弹性力学教材习题及解答

1、11.选择题a.下列材料中，_D_属于各向同性材料。A.竹材；B.纤维增强复合材料；C.玻璃钢；D.沥青。b.关于弹性力学的正确认识是_A_。A.计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B.弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设;C.任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D.弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。c.弹性力学与材料力学的主要不同之处在于_B_。A.任务；B.研究对象；C.研究方法；D.基本假设。d.所谓完全弹性体是指_B_。A.材料应力应变关系满足胡克定律；B.材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C.本构关系为非线

2、性弹性关系；D.应力应变关系满足线性弹性关系。2-1.选择题a.所谓应力状态”是指_B_。A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D.不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。界AA,AB,BB的面力边界条件。在上E上,2-2.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为工试写出墙体横截面边仃/+t中掰=一期sin4十=即cos氏2-3.作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁5=V，=横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。q得吗=_

3、15卜_2条/金力依由此，只有当当,确定.材料力学中所得到的解答才能满足平衡方程和边界条件，即为满足弹性力学基本方程的解口2-4,单位厚度的楔形体，材料比重为%楔形体左侧作用比重为刀的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。2-5,已知球体的半径为r,材料的密度为Pi,球体在密度为科（RPi）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。沉入液体部分（/%）面力F=-G/-*，边界条件为-F)+y丁股+Q一玲=0,kt中-F)+(z-r)=0,工r糕+yr芦+Q一/)(仃青一9)=&未沉入液体中的部分z=0其中ai和bi为常数，试求应变分量，并且指出上述位移是否满足变形协调条件。应变分量为

4、/中二饱+七，=七=07=%+23兀+&5乂殍=&)+1兀+2”,与=0y町=&+&)+&+冽。%+(2%+2勺1瓦=0所得应变分量为常数或者为登y的线性函数，显然能够满足变形协调条件口5-5.已知弹性体的位移为u-_34ay-02+av=/?(a;v)+Bz1-Dxz-ctx-/z+bw=八(r,y)-(2Ax+2fiy+C)z+flx+yy+C其中A,B,C,a,b,c,%P,尸为常数，试求应变分量。铝+笠金-珍邑=-(24+2为+C)6-1.选择题a.下列关于刚体转动”的描述，认识正确的是_A_。A.刚性转动描述了微分单元体的方位变化，与变形位移一起构成弹性体的变形;B.刚性转动分量描述

5、的是一点的刚体转动位移，因此与弹性体的变形无关;C.刚性转动位移也是位移的导数，因此它描述了一点的变形；D.刚性转动分量可以确定弹性体的刚体位移。b.下列关于应变状态的描述，错误的是_AA.坐标系的选取不同，应变分量不同，因此一点的应变是不可确定的。B.不同坐标系下，应变分量的值不同，但是描述的一点变形的应变状态是确定的。C.应变分量在不同坐标系中是变化的，但是其内在关系是确定的。D.一点主应变的数值和方位是不变的。6-2.已知物体内部某点的应变分量为a=10-3,为=5M0-4,&=10-4,38X10-4,36X10-4,及=-4X10-4试求该点的主应变和最大主应变1的方位角。与=0.0

6、0122,鼻=0000495=-0,0003174=0.862,=0.503=0.0586-3.平面应变状态下，如果已知0,60o和1200方向的正应变，试求主应变的大小和方向。/十卷+*期J-/J+扃一用J十国切丫6-4.圆截面杆件两端作用扭矩，如图所示，其位移分量为u=-zy+ay+bz+cv=zx+ez-dx+fw=-bx-ey+ka,b,c,d,e,f和k。设坐标原点O位移固定，试按照下列转动位移边界条件分别确定待定系数a.微分线段dz在xOz和yOz平面内不能转动；c.微分线段dx和dy在xOz平面内不能转动。其中为材料弹性常数，试检验上述应变分量是否满足变形协调条件和边界条件。W，

7、一应变分量满足变形协调条件，位移分量为沙-吁五产5-2UVW6 6.解：首先计售应变不变量，并解三枚方程，求得主应变值为耳二015兴19之用-0.0433X10-3,丐=-0.0833xior为求解主应变方向，利用F列方程组：；了,+:心力+（鼻一备卜=0将=可代入上式，第一式自然满足，其余两个方程式为-019%+00网=0。,06%-。15%=0以上两式的唯一解为啊=为=0.为满足/：+附？+烦=1,则有4=1,即与的方向余弦为(b0,D).将代入前面方程式，得0106%=0-0.083而a+0一。6吨-00.05加0.0433n2=0由第一式得=0.由第二、三式可得叼=1.3部外.再由y+

