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文档简介

1、第4章 线性定常系统的线性变换 1第四章第四章 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换4.1 单输入单输入-单输系统的可控规范型单输系统的可控规范型 和可观规范型和可观规范型4.2 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.3 最小实现(补充)最小实现(补充)第4章 线性定常系统的线性变换 24.1 4.1 单输入单输入- -单输出系统的可控规范形单输出系统的可控规范形和可观规范形和可观规范形 一一 可控规范形可控规范形 对单输入对单输入- -单输出线性定常系统,如果其状态空间单输出线性定常系统,如果其状态空间描述具有如下形式描述具有如下形式xcyu,bxAxccc100b,101

2、0Ac1 -n10c 则称此状态空间描述为可控规范形。则称此状态空间描述为可控规范形。第4章 线性定常系统的线性变换 3结论:对于完全能控的单输入结论:对于完全能控的单输入单输出系统单输出系统Abycxxux其中:其中:A为为nn常阵,常阵,b,c分别为分别为n维列向量和维列向量和n维行维行向量。设系统的特征多项式为向量。设系统的特征多项式为1110( )det()nnnssIAsss引入非奇异线性变换阵引入非奇异线性变换阵P- -1:12121111111nnnPSbAbAb第4章 线性定常系统的线性变换 4作变换作变换 ,即可导出可控标准型为:,即可导出可控标准型为:1PxxAbycxxu

3、x式中:式中:1012110110100000100;000101nnAPAPbPbccP 其中:其中:121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb第4章 线性定常系统的线性变换 5证明:证明:1)系统完全可控,必有)系统完全可控,必有1nrankSrank bAbAbn所以向量所以向量 是线性无关的。是线性无关的。1,nb AbAb1PQS1 QP取变换矩阵为取变换矩阵为式中:式中: ,有,有121nnQ qqqq121211211111nnnnqqqSbAbAb第4章 线性定常系统的线性变换 6所以:所以: nqb111(I)nnnnnAAqqqb23232132()

4、nnnnAAAAqqqI b12121121()nnnnAAAAqqqI b 由于由于S和和都是线性无关的,显然向量都是线性无关的,显然向量也是线性无关的。应用凯莱也是线性无关的。应用凯莱-哈密顿定理得到哈密顿定理得到12,nq qq111100()nnnnAAAA b qbq122121111()nnnnAAAAqbbb = qq2112222()nnnnnnnAAAqbbb = qq1111nnnnnnAAqbbb = qq第4章 线性定常系统的线性变换 7书写成矩阵形式为:书写成矩阵形式为:0112211nnnnnnnnAQ qqqqqqq101100nnQQAI所以:所以: 11101

5、100nnAQ AQPAPI第4章 线性定常系统的线性变换 82)记变换矩阵)记变换矩阵P的行向量为的行向量为pi,因,因PQ = I,即,即10ijijp qij故:故: 11001nnnnnnPP p qbbqpqp q3)对于向量)对于向量 ,由,由 计算得计算得1011nccP121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcbc第4章 线性定常系统的线性变换 9 三三 可观测规范形可观测规范形 对单输入对单输入- -单输出线性定常系统,如果其状单输出线性定常系统,如果其状态空间描述具有如下形式态空间描述具有如下形式x cyu,bx Ax ooo100c,1100Ac1

6、-n10o 则称此状态空间描述为可观测规范形。则称此状态空间描述为可观测规范形。第4章 线性定常系统的线性变换 10结论:对于完全可观测的单输入结论:对于完全可观测的单输入单输出系统单输出系统Abycxxux其中:其中:A为为nn常阵,常阵,b,c分别为分别为n维列向量和维列向量和n维行维行向量。设系统的特征多项式为向量。设系统的特征多项式为1110( )det()nnnssIAsss引入非奇异线性变换阵引入非奇异线性变换阵P :12122111111nnnnAPVAA cccc第4章 线性定常系统的线性变换 11作变换作变换 ,即可导出可控标准型为:,即可导出可控标准型为:1PxxAbycx

7、xux式中:式中:其中:其中:121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb0011122111000100010;0010001nnnAPAPbPbccP第4章 线性定常系统的线性变换 124.2 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解 从可控性和可观测性出发,状态变量便可分为可从可控性和可观测性出发,状态变量便可分为可控可观测,可控不可观测,不可控可观测,不可控不控可观测,可控不可观测,不可控可观测,不可控不可观测四类。可观测四类。 不同类型的状态变量也对应了不同的四类子系统:不同类型的状态变量也对应了不同的四类子系统:可控可观测子系统、可控不可观测子系统、不可控

