大学物理机械振动机械波

1、 一一 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系（特别是相位）的物理意义及各量间的关系. . 二二 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法，描述简谐运动的旋转矢量法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析并会用于简谐运动规律的讨论和分析. . 三三 掌握掌握简谐运动的基本特征，能建立简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义解其物理意义. . 四四 理解理解同方向、同频率简谐运动的合同方向、同频率简谐运动的

2、合成规律，成规律，了解了解拍的特点拍的特点. . 五五 了解了解阻尼振动、受迫振动和共振的阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律发生条件及规律. . 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动. . 机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动. . 其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动. . 周期和非周期振动周期和非周期振动 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等及晶体中原子的振动等. .引引 言言 简谐振动简谐振动 最简单、最基本的振动

3、最简单、最基本的振动. .谐振子谐振子 作简谐振动的物体作简谐振动的物体. .简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解kl0 xmoAA1 弹簧振子弹簧振子00Fx4-1 简谐振动简谐振动一一 简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程平衡位置平衡位置makxF0dd222 xtxmk2令令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo2 单摆单摆lmoA)cos(mtlg2令令Fmg转动转动正向正向sin,5时时tmamg sin mldtdmlml220sin lg02 tx图图tv图图ta图图T

4、AA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa二二 谐振动的速度和加速度谐振动的速度和加速度简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征xa24 4）加速度与位移成正比而方向相反）加速度与位移成正比而方向相反0dd222 xtx2 2）简谐运动的动力学描述）简谐运动的动力学描述)sin(tAv)cos(tAx3 3）简谐运动的运动学描述）简谐运动的运动学描述mk弹簧振子弹簧振子lg单摆单摆kxF1 1）物体受线性回复力作用）物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 xImgl复摆复摆)cos(tAx1 1 振幅振幅ma

5、xxA 2 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 圆频率圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意tx图图AAxT2Tto三三 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量( (三要素三要素) )1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系;),(vxt3 相位相位 (位相位相,周相周相)t物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态月相月相: 新月新月, 娥眉月娥眉月, 上弦月上弦月, 满月满月, 下弦月下弦月, 残月等残月等娥眉月娥眉

6、月上弦月上弦月下弦月下弦月满月满月)cos(tAx22020vxA00tanxv四四 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto例例4-1 一轻弹簧一轻弹簧,下挂质量为下挂质量为10g 的重物时的重物时,伸伸长长4.9cm.用它和质量用它和质量80g小球构成弹

7、簧振子小球构成弹簧振子.将小球由平衡位置向下拉将小球由平衡位置向下拉1.0cm 后后,给向上初给向上初速度速度v=5.0cm/s.求振动周期及振动表达式求振动周期及振动表达式.解解: 取向下为取向下为x轴正向轴正向.15 s振动方程为振动方程为 x=0.0141cos(5t+ /4)(SI)例例4-2 如图所示，一边长为如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分的高度为水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压。今用手将木块压下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏性阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面性阻力，并

8、且水面开阔，不因木块运动而使水面高度变化，证明木块作谐振动。高度变化，证明木块作谐振动。bXmg证明：证明：浮F以水面为原点建立坐标以水面为原点建立坐标OXx022xbgdtxd0222xdtxd)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）4-2 谐振动的能量谐振动的能量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE

9、 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21 例例4-3 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）s314. 0T（2）（3）max,kEE J100 . 23（4）J100 . 23max,kEcm707. 0 x 解：设棒长为解：设

10、棒长为2R, 质量为质量为m，在，在棒扭动时棒扭动时, 其质心沿其质心沿 上下运动。上下运动。因扭动角度因扭动角度 很小，可近似认为很小，可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度细棒在水平面内转动。扭动角度为为 时时, 细棒在水平面内转动角度细棒在水平面内转动角度为为 ，OORl OO 例例4-4 一匀质细杆一匀质细杆AB的两端的两端, 用长度都为用长度都为l 且不计质且不计质量的细绳悬挂起来量的细绳悬挂起来, 当棒以微小角度绕中心轴当棒以微小角度绕中心轴 扭扭动时，求证其运动周期为：动时，求证其运动周期为： 。glT3/2 O OABlcpmghE 2)(21dtdIEk 0322 lgdtd

