第4章计算机控制系统的经典分析方法

1、School of Electronic Engineering第第4章章 计算机控制系统的经典分析方法计算机控制系统的经典分析方法n4.1 计算机控制系统的计算机控制系统的稳定性稳定性分析分析n4.2 计算机控制系统计算机控制系统稳态误差稳态误差分析分析n4.3 计算机控制系统的计算机控制系统的响应特性响应特性分析分析n4.4 计算机控制系统的计算机控制系统的频率特性频率特性分析分析School of Electronic Engineering4.1 计算机控制系统的稳定性分析计算机控制系统的稳定性分析n离散系统稳定性的概念与连续系统一样离散系统稳定性的概念与连续系统一样n稳定性稳定性 是

2、指系统扰动作用下偏离原平衡点，当扰动作是指系统扰动作用下偏离原平衡点，当扰动作用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。 若系统能恢复平衡状态，称系统是稳定的；若系统若系统能恢复平衡状态，称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后，不能恢复平衡状态，则称系统在扰动作用消失以后，不能恢复平衡状态，则称系统是不稳定的。是不稳定的。n系统的稳定性是系统的固有特性，它与扰动的形式无系统的稳定性是系统的固有特性，它与扰动的形式无关，只取决于系统本身的结构参数。关，只取决于系统本身的结构参数。School of Electronic Engineering1. s平面和

3、平面和z平面之间的映射平面之间的映射sTez 令：，依，即：得： jsTjTjwTTsjwzRezeReeReTw01R，S平面的虚轴映射为平面的虚轴映射为Z平面的单位圆平面的单位圆01R，S平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内平面的单位圆内01R，S平面的右半平面映射到平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外平面的单位圆外ns平面和z平面的基本映射关系School of Electronic Engineeringn角频率角频率 与与 Z 平面相角的关系平面相角的关系T 当当 S 平面的点沿虚轴由平面的点沿虚轴由 变化到变化到 时，时，Z 平平面的相角也从面的相角也从 变化到

4、变化到 .2()()skj wTj w kwTjwTTeee故：故： 每变化一个每变化一个 s s，Z Z 平面的相角就变化平面的相角就变化2 2 , ,即转了一周即转了一周。又因为：又因为：School of Electronic EngineeringS 平面可分为许多宽度为 的平行带，其中 的带称为，其余均为。22ss s平面中的周期带与z平面中相对应的单位圆 School of Electronic Engineeringn等线（等衰减）映射 s平面上的等 垂线，映射到z平面上的轨迹，是以原点为圆心、以 为半径的圆| eTzSchool of Electronic Engineerin

5、g等等 线（等频率）映射线（等频率）映射 在采样周期T 确定的情况下，s平面上的等 水平线，映射到 z 平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相 角 ，以实轴正方向为基准 zTSchool of Electronic Engineering【解】 实部相同而虚部相差 的整数倍的点均映射为同一点11010j OSOReZIm0.533 2533. 02533. 00533. 010/2)101(310/2)101(210/211321 jTsjTsTseezeezeez101,1321jss 、。例例1： 如图所示，在如图所示，在 S 平面有三个点，分别为：平面有三个点，分别为：School

6、of Electronic Engineering 离散系统对应的特征方程的解必须全部位全部位于单位圆内于单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为不稳定。School of Electronic Engineering（1）直接求特征方程的根来判别稳定性）直接求特征方程的根来判别稳定性（2）修正的）修正的Routh（劳斯）稳定性判剧（劳斯）稳定性判剧 劳斯古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通劳斯古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单位

7、圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用Routh判判据来分析离散系统的稳定性。据来分析离散系统的稳定性。3、计算机控制系统稳定性的判断、计算机控制系统稳定性的判断（3）School of Electronic Engineering 方法一：方法一： 直接法直接法例例2：已知某计算机控制系统的特征方程为：已知某计算机控制系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性。试判断该系统的稳定性。解：该系统特征方程的根为解：该系统特征方程的根为 ，均在单位圆内，均在单位圆内，故系统稳定故系统稳定 08 . 06 . 0)(2zzz120.2,0.4zz432( )1