8、可可控可观测子系统、可控不可观测子系统、不可控可观测子系统和不可控不可观测子系统,称为系统的分观测子系统和不可控不可观测子系统,称为系统的分解。解。 对系统进行结构分解是通过引入适当的线性非对系统进行结构分解是通过引入适当的线性非奇异变换来实现的。奇异变换来实现的。第4章 线性定常系统的线性变换 13一一 非奇异线性变换的不变特性非奇异线性变换的不变特性 系统经过非奇异线性变换后,不会改系统经过非奇异线性变换后,不会改变系统原有特性变系统原有特性(包括系统特征值、传递函包括系统特征值、传递函数矩阵、可控性、可观性等数矩阵、可控性、可观性等),这就是所谓,这就是所谓的的非奇异线性变换的不变特性非

9、奇异线性变换的不变特性。第4章 线性定常系统的线性变换 141非奇异变换后系统可控性不变非奇异变换后系统可控性不变设变换前、后系统的可控性矩阵分别为设变换前、后系统的可控性矩阵分别为S和和 ,则:,则:S211111111111112111211()()()()nnnnSBABA BABP BP AP P BP AP P AP P BP APP BP BP ABP A BP ABPBABA BABP S1,rankPn rankSn11min,rankSrankP SrankPrankSrankSSPSmin,rankSrankPSrankP rankSrankSrankSrankS另因为另因

10、为P为非奇异,所以为非奇异,所以 显然有显然有 第4章 线性定常系统的线性变换 152非奇异变换后系统可观测性不变非奇异变换后系统可观测性不变设变换前、后系统的可观测性矩阵分别为设变换前、后系统的可观测性矩阵分别为V和和 ,则:,则:V21111112121()()()() ()() () ()() ()()()()()TTTTTTnTTTTTTTnTTTTTTTTTTTnTTTTTTTTnTTTVCA CACACCPP APCPP APP APCPP APCPP CP A CPACPACPCA CACACP V,TrankPn rankVnmin,TTrankVrankP VrankPran

11、kVrankV另因为另因为P为非奇异,所以为非奇异,所以 显然有显然有 1()TVPV11()min() ,TTrankVrank PVrank PrankVrankVrankVrankV第4章 线性定常系统的线性变换 16二系统按可控性的结构分解二系统按可控性的结构分解1可控性结构分解可控性结构分解设不可控系统的动态方程为设不可控系统的动态方程为,AByCxxux式中:式中:x为为n维状态向量;维状态向量;u为为p维输入向量;维输入向量;y为为q维维输出向量;输出向量;A,B,C为具有相应维数的矩阵。若系为具有相应维数的矩阵。若系统可控性矩阵的秩为统可控性矩阵的秩为1nrankSrank B

12、ABABrn则可构造则可构造nn非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵P-1-1:1121rrnP sssss第4章 线性定常系统的线性变换 17进行非奇异线性变换:进行非奇异线性变换:11ccPPxxx =x即可得到系统按可控性分解的规范表达式:即可得到系统按可控性分解的规范表达式:1200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx式中:式中: 为为r维可控状态子向量,维可控状态子向量, 为为(n-r)维不可控维不可控状态子向量,并且状态子向量,并且 cxcx121()()0crcn rrn rAAAPAPA行行列列()0crn rpBBPB行行列1()qccrn rCCPCC行

13、列列第4章 线性定常系统的线性变换 18nn非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵P- -1的构造方法:的构造方法:1)从可控性判别阵从可控性判别阵S中任意的选取中任意的选取r个线性无关的个线性无关的列向量列向量,记为,记为 。2)在在n维实数空间中任意选取尽可能简单的维实数空间中任意选取尽可能简单的(n- -r)个列向量个列向量(注:注:所谓尽可能简单是指这个列向量所谓尽可能简单是指这个列向量中有尽可能多的元素为零,非零元素取值为中有尽可能多的元素为零,非零元素取值为1),),记为记为 ,使它们和,使它们和 线性无关。线性无关。 这样就可以构成这样就可以构成nn非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵12,rs

14、ss12,rrnsss12,rs ss1121rrnP sssss第4章 线性定常系统的线性变换 191200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx展开写有:展开写有:12ccccccccccccxA xA xB uxA xyC xC x令令 ,则可定义,则可定义可控子系统动态方程为:可控子系统动态方程为:ccyyy12ccccccccxA xA xB uyC xccccccxA xyC x不可控子系统动态方程为:不可控子系统动态方程为:第4章 线性定常系统的线性变换 20cA1/scCy+cxcxcycxcxcyu+12AcBcA1/scC图图4-1 可控性规范分解