11、)cos1( lhc思考思考: :如何利用转动定律求解如何利用转动定律求解? ? 例例4-5 劲度系数为劲度系数为k、原长为、原长为l、质量为、质量为m的均的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。lxMXsdsO 解：平衡时解：平衡时O 点为点为坐标原点。物体运动坐标原点。物体运动到到x 处时，弹簧固定端处时，弹簧固定端位移为零，位于位移为零，位于M 一一端位移为端位移为x。当物体。当物体于于x 处时处时,弹簧元弹簧元 ds 的质量的质量 , 位移为位移为 速度为速度

12、为 lmdsdm/ lsx/dtdxls0322 xmMkdtxdxoAcos0Ax 当当 时时0t0 x4-3 谐振动的旋转矢量投影表示法谐振动的旋转矢量投影表示法xoAtt t)cos(tAx时时 以以 为为原点的旋转原点的旋转矢量矢量 在在 轴上的投影轴上的投影点的运动为点的运动为简谐运动简谐运动. .xAo)cos(tAx 以以 为为原点的旋转原点的旋转矢量矢量 在在 轴上的投影轴上的投影点的运动为点的运动为简谐运动简谐运动. .xAo （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图txAAx2AtoabxAA0讨

13、论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相 例例4-6 如图所

14、示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；m/ xo0.05

15、 （1 1） 时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xvx处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求 例例4-7 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01. 0m08. 0s4m04. 0Ox （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间. .m04. 0 x 例例4-8 一质点在一质点在X轴上作简谐运动轴上作简谐运动, 选取该质点选取该质点向右运动通过向右运动

16、通过A点时作为计时起点点时作为计时起点,经经2s后质点后质点第一次经过第一次经过B点点, 再经过再经过4s后第二次经过后第二次经过B点点, A和和B处的速率相同处的速率相同,且且AB=12cm, 求振动方程求振动方程. 法二法二: 旋转矢量法旋转矢量法 法一法一: 解析法解析法 11A1xx0一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后

17、仍为简谐简谐运动运动4-4 谐振动的合成谐振动的合成xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx三三 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成 )cos(1111 tAx)cos(2222 tAx两个同方向的谐振动两个同方向的谐振动, 角频率分别为角频率分别为

18、 和和 ,且且 略大于略大于 , 1212t时刻两分振动的旋转矢量之间的夹角为时刻两分振动的旋转矢量之间的夹角为:)()(1212 t与时间有关与时间有关 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .角频率角频率振幅振幅maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtx一一 阻尼振动阻尼振动)cos(tAext22022022TvCFr阻尼力阻尼力mk0mC 2固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数阻力系数阻力系数4-5 阻尼振动阻尼

19、振动 受迫振动受迫振动 共振共振otx三种阻尼的比较三种阻尼的比较阻尼振动位移阻尼振动位移-时间曲线时间曲线AAtOx)0(220)cos(tAext0dddd22kxtxCtxm220 b b）过阻尼）过阻尼220 a a）欠阻尼）欠阻尼220 c c）临界阻尼）临界阻尼tAeTabctAetcos驱动力驱动力tFkxtxCtxmp22cosdddd二二 受迫振动受迫振动( (周期性外力持续作用周期性外力持续作用) )mk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(p0tAteAxt2p22p204)(fA2p20p2tg驱动力的角频率驱动力的角频率瞬态解瞬态解稳态解稳态解PAo共振频率共振频率)cos(ptAx2p22p204)(fA0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼220r2共振共振频率频率220r2fA共振共振振幅振幅0ddpA阻尼阻尼0三三 共振共振tfxtxtxp2022cos