8、.20.070.30.080zzzzzMatlab命令命令c=1 -1.2 0.07 0.3 -0.08;r=roots(c)r = -0.5000 0.8000 0.5000 0.4000例： 已知 系统稳定系统稳定 School of Electronic Engineering劳斯表：劳斯表：12121531420321hccbbaaaaaasssssnnnnnnnnnn0)(0111 asasasasnnnn前面两行称为表头，由特征方程的系数决定后面n-1行称为导出行，导出行各元素按下面的方式导出方法二：方法二： 修正的修正的RouthRouth（劳斯）稳定性判据法（劳斯）稳定性判据法

9、复习劳斯稳定性判据复习劳斯稳定性判据已知某连续系统的特征方程如下：已知某连续系统的特征方程如下：School of Electronic Engineering劳斯表：劳斯表：. ,121311171631514213121bbbaacaaaaabaaaaabaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnn1110( )0nnnnsa sasa saL24113521231201nnnnnnnnnnaaasaaasbbssccshLLLLMMMSchool of Electronic Engineering闭环系统稳定的充要条件是：劳斯表闭环系统稳定的充要条件是：劳斯表第一列各值为第一列各值为正

10、数正数。如果劳斯表中第一列出现小于零的数，系统。如果劳斯表中第一列出现小于零的数，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数与特征就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数与特征方程的正实部根的数目相同方程的正实部根的数目相同劳斯判据School of Electronic Engineering设离散系统的特征多项式为设离散系统的特征多项式为引入双线性变换引入双线性变换11 11zzwwwz或可以将可以将 转化为转化为 ，然后就可借助劳斯判，然后就可借助劳斯判据判断稳定性。据判断稳定性。 1iz0iewRnn-1nn-110a z +az+a z+a =0( )zKSchool of Elect

11、ronic Engineering例3：设采样系统的特征方程为010181224001224003911119111171145)()(03911911745)(012323231123wwwwwwwwwwwwwzwwzzzzwwz作Routh阵列化简后：变换得进行 根据劳斯判据根据劳斯判据 在在 w右右 半半平面有两个根，故该采样系统有平面有两个根，故该采样系统有两个根在单位圆两个根在单位圆外，因此系统不外，因此系统不稳定稳定 )(wSchool of Electronic Engineering 例4： 如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的倍数 K 的取值范围。该系统的广义对象为

12、)(tr)(sE)(*sE)(sC) 1( ssKseTs11T368.01264.0368.0)1(1)(21zzzKssKZzzGSchool of Electronic Engineering0104. 0736. 2528. 0264. 1632. 0110368. 0264. 0368. 1368. 0)(368. 0264. 0368. 1368. 0264. 0368. 0)(1)()()(222KwKKwwwwzKzKzzKzKzzKzGzGzRzC变换并化简：进行 ， 令特征方程为即School of Electronic Engineering420 26.3K 0104.

13、 0736. 24 . 2 0528. 0264. 10K 0632. 00104. 0736. 20528. 0264. 1104. 0736. 2632. 012.KKKKKKwKwKKwRouth得到：由表作School of Electronic Engineering方法三：这是一个在数学上直接判断离散系统特征方程的根的模值这是一个在数学上直接判断离散系统特征方程的根的模值是否小于是否小于 1 （即在单位圆内）的判据。（即在单位圆内）的判据。0.)(1110 nnnnazazazaz设离散系统的设离散系统的为为 构造构造 ：a00School of Electronic Engine

14、ering001110020322100112112100012112100.mllllllccccccccbbbbbbbbbbaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnn 从第从第3 行开始，所有奇数行行开始，所有奇数行n用以下公式计算：用以下公式计算：第第(n2)行系数行系数第第(n1)行系数行系数上两行末列系数之商上两行末列系数之商School of Electronic Engineering 若特征方程式中 a00，则只有当Jury表中所有所有奇数奇数行第一列系数均大于零时行第一列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于单位圆内。即 00.00000000mlcba Sch

15、ool of Electronic Engineering例5： 已知系统的特征方程为 构造Jury表065)(2 zzz14.1735253525253516156651 其奇数行首列系数有两个小于零，故系统其奇数行首列系数有两个小于零，故系统，且有且有 2 2 个根位于单位圆外。个根位于单位圆外。School of Electronic Engineeringn离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是：离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是：判断系统稳定性可用如下步骤：判断系统稳定性可用如下步骤：n判断必要条件是否成立，若不成立，系统不稳定；判断必要条件是否成立，若不成立，系