15、方框图可控性规范分解方框图 第4章 线性定常系统的线性变换 212系统结构可控性分解特点系统结构可控性分解特点1)由于)由于11112112111121( )()()0000()()()00()ccccccrcccn rccrcrcn rcccn rcG sC sIABC sIABBAACCsIABsIAACCsIABsIAsIAAsIACCsIA 11()()0rcccccrccsIABCCCsIAB第4章 线性定常系统的线性变换 221111000nnncccccncccccrank BABABrank BABABBA BABrankrank BA BABr因而因而r维系统维系统 是可控的

16、,且和系统是可控的,且和系统具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统度分析系统 时,可以等价地用分析子系统时,可以等价地用分析子系统 来代替,由于后者维数降低了很多,可来代替,由于后者维数降低了很多,可能会使分析变得简单。能会使分析变得简单。(,)cccA B C, ,A B C, ,A B C(,)cccA B C第4章 线性定常系统的线性变换 232)输入)输入u只能通过可控子系统传递到输出,而与不只能通过可控子系统传递到输出,而与不可控子系统无关,故可控子系统无关,故u至至y之间的传递函数矩阵描述之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部

17、分的特性。不能反映不可控部分的特性。3)由于在选取非奇异变换矩阵)由于在选取非奇异变换矩阵时,列向量时,列向量 和和 的选取不具有唯一的选取不具有唯一性,虽然可控性规范分解的形式不变,但各系数矩阵性,虽然可控性规范分解的形式不变,但各系数矩阵因因P- -1的差异而不同,即可控性规范分解结果不唯一。的差异而不同,即可控性规范分解结果不唯一。111rrnP ssss12,rs ss12,rrnsss第4章 线性定常系统的线性变换 244)系统的特征多项式可分解为:)系统的特征多项式可分解为:12det()det()det0det() det()ccccsIAAsIAsIAsIAsIAsIA表明不完

18、全可控系统的特征值由两部分组成:表明不完全可控系统的特征值由两部分组成:一部分为一部分为 的特征值,称为系统的可控振型;另的特征值,称为系统的可控振型;另一部分为一部分为 的特征值,称为系统的不可控振型。的特征值,称为系统的不可控振型。外部输入外部输入u的引入只能改变可控振型的位置,而的引入只能改变可控振型的位置,而不能改变不可控振型的位置。不能改变不可控振型的位置。cAcA第4章 线性定常系统的线性变换 25例例4-2: 已知系统(已知系统(A,b,c),其中),其中1210010011 11431A bc,试将系统作可控性规范分解。试将系统作可控性规范分解。解:解:1)可控性判别矩阵)可控

19、性判别矩阵2014000138SbAbA brank23S ;故系统不完全可控。故系统不完全可控。 第4章 线性定常系统的线性变换 262)从)从S中选出两个线性无关的列向量中选出两个线性无关的列向量 和和 ,附加任意列向量,附加任意列向量 ,构成,构成非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵P- -1:001T103T010T0311000101P301100010P 则:则:11042114201210010APAPPP ,b =bc = c第4章 线性定常系统的线性变换 27即可得到系统按可控性分解的规范表达式为:即可得到系统按可控性分解的规范表达式为:042114201210010cccccc x

20、xxu,y =xxx0421142012ccccc xxxuyxcccc xxyx故可控子系统动态方程为:故可控子系统动态方程为: 不可控子系统动态方程为:不可控子系统动态方程为:第4章 线性定常系统的线性变换 28例例4-3:给定线性定常系统:给定线性定常系统(A,B,C),其中,其中101100110111010111cBA,试对系统作可控性规范分解。试对系统作可控性规范分解。解:已知解:已知 ,由于,由于 ,故只,故只需判断需判断 是否为行满秩。是否为行满秩。3,2np2prankBpn pSBAB01121010230112rank BABrankn系统不完全可控。系统不完全可控。 第

21、4章 线性定常系统的线性变换 29从可控性判别阵中取线性无关的向量从可控性判别阵中取线性无关的向量s1, s2,再任取,再任取s3,构成非奇异线性变换矩阵:构成非奇异线性变换矩阵: 1011100010P010001101P于是:于是:1010111011100001010100121101111010000APAP第4章 线性定常系统的线性变换 30010011000110011010100BPB1011101 100021010Pcc100100212101cccccxxxuyx ,0cccxyx,可控子系统的动态方程为:可控子系统的动态方程为:不可控子系统的动态方程为:不可控子系统的动态

