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文档简介

1、华中师范大学 2014 2015 学年第一学期期末考试试卷(A)课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师 题型填空题判断题简答题证明题计算题总分分值2010201634100得分得分评阅人一、填空题:(共10题,每题2分,共20分)1. 若某种光的波长为,则其光子的能量为 ,动量大小为 。2. 戴维逊革末实验主要表现出电子具有 波动性 。3. 若是归一化的波函数,则表示 t时刻x附近dx体积元内发现粒子的概率 。4. 设力学量算符与不对易,且其对易子为,则它们的不确定性关系为 。5. 厄米算符在自身表象是 对角 矩阵。6. 从量子力学的观点看,氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道

2、上的运动,而是电子云的图像,电子云是 电子电荷在核外的概率分布 。7. 设氢原子处于态,求氢原子的角动量分量的平均值 。 8. 证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构 / 复杂塞曼效应 / 斯特恩-盖拉赫实验 。院(系): 专业: 年级: 学生姓名: 学号: - 密 - 封 - 线 -9. 两个角动量耦合的总角动量 3/2 或 1/2 。10. 共振跃迁意思是 当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时,即时,跃迁概率不大;当时,即吸收过程和辐射过程,其跃迁概率随时间而增大,称为共振跃迁。得分评阅人二、判断题:(共10题,每题1分,共10分)1. 光电效应证实了光的粒子性,康普顿效应进一

3、步证实了光的粒子性。 ()2. 若是体系的一系列可能的状态,则这些态的线性叠加(其中为复常数)也是体系的一个可能状态。()3. 不同定态的线性叠加还是定态。()4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符,所以它们的乘积一定是厄米算符。()5. 若两个力学量算符不对易,则它们一般没有共同本征态。()6. 粒子在中心力场中运动,若角动量Lz是守恒量,那么Lx就不是守恒量。()7. 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:,则粒子的波函数一定具有确定的宇称。()8. 费米子体系的哈密顿算符必须是交换反对称的,波色子体系的哈密顿算符必须是交换对称的。()9. 全同粒子体系的波函数具有一定的对称性,是来自于全

4、同粒子的不可区分性。()10. 自由粒子所处的状态只能是平面波。()得分评阅人三、简答题:(共5题,每题4分,共20分) 第 1 页(共 4 页)1. 简述玻尔的量子论,并对它进行简单的评价。答:为了解释原子稳定性的问题和光谱的线状谱,玻尔的工作:(a)首先假设了不连续的定态,处于定态的电子不辐射。定态由量子化条件决定。(b) 还引进了量子跃迁的概念。这一模型解决了上述两个困难,其定态的概念依然保留在近代量子论中,为人们认识微观世界和建立量子理论打下了基础。其缺点是,量子化条件是输入,而不是输出;保留了经典的概念,如轨道,没有成为一个完整的量子理论体系。2. 处于定态的体系具有哪些性质。答:(

5、a)定态是能量有确定值的状态;(b)处于定态的系统,几率分布与时间无关,几率流密度与时间无关;(c)任何力学量(不显含时间)的平均值不随时间变化。总之,定态是一种力学性质稳定的状态。3. 隧道效应。答:微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象,称为隧道效应。它是微观粒子波动性的体现。4. 跃迁的选择定则及其理论依据。答:光照射原子时,即使入射光中与玻尔频率对应的能量密度不为零,跃迁也不一定发生。还要求两能级的量子数满足,这称为选择定则。其理论依据是,在电偶极近似下跃迁概率。当时,若,导致跃迁概率为零,跃迁是禁戒的。允许的跃迁要满足,就得到选择定则。5. 分波法的基本思想。答:对于中心力场,角动量

6、是守恒量。应用角动量守恒,把受势场作用前后的定态按分波展开,各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理,势场对各分波的效应在于改变分波的相位。 - 密 - 封 - 线 -得分评阅人四、证明题:(共2题,每题8分,共16分)1. 用狄拉克符号证明:(1) 厄米算符的本征值是实数;(2) 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交(非简并情形)。(8分)证明:(1)设,其本征值方程为 用本征矢的共轭矢量左乘上式,得到 对上式取共轭,得 利用厄米算符的定义,得出式与式相等,即 (2)厄米算符的本征值方程记为 ,用左乘前式,用左乘后式,得 式取共轭得 式与式相减,左边为零,得 而,则,证毕。 第 2 页(共 4

7、 页)2. 证明处于1s,2p和3d态的氢原子,分别在,和的球壳内发现电子的概率最大。(提示:氢原子波函数,其中,。(8分)证明:球壳内发现电子的概率(利用球函数的归一性,径向波函数是实函数) 得1s态,2p态和3d态的径向概率密度为 概率密度的极值由一阶偏导数为零得出,即 得; 得; 得。证毕。 - 密 - 封 - 线 -得分评阅人五、计算题:(共3题,共34分)1. 质量为的一维谐振子的基态波函数为,其中,求粒子出现在经典禁区的概率。(10分)(积分公式:)解:谐振子的能量表达式,因经典粒子的动能必小于等于总能量,其转折点(动能为零的点)满足,得。 对于基态,转折点,经典禁区为。量子谐振子出现在经典禁区的概率为在经典禁区,粒子出现的概率不为零,对于基态,在经典禁区出现的概率为15.4%。 第 3 页(共 4 页)2. 已知在和的共同表象中,算符和的矩阵表示分别为,求它们的本征值和归一化的本征函数,并

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