8、濯+/；=1得据+1.38中裾=1,由度式求得性=0,585,而遹=1,充步为二03110即付的方向余统为(0,0585,0.311)n同样可求得金的方向余弦为(0,-0311,0$85M7-1.选择题a.变形协调方程说明_B_OA.几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的;B.微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；C.变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；D.变形是由应变分量和转动分量共同组成的。7-2.如果物体处于平面应变状态，几何方程为试证明对于单连域物体，位移的单值条件为应变分量满足变形协调方程杼人济人rr证据由解出的几何方程可求得代

9、号h痴3=a%=s3v4a%疗牖尸双s?旷a曲a/勤方步由魄到上式即粳嬲调条件由此可犯几何方程的脑必婀融协助程泌要性.)为证明其充分性，应协调条件成立，则必定存在力匕而且在域内是单墓连续函数.在求R时,需先求包利里，而生可由几何方程得到口为求电，沿通过坐标原点西点汽盯)的某分进行积分,打砂dy并应用几何方程,则得血由乙3加一d.du.,c5 =M不十、1瓦行)心+不写即+G-名即”QXCy7噜力+1誓噜坟）+G这庾上式的积分在单连域内与路径无关，必须满足即成%+求邑_3%dx2如之dxdy上式即为协调条件，亦即满足防调条件时也可以唯一地被确定.因此，可以计售&，即3y对于隹续函戴，求导戴时与微

10、分W页序无关，故上煮是海足的.因此，可以唯一地确定.用同样的方祛可以证明，只要满足变形协调条件，可以唯一地确定v(充分性).由以上证明可知，变形协调条件是确定认瑞同、曾仁川有解的必要与充分条件。7-3.已知物体某点的正应变分量&,马和邑试求其体积应变。6 =/+邑+小7-4.已知物体某点的主应变分量a,&和电,试求其八面体单元切应力表达式。n+&-片J+(邑一问)7-5.已知物体变形时的应变分量为x=A0+Ai(x+y)+x+y:一2244y=B0+Bl(x+y2+x2+y.。三二；-匚xy=Co+Cixy(x+y+C2)好当尸0而系数玲、Bq、品可为任意常数.试求上述待定系数之间的关系。7-

11、6.已知椭圆截面柱体在扭矩作用下产生的应变分量为2.W7试证明上述应变分量满足变形协调方程。8-1.选择题a.各向异性材料的弹性常数为_D_。A. 9个；B. 21个；C. 3个；D. 13个；b.正交各向异性材料性质与下列无关的是_B_。A.拉压与剪切、以及不同平面的剪切变形之间没有耦合作用；B.具有3个弹性对称面；C.弹性常数有9个；D.正交各向异性材料不是均匀材料。8-2.试推导轴对称平面应力（氏=0）和轴对称平面应变问题（0=0）的胡克定律。8-3.试求体积应力。与体积应变8得关系。8-4.试证明对于均匀材料，独立的弹性常数只有21个。8- 5.试利用正方体单元证明，对于不可压缩材料，

12、泊松比v=0.5。8-2轴对称平面应力问题的前克定律为轴对称平面应变何题的胡克定律为8-39-1.选择题a.对于各向同性材料，与下列性质无关的是_D_。A.具有2个弹性常数；B.材料性质与坐标轴的选择无关；C.应力主轴与应变主轴重合；D.弹性常数为3个。9-2.试利用拉梅弹性常数，和G表示弹性模量E,泊松比v和体积弹性模量Ko9-3.试利用应力转轴公式和胡克定律推导轴对称问题的胡克定律。9- 4.钢制圆柱体直径为d=100mm,外套一个厚度d=5mm的钢制圆筒，如图所示。圆柱体受轴向压力F=250kN作用，已知钢的弹性模量E=210GPa,泊松比v=0.3,试求圆筒应力。9-5.已知弹性体某点

