差分运算与差分表

1、差分Difference style U i n t a g e U i n t a g e 11U i n t a g e Colleater1差分运算U i n t a g e 2差分表411Pass one110101PASS 01PASS 01差分的作用差分的作用The best quality for youThe best quality for you客观世界许多变量本身就是离散的(如酵母细胞的分裂,股市的开盘或收盘价的按日记录等),它们表现出的函数关系也是离散的;现实世界中存在着大量的连续函数关系难以用解析式表示(如河流水位的高低作为时间的函数等),人们只能测得其一系列值而得到

2、一个数列;有些函数关系尽管能用解析式表示,但其解析式比较复杂(如捕食与被捕食种群数的变化、接触性传染病的传播等).在不妨碍研究结果有效性的前提下,为了方便,人们也愿意把对连续函数的研究转化为对数列的研究.而计算机技术的发展,更为数列的研究提供了方便,使数列模型的应用也日趋广泛.110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01差分的定义差分的定义110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01记记M = f | f :N0C 。定义。定义M上的上的E f (n)= f

3、(n+1). 同样定义同样定义Ek f (n) = E ( Ek1 f (n) ) = f (n+k)。 记记I = E0 f (n) = f (n)为为恒等算子。恒等算子。 则有则有 = E - -I ，E = I + + 。 差分的定义差分的定义110101定理定理4.44.4设设f M，则有公式，则有公式 (i) ( )(EI)( )kkf nf n0 ( 1)E( )kk iiikf ni 0( 1)() kk iikf nii (ii) ()E( )(I)( )kkf nkf nf n0( ) kiikf ni 110101Brief introductionBrief introd

4、uctionPASS 01PASS 01对实数域对实数域R上的任一函数上的任一函数f(x), 定义定义f(x) 的的差分算子差分算子 为：为： f (x)= f (x+1) - - f (x) . f 称为称为f 的的一阶差分一阶差分。 对对k 1，定义，定义 k f = ( k1 f )为为f 的的k阶差分阶差分。定理定理4.5 设设 f (x)是一个是一个n次多项式，则次多项式，则 n f 是常数，且是常数，且 n+1 f =0.110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01定理定理4.6 4.6 设设m m k k, ,

5、则则11Pass two110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01设设f (x)是实数域是实数域R上的任一函数，下面的数值表称为上的任一函数，下面的数值表称为 f (x)的的差分表差分表f (0) f (1) f (2) f (3) f (0) f (1) f (2) f (3) 2 f (0) 2 f (1) 2 f (2) 2 f (3) k f (0) k f (1) k f (2) k f (3) 差分表差分表110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS

6、01定理定理4.8 设设p(x)是一个是一个n次多项式，则次多项式，则0( )(0) (0)(0)(0).01nknkxxxxp xppppkn 证证 由定理由定理4.5, x(x1)(x m+1)/m! 的差分表的左边的差分表的左边沿值为沿值为0, 0, , 0, 1, 0 , 0( )(0)nmmxh xpm的差分表的左边沿值是的差分表的左边沿值是p(0), p(0) , np(0), 0, p(x)的差分表有相同的左边沿值的差分表有相同的左边沿值p(0), p(0) , np(0), 0, 110101Brief introductionBrief introductionPASS 01

7、PASS 01定理定理4.9 设设p(x)是一个是一个n次多项式，则次多项式，则101( )(0).1mnktkmp tpk 证证 由定理由定理4.8, 11001( )(0)(0).mmnnmkkttkktttp tppkk 因为因为11,1mtmktk110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01例例2 2 h h2 2( (n n) )表示一平面被表示一平面被n n条条位于一般位置的直线位于一般位置的直线（每（每两条直线交于一点，没有三条交于一点）所划分的区两条直线交于一点，没有三条交于一点）所划分的区域数；域数； h h

8、3 3( (n n) )表示三维空间被表示三维空间被n n个个位于一般位置的平面位于一般位置的平面( (每两个平面交于一条直线，没有三个平面交于一条直每两个平面交于一条直线，没有三个平面交于一条直线，每三个平面交于一点，但没有四个平面交于一点线，每三个平面交于一点，但没有四个平面交于一点) )所划分的区域数。所划分的区域数。 试求试求 h h2 2( (n n) )， h h3 3( (n n). ).110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01解解 用用h1(n)表示一条直线被表示一条直线被n个不重合的点所划分的个不重合的点

9、所划分的线线段数段数。有。有 h1(0)=1, h1(1)=2, h1(2)=3, h1(n)=n+1. 考虑一平面被考虑一平面被n-1条条位于一般位置的直线位于一般位置的直线划分成划分成h2(n-1)个区域个区域. 在平面内插入第在平面内插入第n条直线使其位于一般位置。条直线使其位于一般位置。 h2(n)=h2(n-1)+h1(n-1) 或或 h2(n)h2(n-1)=h1(n-1)= h2(n-1)这个式子表明这个式子表明h2(n)的差分表可从的差分表可从h1(n)的差分表得到的差分表得到.方法是在方法是在h1(n)的差分表的上面排出新的一行的差分表的上面排出新的一行 h2(0), h2(

10、1), h2(2), 110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01现在考虑三维空间被现在考虑三维空间被n个个位于一般位置的平面位于一般位置的平面划分划分成成h3(n-1)个区域，在这个空间中插入第个区域，在这个空间中插入第n个平面使个平面使其位于一般位置。先前的其位于一般位置。先前的n-1个平面与第个平面与第n个平面交个平面交于于n-1条直线条直线.这这n-1条直线在第条直线在第n个平面上位于一般位置，它们把个平面上位于一般位置，它们把第第n个平面分割成个平面分割成h2(n-1)平面区域。而每一个这样平面区域。而每一个这样平面

11、区域把该平面所路过的空间区域分成两个空间平面区域把该平面所路过的空间区域分成两个空间区域。于是区域。于是 h3(n)=h3(n-1)+h2(n-1) 或或 h3(n)h3(n-1)=h2(n-1)= h3(n-1)110101Brief introductionBrief introductionPASS 01PASS 01 h3(n)=h3(n-1)+h2(n-1) 或或 h3(n)h3(n-1)=h2(n-1)= h3(n-1).这个式子表明这个式子表明h3(n)的差分表可从的差分表可从h2(n)的差分表得到的差分表得到.方法是在方法是在h2(n)的差分表的上面排出新的一行的差分表的上面排出新的一行 h3(0), h3(1), h3(2),用用h1(n)的差分表可得到的差分表可得到h2(n), h3(n)的差分表的差分表h3(0) h3(1) h3(2) h3(3) h2(0) h2(1) h2(2) h2(3) 1 2 3 4 1 1 1 1 0 0 0 0 110101Brief introductionBrief introduction