多元函数概念学习教案

1、会计学1多元多元(du yun)函数概念函数概念第一页，共29页。（1）邻域(ln y)一、多元(du yun)函数的概念点 P0 的去心邻域记为第一节、多元函数的基本概念第1页/共28页第二页，共29页。设有点集 E 及一点(y din) P : 若存在(cnzi)点 P 的某邻域 U(P) E ,若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含属于E的点也含不属于E则称 P 为 E 的；则称 P 为 E 的 ;则称P为E的 .的点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 第2页/共2

2、8页第三页，共29页。若对点P 的任一去心E邻域(ln y)内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的. 内点一定(ydng)是聚点； 边界点可能是聚点,也可能不是聚点； 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E思考：边界点一定是聚点？第3页/共28页第四页，共29页。D 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为； 若点集 E 的余集(y j)EC 为开集, 则称 E 为闭集； 若点集 D 中任意两点都可用一完全属于(shy) D 的折线相 连 , 开区域连同它的边界一起称为.则称 D 是 ; 连通的开集称为 ,简称 ;。 E 的边界点的全体称为 E 的, 记作E ; 对于平面点集E , 若存在正

3、数 r, 使得EU（O，r）， 其中O是坐标原点， 则称 E 为 , .否则称为第4页/共28页第五页，共29页。开区域(qy)闭区域(qy) 开集、不是区域 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；第5页/共28页第六页，共29页。n 元有序数组的全体(qunt), 中的每一个(y )元素称为(chn wi) 的称为该点的第 k 个 .记作即, 当所有坐标称该元素为 中的,记作 O .定义了线性运算的集合 称为 nRnR第6页/共28页第七页，共29页。的距离(jl)记作中点 a 的 邻域(ln y)为规定(gudng)为 ),(R21nnxxxx 中中的的点点与零元 O 的距离为nR第

4、7页/共28页第八页，共29页。（4）二元函数(hnsh)的定义例1 求 的定义域解: 01|3|222yxyx 22242yxyx即所求定义域为 D= (x, y) | 2x2+y24, xy2 . 第8页/共28页第九页，共29页。（5） 二元函数 的图形),(yxfz （如右图）二元函数(hnsh)的图形通常是一张曲面.第9页/共28页第十页，共29页。二、多元(du yun)函数的极限),(yxfz 定义(dngy) 设函数的定义域为是其聚点，如果(rgu)存在常数A，对于任意给定的正数 ，总存在正数，使得当 时都有成立，则称A为函数当，时的极限，记为 （或也记作或第10页/共28页第

5、十一页，共29页。（1）所谓是指当动点从四面八方以可能有的方式和路径趋于定点时，函数都趋于。这是与一元函数极限的本质差异。（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算(yn sun)法则与一元函数类似，并具有如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等性质。说明(shumng)：第11页/共28页第十二页，共29页。证01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当 时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立例2 用定义(dngy)证明 第12页/共28页第十三页，共29页

6、。例3: 求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解: 其中(qzhng) 所以(suy) yxu2 第13页/共28页第十四页，共29页。证: 取,3kxy 其值随k的不同(b tn)而变化. 故极限(jxin)不存在. 26300limyxyxyx 例4: 证明 不存在. 练习： 证明 不存在 2200limyxxyyx 第14页/共28页第十五页，共29页。确定(qudng)极限不存在的方法：),(yxf),(yxf),(000yxP（2）找一种趋近方式，使也可断言在点处极限不存在不趋于任何值，则当P(x,y)趋于(0,0)时，经常选特殊路径y=k x,若在此路径下，f(x,y

7、)趋于与k有关的值，则可断言极限(jxin)不存在。第15页/共28页第十六页，共29页。三、多元(du yun)函数的连续性例5 讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性第16页/共28页第十七页，共29页。 多元初等函数(hnsh)：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数(hnsh)经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数(hnsh)叫多元初等函数(hnsh)一切多元初等函数在其定义区域(qy)内是连续的定义区域(qy)是指包含在定义域内的区域(qy)或闭区域(qy)例6 求第17页/共28页第十八页，共29页。四、 有

8、界闭区域(qy)上连续函数的性质（1）有界性与最大值最小值定理(dngl) 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定(bdng)在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值第18页/共28页第十九页，共29页。多元函数(hnsh)的定义多元函数(hnsh)极限的概念（注意趋近(q jn)方式的任意性）多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质五、小结第19页/共28页第二十页，共29页。思考题 若点(x, y)沿着无数(wsh)多条平面直线趋向于点 (x0, y0)时, 函数 f(x, y) 都趋向于A, 能否断定思

9、考题解答(jid)不能. 例如(lr) 则但是不存在. 原因为, 若取 x = y2,取 y = kx,(x, y)(0, 0),第20页/共28页第二十一页，共29页。 利用连续函数的定义(dngy)及初等函数的连续性； 利用(lyng)极限的性质，如：极限的四则运算法则及夹逼准则等； 转化成一元函数的极限问题，利用一元函数求极限的方法； 利用无穷小量与有界量的乘积仍然是无穷小量； 利用重要极限；一元函数中的两个重要极限可以推广为： 消去分子分母中极限为0的因子；（分子分母有理化） 利用等价无穷小代换；第21页/共28页第二十二页，共29页。1、一个点集不是(b shi)开集就是闭集吗？ 2

10、、单点集是开集还是闭集？ 第22页/共28页第二十三页，共29页。 作业(zuy)P11 5 (2), (4), (6) 6 , 7，9 22),(yxxyyxf ),(yxf若,则_. 第23页/共28页第二十四页，共29页。练 习 题第24页/共28页第二十五页，共29页。第25页/共28页第二十六页，共29页。第26页/共28页第二十七页，共29页。练习题答案(d n)第27页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结会计学。 边界点可能是聚点,也可能不是聚点。 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E。 开区域连同它的边界一起称为闭区域.。（1）所谓极限(jxin