13、x和y方向的正应力为6=35MPa,oy=25MPa,而z方向的应变里=0,试求该点的其它应力分量9-223G(32+2G)25-1 +Gr_Nl2(7+59-3轴对称问题的胡克定律为ng一(%*%八1Iq胃高口工旌叮科+)J9一49-551rssb.=8.9227/mm阿病，；=1103X1Q-6.v=455X1010-1.半无限弹性体表面作用集中力F,试用应力函数%=CyzInp+C3(p7+z3)2+C卢In-(p2+z2)2+z求解应力和位移分量。户01(1-2/)。+/*2nEpi+/尸+2(_*)(/+舟口+z3)2-1+1pz(p1+2)2，1-2,(1+m)用2k(1-*W跖p

14、10-2.圆柱体的侧面作用均匀压力，两个端面作用均匀压力，如图所示。试用应力函数5=C1P2z+C2z3求解圆柱体的应力分量，并且计算圆柱体的体积改变。%=%一的，q=/，%=o=一+g?).工在水平表面作用均匀分布的压力u-0Tv=0,q,如图所示。10-3,半无限空间物体，材料的比重为试用位移法求解半无限体的应力和位移。加面T)+2式力-040Q-闺(P%*=与厚壁筒的结果一致.17-4181.内半径为a,外半径为b的圆环板，在P=a处作用有均匀压力pi,在P=b处作用有均匀压力pe。试用复位势函数5f(z)=Az中(z)=B/z求解圆环的应力和位移。182.已知复位势函数中f(z)=Cz

15、2W(z)=2Cz3其中C为常数，试求上述复位势函数对应的应力状态。183.设复位势应力函数中f(z)=Azlnz+Bz中切=。2试用上述复位势函数求解图示曲梁的纯弯曲问题。已知曲梁的内半径为a,外半径为boMV18-4.已知开口圆环的内半径为a,外半径为b,圆环在外部因素的影响下由封闭错动一个很小的角度x设复位势应力函数中f(z)=Azlnz+Bz(Z(z)=C/z试用上述复位势函数18-1.3-vBy42-)=-A-4p-7-i-/2。-切用4“18-218-4.如不考虑刚体转动,0,7.=7平=0.表示矩形板纯弯曲应力状态.位移公式2G1+V圆环转动错位角闭合，令口=值。，则0gM-/史

16、-船皆伽竽18-3主要边界条件为，当QX凡#=2时，cr=Opt=0.fe1r因此曲杆纯弯曲端面边界条件A2Mz，22y求解可得Bl=Kb2-鼻与+2(/如万一/42)4TLs4tlc-(3-v)ln/7+(1-v)cos(p-i(3-v)lnp+2sin仍一47r19-3篁口”M14GTr7平面应力）19-4.外+%=15月（炉一-164（3尸一尸，b与工244*/+/）-244火/+”404（1-3疗）-40易（3dy%=124（，+/）+124MM+/）+20为0/,/）+20与（-3xy2）.对于平面应力状态20（a+iv）-（4+必）-4（4一送鼻）2工_5（/_i易）三1+v20-

17、1.无限大板在无穷远处承受双向均匀拉伸载荷q的作用，板的中心有一个椭圆孔,图所示。已知椭圆的长轴和短轴分别为a和b,试求孔口应力。20-2.无限大板在无穷远处承受均匀剪力q的作用，板的中心有一个椭圆孔，如图所示。已知椭圆的长轴和短轴分别为a和b,试求孔口应力。q20-3.半径为a的圆形板，承受一对径向集中力F的作用，如图所示。试求径向力作用线的应力分布。20-12gsinh24co台h2备-cos2灯最大应力为20-2.八楙sin2:cosh2其cos220-3设取6=-1:1(1+a2ka2ttg27raAnazka元轴上的应力分布为F4FT八吗一，=oJKJf(1-iaJTLCf21-1.