16、统不稳定；n若必要条件成立，再构造朱利表进一步判断。若必要条件成立，再构造朱利表进一步判断。【注】若必要条件满足，则【注】若必要条件满足，则Jury表中的最后一行系数表中的最后一行系数必大于零必大于零 0)()1(0)(11znzzzSchool of Electronic Engineering例例6： 已知系统特征方程为已知系统特征方程为试判断其稳定性。试判断其稳定性。02 . 048. 0)(3 zzz028. 1)2 . 048. 01()1()1()1(068. 12 . 048. 01)1(3 n【解】【解】 检验必要条件检验必要条件系统满足必要条件系统满足必要条件School o

17、f Electronic Engineering7168. 072. 0048. 072. 00048048. 072. 096. 048. 096. 0096. 048. 048. 0096. 096. 012 . 01048. 02 . 02 . 048. 001 可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定School of Electronic Engineering构造Jury表： 22212211111aaaaaa 0)(212 azazz 0)1(0)1(设系统特征方程为设系统特征方程为系统稳定的必要条件为系统稳定的必要条件为0122 a为使系统稳

18、定，须满足为使系统稳定，须满足School of Electronic Engineering由此可推得即 122 a12 a1)0( 0)1(0)1(1)0(这等价于这等价于由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：School of Electronic Engineering 其中 ，T=1 秒，试求使系统稳定的 k 值范围。( )(1)kG ss s368.0368.1)264.0368.0()1()1()(221 zzzksskZzzG0)264. 0368. 0()368. 1368. 0()(1)(2kzkzzGz)(tr)(sE)(

19、*sE)(sC)(sGseTs11T)(zGSchool of Electronic Engineering39.218.51264.0368.011264.0368.0)0()1( kkk00632. 00)264. 0368. 0()368. 1368. 0(1)1()2( kkkk3 .260736. 2104. 00)264. 0368. 0()368. 1368. 0(1) 1()3( kkkk39.20 kSchool of Electronic Engineering4、采样周期与开环增益对稳定性的影响、采样周期与开环增益对稳定性的影响1） 采样周期对稳定性的影响采样周期对稳定性

20、的影响11)(ssG已知如图所示采样统，已知如图所示采样统， ，试判断采样周期为，试判断采样周期为 1s或或4s 时，闭环系统的稳定性。时，闭环系统的稳定性。)(tr)(sE)(*sE)(sC)(sGseTs11T)(zGTTTTezezeTzeTssZzzG)1 (1) 1()1() 1(1)1 ()(210)1 ()2(2TTezTzSchool of Electronic Engineering将采样周期 代入上式，得到特征方程为sT10632. 02 zzsT1625. 05 . 02, 1jz求得采样周期 时系统的闭环极点为闭环极点的模为 796. 0625. 05 . 02221

21、zz1z显然，极点 和 均位于 z 平面的单位圆内，所以闭环系统是稳定的。 2zSchool of Electronic Engineering将采样周期 代入上式，得到特征方程为sT4sT4求得采样周期 时系统的闭环极点为1z 显然，极点 位于z平面的单位圆内，所以闭环系统是不稳定的。 0)41 (242ezz2707. 11z7293. 02z结论：采样周期结论：采样周期 T 是影响稳定性的重要参数，一是影响稳定性的重要参数，一般来说，般来说，T 减小，稳定性增强减小，稳定性增强School of Electronic Engineering2 2） 开环增益对稳定性的影响开环增益对稳定性

22、的影响)(tr)(*teseTs1) 1( ssK)(ty该图所示系统对应的开环z传递函数为 TTTTTezezeTzeTKezzzTssKZzzG)1 (1) 1()1(111) 1()1 ()(221相应的特征方程为 21(1) 1(1)0TTzKeK TzKKT eKSchool of Electronic Engineering按例7，选择采样周期 T=1，此时 K=2是稳定的，这是根据例7得到的结论。这里，保持采样周期不变，若将K=5代入特征方程式，则0)5(14112ezez解得： 277. 1236. 02, 1jz很明显，两个极点的模 ，两个根都位于z平面单位圆外，所以此时系统