22、方程为:第4章 线性定常系统的线性变换 31三系统按可观测性的结构分解三系统按可观测性的结构分解设不可观测系统的动态方程为设不可观测系统的动态方程为,AByCxxux式中:式中:x为为n维状态向量;维状态向量;u为为p维输入向量;维输入向量;y为为q维维输出向量;输出向量;A,B,C为具有相应维数的矩阵。若系为具有相应维数的矩阵。若系统可观测性矩阵的秩为统可观测性矩阵的秩为1nCCArankVranklnCA 则可则可从从V中任意的选取中任意的选取l个线性无关的行向量个线性无关的行向量,记为,记为 第4章 线性定常系统的线性变换 3212,lt tt 。再在。再在n维实数空间中任意选取尽可能维

23、实数空间中任意选取尽可能简单的简单的(n-l)个个n维行向量维行向量 ,使它们和,使它们和 线性无关。这样就可以构成线性无关。这样就可以构成nn非奇异非奇异变换矩阵变换矩阵12,llnttt12,lt tt11llnTtttt对于上述不完全可观测系统,进行非奇异线性变换对于上述不完全可观测系统,进行非奇异线性变换11ooTTxxx =x第4章 线性定常系统的线性变换 33即可得到系统按可观测性分解的规范表达式:即可得到系统按可观测性分解的规范表达式:210oooooooooooBACBAA0 xxxu,y = y =xxx式中:式中: 为为l维可观测状态子向量,维可观测状态子向量, 为为(n-

24、 l)维不维不可观测状态子向量,并且可观测状态子向量,并且 oxox121()()olon lln lAATATAA0行行列列()olon lpBBTBB行行列1()qoln lCCTC0行列列第4章 线性定常系统的线性变换 34展开写有:展开写有:则可观测子系统动态方程为:则可观测子系统动态方程为:不可观测子系统动态方程为:不可观测子系统动态方程为:210oooooooooooBACBAA0 xxxu,y = y =xxx21oooooooooooABAABCxxuxxxuyxoooooooABCxxuyx21ooooooAAB 0 xxxuy第4章 线性定常系统的线性变换 35图图4-2

25、可观测性规范分解方块图可观测性规范分解方块图第4章 线性定常系统的线性变换 36例例4-4: 试将例试将例4-2所示系统按可观测性进行分解。所示系统按可观测性进行分解。已知系统已知系统(A,B,C),其中,其中1210010011 11431A bc,解解:n=3,系统的可观测性判别矩阵为:,系统的可观测性判别矩阵为:2111232474cVcAcA32rankV故系统不完全可观。故系统不完全可观。第4章 线性定常系统的线性变换 37从从V中选取两线性无关行向量中选取两线性无关行向量 和和 ,再选取一个与之线性无关的行向量再选取一个与之线性无关的行向量 ,构成非,构成非奇异线性变换矩阵:奇异线

26、性变换矩阵:11 1232001111232001T则:则:1311210001T1010230 ;532ATAT 12 ;1T b = b1100Tc = c 第4章 线性定常系统的线性变换 38即可得到系统按可观测性分解的规范表达式:即可得到系统按可观测性分解的规范表达式:010123021005321oooooo xxxu,y =xxx可观测子系统动态方程为:可观测子系统动态方程为: 01110232oooouy xxx,不可观子系统动态方程为:不可观子系统动态方程为: 5320ooooxxuy x,第4章 线性定常系统的线性变换 39四、系统结构的规范分解(可控性可观测性结构分解)四、

27、系统结构的规范分解(可控性可观测性结构分解) 对于对于不完全可控和不完全可观测不完全可控和不完全可观测的的n维系统状维系统状态空间描述:态空间描述:xAxBuyCx , 。实现系统结构的规范分解:。实现系统结构的规范分解:可先对其按可控性进行分解,然后再分别对得到的可先对其按可控性进行分解,然后再分别对得到的可控子系统和不可控子系统按可观测性进行分解可控子系统和不可控子系统按可观测性进行分解,则可找到一个非奇异矩阵则可找到一个非奇异矩阵P,做变换,做变换 ,实现按,实现按可控性可观测性结构分解。可控性可观测性结构分解。rankSrnrankVln 1xP x第4章 线性定常系统的线性变换 40