18、无限大板在无穷远处承受均匀拉伸载荷q的作用，板的中心有一个椭圆孔，已知椭圆的长轴和短轴分别为a和b,椭圆的长轴与载荷作用线的夹角为P,如图所示。试求孔口应力。21-2.无限大板的内部有一个椭圆孔，已知椭圆的长轴和短轴分别为a和b,椭圆孔的周边作用有均匀分布的压力载荷p,而无穷远边界应力为零，如图所示。试求板内的应力。21-3.无限大板在无穷远边界作用有均匀分布的载荷仃,板的内部有一个长度为2a的裂纹,裂纹面与载荷作用线夹角为a,如图所示。试求0（=90和a=45o时，裂纹两端的应力近似解。21K-M函数为勘COS2CQ5h+Q一巳瑞丹地）!班1司力=一会侦。曲砥一8曲2产）尹:一品3112-备

19、一1户）孔边的应力sinh2a+cos2ff-巳端cos2(67)cosh2务-cos2n21cosh25)-cos2721-3.在裂纹尖端应力分量为0,C7SinC!cos(1-sin-sin茏)sina-sin(2+cos-cos-)cos2,2p222222审=CTsinCEcos(1+sinsin-)sinc;+sin-coscos-csat222222sincoscos-sina+cos(1-sinsin-)cosce.2/722222222-1.选择题a.下列关于柱体扭转基本假设的叙述中，错误的是_。A.横截面的翘曲与单位长度扭转角成正比；B.柱体扭转时，横截面上任意线段在坐标面的

20、投影形状和大小均不变；C.柱体扭转位移与横截面的位置坐标无关；D.柱体扭转时，横截面形状和大小不变。b.根据扭转应力函数在横截面边界为零的性质，不能求解问题。A.圆形横截面柱体；B.正三角形截面柱体；C.椭圆形截面柱体；D.厚壁圆筒。c.下列关于柱体扭转应力函数的说法，有错误的是_。A.扭转应力函数必须满足泊松方程；B.横截面边界的扭转应力函数值为常数；C.扭转应力函数是双调和函数；D.柱体端面面力边界条件可以确定扭转应力函数的待定系数。22-2.试证明函数中f=m（正-a2）,可以作为扭转应力函数求解实心或者空心圆形截面杆件问题。22-3.受扭矩作用的任意截面形状的杆件，在截面中有一面积为S

21、i的孔，若在内边界上取中fsi=const,外边界上取中f=0,试证明：为满足边界条件，则7=2JJ叭由你+2中日S22-4.试证明：按照位移法求解柱体扭车t问题时的位移分量假设u=-5zyv=zx在小变形条件下的正确性。221.a.D.b.D.c.C.22- 2.23- 3.22-424- 1.选择题a.下列关于薄膜比拟方法的说法，有错误的是A.薄膜作用均匀压力与柱体扭转有类似的微分方程；B.柱体横截面切应力方向与薄膜等高线切线方向一致；C.由于薄膜比拟与柱体扭转有相同的微分方程和边界条件，因此可以完全确定扭转应力；D.与薄膜等高线垂直方向的切应力为零。23-2.已知长半轴为a,短半轴为b的

22、椭圆形截面杆件，在杆件端部作用着扭矩T,试求应力分量、最大切应力及位移分量。23-3.试证明函数cos0-M)可以作为图示截面杆件的扭转应力函数。求其最大切应力，并与B点(P=2a3=0)的切应力值进行比较。23-4.试证明翘曲函数中f(x,y)=m(y3-3x2y)可以作为图示正三角形截面杆件扭转应力函数，并求最大切应力。23-l.a.C.23-2.设牝=皿7+瓦7)有m=2面+产）CT端部的边界条件m=兀如应力分量为2T2T%=一元7乂%=元拓五最大切应力为2TIDXEnab23-3.23-4提示和答案；截面的边界方程为8线x-a=OEC襄x+=0BD线a+币y=0.最大剪应力在工=4y=

23、0处，其值为157%=0725- 1.选择题a.根据矩形截面柱体推导的开口薄壁杆件扭转切应力，问题的分析基础与描述无关。A.开口薄壁构件是由狭长矩形组成的；B.组成开口薄壁杆件的各个狭长矩形的扭转角相同；C.组成开口薄壁杆件的各个狭长矩形承受的扭矩相同；D.组成开口薄壁杆件的各个狭长矩形承受的扭矩等于外力矩。24-2.图示各个开口薄壁杆件，承受到扭矩均为T=5Nm,试求最大切应力。24-3.薄壁杆件承受扭矩及单位长度的扭转角。T的作用，若杆件壁厚均为s,截面如图所示。试求最大切应力24-4.薄壁杆件承受扭矩T的作用，若杆件壁厚均为d,截面如图所示。试求最大扭转切应力及单位长度的扭转角。24-5