23、不稳定。 121 zz结论：采样周期取一定值时，加大开环增益结论：采样周期取一定值时，加大开环增益 ，可使闭，可使闭环系统由稳定变为不稳定。环系统由稳定变为不稳定。 KSchool of Electronic Engineeringn连续系统的定义为上述误差的终值，即稳态误差稳态误差：)()()(tctrte )(limteetss )()()(*tctrte )(lim)(lim*kTeteektss n4.2 计算机控制系统稳态误差分析计算机控制系统稳态误差分析 1 1、计算机控制系统稳态误差的定义、计算机控制系统稳态误差的定义 采样系统的定义为，即School of Electronic

24、 Engineering如图所示的单位负反馈系统闭环误差传函)()(11)()()(zGzDzRzEze 由此可得)(sR)(zET)(sE)(zD)(*sC)(zC)(zG2、计算机控制系统稳态误差的计算、计算机控制系统稳态误差的计算 E(z) = R(z) - C(z) = R(z) - D(z)G(z)E(z)( )( )1( ) ( )R zE zD z G zSchool of Electronic Engineering根据终值定理，系统在采样时刻的稳态误差为)()()(11)1 (lim)()1 (lim1111*zRZGzDzzEzezzss终值定理法终值定理法2、计算机控制系

25、统稳态误差的计算、计算机控制系统稳态误差的计算 School of Electronic Engineering根据稳态误差是否为零，可把系统分为：有差系统有差系统 稳态误差不为零。无差系统无差系统 稳态误差为零。 School of Electronic Engineering稳态误差)()()(11)1 (lim)()1 (lim1111*zRZGzDzzEzezzss2）稳态误差与稳态误差与输入信号输入信号 及及系统结构系统结构 的特性均有关。的特性均有关。2、计算机控制系统稳态误差的计算、计算机控制系统稳态误差的计算 注注：1）只有当系统本身是只有当系统本身是稳定稳定的前提下，讨论系统

26、的稳态误差的前提下，讨论系统的稳态误差 才有意义。才有意义。3) 稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，它只表明该系统稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，它只表明该系统不能跟踪输入信号。不能跟踪输入信号。School of Electronic Engineering2、计算机控制系统稳态误差的计算、计算机控制系统稳态误差的计算 系统的分类系统的分类连续系统通常按系统开环传函所含积分环节的个连续系统通常按系统开环传函所含积分环节的个数来分类，即按数来分类，即按 s = 0 处的极点处的极点个数来分类，分别有个数来分类，分别有 0 型、型、I 型、型、II 型型系统。系统。0120型型I型型II型

27、型( )5kG ss( )(2)kG ss s2( )()kG sssaSchool of Electronic Engineering1(0.2)( )0.5k zG zz2(0.4)( )(1)(0.2)k zG zzz32(0.6)( )(1) (0.8)k zG zzz系统分类：系统分类： 根据映射关系，根据映射关系，S 域的积分环节，即域的积分环节，即 s = 0 处的极处的极点点，映射至映射至 Z 域为域为z = 1 处的极点处的极点，所以采样系统则按，所以采样系统则按其开环脉冲传函在其开环脉冲传函在z =1 处的极点个数来分类，分别有处的极点个数来分类，分别有 0 型、型、I 型

28、、型、II 型型系统。系统。例：例：School of Electronic Engineering则稳态误差可表示为其中 为稳态pzzzssKzGzDzGzDzzGzDze 11)()(lim11)()(11lim)1(1)()(11)1(lim11111*)()(tutr111)( zzR单位阶跃函数单位阶跃函数其 Z 变换为：显然，显然，Kp 增大，稳态误差将减小。增大，稳态误差将减小。)()(lim1zGzDKzpSchool of Electronic Engineeringn对系统，开环传函 在 处无极点，即不含积分环节， Kp 为有限值，所以；n对系统，开环传函 在 处有一个极点

29、，即含有一个积分环节， Kp 为无穷大，所以；n对于的系统，开环传函 处有多个极点，即含有多个积分环节， Kp 为无穷大，所以；School of Electronic Engineering School of Electronic Engineering其中 为2)1()( zTzzRvzzzssKzGzDzTzGzDzzTzTzzGzDze1)()()1(lim11)()()1()1(lim)1()()(11)1(lim11211* )()()1(lim11zGzDzTKzv r (t) = t 其其 Z 变换为变换为稳态误差稳态误差 。对“I”型系统， 在z=1处有1个极点,( ) (