28、 具体实现过程:具体实现过程: 1) 先对系统进行可控性分解先对系统进行可控性分解,即引入状态变换,即引入状态变换11ccccPPxx =x =x式中式中 基于系统可控性矩阵来构造。基于系统可控性矩阵来构造。1cP2)对可控子系统进行可观测性分解)对可控子系统进行可观测性分解,即引入状态,即引入状态变换变换1coccocoPxx =x式中式中 基于可控子系统的可观测性矩阵来构造基于可控子系统的可观测性矩阵来构造 。coP第4章 线性定常系统的线性变换 413)对不可控子系统进行可观测性分解)对不可控子系统进行可观测性分解,即引入状,即引入状态变换态变换1coccoc oPxx =x式中式中 基

29、于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。 coP4)综合上面三次状态变换,有下列状态变换关系)综合上面三次状态变换,有下列状态变换关系11110cocococococcocococ oc oxxxxPPPxxoPxxx =引入引入P- -1变换,做变换变换,做变换 ,即可将系统分解为:,即可将系统分解为:1xP x第4章 线性定常系统的线性变换 42使系统结构分解为:使系统结构分解为:1321232443000000000cocococococococococococ oc oc oxxAABxxAAAABuxAxxAAx00cococococ oc ococ

30、ococ oxxyyyyyCCxx第4章 线性定常系统的线性变换 43可控可观测子系统的动态方程:可控可观测子系统的动态方程:13,cocococococococoxA xA x B uyC x可控不可观测子系统的动态方程:可控不可观测子系统的动态方程:212324,0cocococococ ococoxA xA xA xA x B uy不可控可观测子系统的动态方程:不可控可观测子系统的动态方程:,cocococococoxA xyC x不可控不可观测子系统的动态方程:不可控不可观测子系统的动态方程:43=+,0c ococ oc oc oxA xA xy第4章 线性定常系统的线性变换 44注

31、意:由信号的传递关系可知注意:由信号的传递关系可知,系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵为:为:11( )()()( )cocococoG sC sIABCsIABGs上式说明线性定常系统的传递函数矩阵与其可控上式说明线性定常系统的传递函数矩阵与其可控可观测子系统的传递函数矩阵相同,这体现了系可观测子系统的传递函数矩阵相同,这体现了系统状态空间描述与输入统状态空间描述与输入输出描述的一个重要关输出描述的一个重要关系,即系,即输入输入输出描述只能反映系统的既可控又输出描述只能反映系统的既可控又可观测部分,它是对系统的一个不完全描述。只可观测部分,它是对系统的一个不完全描述。只有当系统为可控且可观

32、测时,输入有当系统为可控且可观测时,输入输出描述对输出描述对系统的表征才是完整的。系统的表征才是完整的。第4章 线性定常系统的线性变换 45例例4-5 :设不可控且不可观测系统的动态方程为:设不可控且不可观测系统的动态方程为001110310120130uyxx+x,试对系统作可控可观测性规范分解。试对系统作可控可观测性规范分解。解:解:1)系统按可控性分解。)系统按可控性分解。系统可控性判别阵:系统可控性判别阵:2101113012SbAbA brank23S 系统不完全可控,可控状态的维数为系统不完全可控,可控状态的维数为2。第4章 线性定常系统的线性变换 46选取进行可控性分解的变换阵:

33、选取进行可控性分解的变换阵: 1100110011P100110111P 则:则: 1011122001APAP100Pbb112Pcc第4章 线性定常系统的线性变换 47故有:故有:01111220,1120010uyxx+x其中可控子系统为:其中可控子系统为:0111,111220cccccuy xxxx不可控子系统为:不可控子系统为:,2ccccy xxx第4章 线性定常系统的线性变换 482)不可控子系统是一维的。输出方程不可控子系统是一维的。输出方程 是是可观测子系统,故令:可观测子系统,故令:ccxy211cocoPP3)可控子系统的可观性规范分解。首先确定系)可控子系统的可观性规范分解。首先确定系统可观测状态的维数。系统可观测性判别阵:统可观测状态的维数。系统可观测性判别阵:1111V12rankV 可控子系统不完全可观测,可观测状态的维数为可控子系统不完全可观测,可观测状态的维数为1。构造可观测性分解变换矩阵:构造可观测性分解变换矩阵:1011coP11101coP 第4章 线性定常系统的线性变换 49可观性规范分解的变换矩阵为:可观性规范分解的变换矩阵为:11000100001coocoPPP1110010001oP 则引入变换则引入变换 ,即对按可控性分解后的系,即对按可控性分解后的系统按可观测性分解,

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