24、.薄壁圆管半径为R,壁厚为6,如图(a)所示。如果沿管的母线切一小的缝隙，如图(b)所示。试比较这两个薄壁管的抗扭刚度及最大扭转切应力。空隙24-1.a.C24-2(a)2.335N/mm(b)0974N/mm2；24-3中间管壁内丁=o,其余管壁汇=伊-二V24-4_T_T*，砂蒜324-57_3).(%)BUM_一变251.两个直径均等于d的圆柱体，受到一对集中力F=100kN的作用如图所示。已知两个圆柱体接触区域的最大应力a=800MPa,弹性模量E=200GPa,试确定圆柱体的直径do252.火车的车轮与轨道的接触如图所示。已知车轮到半径Ri=500mm,轨道的曲率半径R2=300mm

25、,车轮对于轨道的接触压力为F=5kN,材料的弹性模量E=210GPa,泊松比v=0.3。试求最大接触应力。25-3.已知集中力作用于半无限弹性体的表面O点，试证明半无限弹性体的应力分布特征为：通过O点的所有圆球面上，各个点的主应力相等，均为3F2rcd其中,d为圆球直径。25-125-2仃42Mpa25-3261.已知厚壁圆筒的内径为a,外径为b,温度变化为轴对称的，设内壁温度为Ti,外表面温度为丁2,如图所示。试求此时温度分布的规律。bTxJTi26-2.周边自由的矩形薄板条，其厚度为1,高度为律求出板中的应力。式中To,Ti,T2均为常数。2h,如图所示。试按如下温度变化规h26-3.已知

26、半径为b的圆板，在圆板中心有一个能够供给强度为W的热源，在边缘P=b处，温度T=0。试求圆板的都应力ap仃cp及位移u,v的表达式，并分析P=b处的位移。26-4.已知薄板厚度为6,上下表面的温差为T,温度在板厚度6方向按线性变化规律.设D为板的弯曲刚度，其表达式为ES1n=12(1-求此时板中最大的应力Omaxo26-1In巨In一26-2y1公叮二诏纥/一彳曲说；h3b)4=Q;d)5,=o；26-3.板内的温度除在=8外，应满足7?7=0的条件，在轴对称情况下，这个条件的解为T=Cln热弹性位移势0的特解为不(1+丫心郎2Lfber1+ln.ip应力分量为日cldEE笈犷bt、q=-2G

27、=(21n+1)pdp82kp月平丽LibAd/?aau占p位移分量为u二=2In+1d/782n方hv=0,因此，在Q=0处，径向位移Q=6处径向位移打，力仃口=p=-二丝，上述解不满足自由圆板边界条件.*8而5=(1+v)a,径向应为了使边缘处径向应力等于零，需餐加各向均匀拉伸的应力状态，即=EWa=%=%-，7”=0顼测均匀拉伸应力状态所对应的位移分量为=1-v1-vEWau=pp=aE痴3最终的应力状态为=b；(7=(7+c7=-Hl一PF44元3p最终的位移分量为_=城U-u+u-(b+p)+-p),sAiidv=0在外边缘处的径向位移为L黑.26-4.aETa=2(W的作用，如图所

28、示。设应力函数为27-1.矩形薄板，三边固定，一边承受均匀分布压力22廿次工F试用能量法求应力分量。272.试对两端简支，两端固定，一端固定另一端自由，以及一端固定另一端简支的四种静定梁基本形式，选择典型的挠曲函数求解。273.同一弹性体的两种受力状态，如图所示。设AB的长度为1,试求:1 .物体在静水压力q作用下的应变分量；2 .物体在一对等值反向的压力F作用下的体积变化。274.假设在线弹性体中某一单元有应力。1,51,其余应力分量为零。试证明，无论由那种加载过程达到这种应力状态，单位体积的应变能均相同。O527-1.6036+160+21-b2b做“竽+写(诔22ab606636T6哈喝亚力分篁60对36+1呜+2孽60-2T，36+1601+2当/5*120“36+160+21L4L4一并h之即sin1/27-2.*、一口.2nx.3tkw(x)=axsin丁+劭sin中曲sinj/评(初-dUX3-X)3+乐工“J-W”,、八2m、门4兀r、6jdt.w(x)=/Q一cos-j)+鼻*Qcosj)+(s3(l-cos)+二4(三)w(x)=以3工+a3