以【变式练习【变式练习】说明定积分说明定积分 所表示的意义，并根据其意义所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值求出定积分的值. .212xdx解析解析是图中所示三角形的是图中所示三角形的面积之差，面积之差，由于由于表示的表示的所以所以212xdx3OCDOABSS212xdx3oyxxy2-1-2224ABCDabd dd d1.bbaaxxba 性质性质1 1性质性质2 2( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa

10、 bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上上可可积积为为常常数数 则则在在上上dddd也也可可积积 且且性质性质3( ) , ,( )( ) , ,( ( )( )( )( ).bbbaaaf xg xxf xa bf xgfbx xg x xxa 若若在在上上可可积积 则则在在上上也也可可积积 且且 d dd dd d补充：补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,性质性质4 4 （积分区间的可加性）（积分区间的可加性）d dd dd d323002( )( )( ),f xxf xxf xx d dd dd d363006( )( )( ),f x

11、xf x xf x x 有有界界函函数数在在上上都都可可积积的的充充要要条条件件是是在在上上也也可可积积 且且 dddddd ( ) , , , ( ) , ( )( )( ),.bcbaacf xxf xxff xa cc bf xaxxb266032 063 2abcSacScbS2323练一练练一练-1-15 5若若 ( )( )（A A）9 9 （B B）12 12 （C C）15 15 （D D）1818【解析【解析】选选C.C.根据定积分的性质及几何意义可得根据定积分的性质及几何意义可得 =3+4=3+4(3-0)=15.(3-0)=15.（20102010福建师大附中高二检测）用

12、福建师大附中高二检测）用S S表示图中阴影部分的面表示图中阴影部分的面积，则积，则S S的值是的值是( )( ) 【解题提示【解题提示】注意注意 与图中面积的不同与图中面积的不同. .【解析【解析】选选D.D.根据定积分的几何意义可知，应选根据定积分的几何意义可知，应选D.D.设连续函数设连续函数f(xf(x) )在在a, ba, b上恒有上恒有f(xf(x)0,)0,则定积则定积分分 值的符号值的符号( )( )A.A.一定为正一定为正B.B.一定为负一定为负C.C.可能为正也可能为负可能为正也可能为负D.D.不能确定不能确定baf(x)dxB B2 2利用几何意义求定积分 解 函数 y1x

13、在区间0, 1上的定积分是以y1x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y1x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 首页 例2 例 2 用定积分的几何意义求10)1 (dxx. 211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx. 三、解答题（三、解答题（6 6题题1212分，分，7 7题题1313分，共分，共2525分）分）6.6.将下图阴影部分的面积用定积分表示出来将下图阴影部分的面积用定积分表示出来. . 【解题提示【解题提示】利用定积分的几何意义直接求解即可，不能利用定积分的几何意义

14、直接求解即可，不能直接表示出来时，要将图形适当分割，使得可以利用定积分来直接表示出来时，要将图形适当分割，使得可以利用定积分来表示表示. .【解析【解析】由由y=xy=x2 2和和y=xy=x可得它们的交点为可得它们的交点为(0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)，所以，所以图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积为4.4.（1515分）用定积分表示抛物线分）用定积分表示抛物线y=xy=x2 2-2x+3-2x+3与直线与直线y=x+3y=x+3所围成所围成的图形的面积的图形的面积. .【解析【解析】解方程组解方程组 得交点的横坐标为得交点的横坐标为x=0 x=0和和x=3.x=3.如如图，图

15、，2y=x -2x+3,y=x+3由由y=xy=x2 2-2x+3-2x+3、x=0 x=0、x=3x=3和和y=0y=0围成的曲边梯形的面积为围成的曲边梯形的面积为 由由y=x+3y=x+3、x=0 x=0、x=3x=3和和y=0y=0围成的梯形的面围成的梯形的面积为积为 ，所以所求图形（阴影）的面积为，所以所求图形（阴影）的面积为 dxx 311求求 3111111xxxxx因为因为dxxdxxdxx 311131111所以所以 3111)1()1(dxxdxx4)2()2(312112 xxxx 若被积函数是分段函数，当分段点在积若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性.说明：说明：例