30、 )D z G z0,vssKe 对“0”型系统， 在z=1处无极点,( ) ( )D z G z1,vssvKeK常值对“II”型系统， 在z=1处有2个极点,( ) ( )D z G z,0vssKe School of Electronic EngineeringazzssKzGzDzTzzzTzGzDze1)()()1(lim11)1(2)1()()(11)1(lim2123211* 其中 为)()()1(lim1212zGzDzTKza 221)(ttr 322)1(2)1()( zzTzR 其其 Z 变换为变换为稳态误差稳态误差对“0”型系统， 在z=1处无极点,( ) ( )D

31、z G z对“I”型系统， 在z=1处有1个极点,( ) ( )D z G z0,assKe 1,assaKeK常值对“II”型系统， 在z=1处有2个极点,( ) ( )D z G z0,assKe School of Electronic Engineering)()()1(lim11zGzDzTKzv)()() 1(lim1212zGzDzTKza*sse)()(tutrttr)(2/)(2ttr)1/(1pKvK/1aK/1000)()(lim1zGzDKzpSchool of Electronic Engineering例例9 计算机控制系统的如下图所示。设采样周期 秒，试确定系统分

32、别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。 10.T 解 系统的开环z传递函数为 11(1 e )0.632( ) ( )(1)(0.368)(1)(e )zzG zZ G szzzz系统闭环特征方程为 2( )(1)(0.368)0.6320.7360.3680zzzzzzSchool of Electronic Engineering所以系统是稳定的。先求出静态误差系数： p110.632lim( )lim(1)(0.368)zzzKG zzz静态速度误差系数为v1110.632lim(1) ( )10 lim100.368zzzKzG zTz静态加速度误差系数为2a

33、21110.632lim(1)( )100 lim(1)00.368zzzKzG zzzT0104. 2) 1(0632. 0) 1 (1368. 0)0(2( )0.7360.3680zzzSchool of Electronic Engineeringssp101*eK单位阶跃输入信号作用下： ssv110.110*eK单位斜坡输入信号作用下 ： ssa1*eK单位抛物线输入信号作用下： School of Electronic Engineering3、采样周期对稳态误差的影响、采样周期对稳态误差的影响如图所示与其相应的，分析其稳态误差。)1).(1)(1()1).(1)(1()(212

34、10sTsTsTssssKsGnvm 0 0I IIIIIvKaK000 KKKpK系统类型系统类型与与的关系为的关系为传函的一般形式School of Electronic Engineering的开环传函.)1()1).(1)(1()1).(1)(1()1()(1)(1112112110非非积积分分环环节节各各分分式式 sKsKsKZzsTsTsTssssKZzsGseZzGvvvnvmsT School of Electronic Engineeringn对 系统，1)1()1()(11非非积积分分环环节节各各项项非非积积分分环环节节各各分分式式 zKzzsKZzzG0)()1(lim1

35、0)()1(lim11)1(lim)(lim2121111 zGzTKzGzTKKzKzzzGKzazvzzp误差系数误差系数School of Electronic Engineeringn对系统，1)1()1()1()(121121非非积积分分环环节节各各项项非非积积分分环环节节各各项项 zzKzKTzzsKsKZzzG0)()1(lim1)1()1)(1(lim1)()1(lim1)(lim21221111 zGzTKaKzKTzzzTzGzTKvzGKzzzzp误差系数误差系数School of Electronic Engineeringn类似地也可求得 系统的误差系数 与比较，二者

36、完全一致，而与 无关。KKKKavp School of Electronic Engineering尽管采样系统的稳态误差系数的计算公式中包含了 ，但实际计算中公式中的 与系统开环脉冲传函的 相对消，因此。【注】 以上结论只对成立，其它情况不一定能完全对消 T。【注】对对采样开关后接有零阶保持器采样开关后接有零阶保持器的线性离散系统而言，的线性离散系统而言，在典型输入信号作用下的稳态误差与在典型输入信号作用下的稳态误差与T T无关，只与系统的无关，只与系统的 类型、输入信号的形式有关。类型、输入信号的形式有关。School of Electronic Engineering计算机控制系统的响

37、应特性分析也包括动态响应和稳态响计算机控制系统的响应特性分析也包括动态响应和稳态响应的分析应的分析 通常动态性能指标包括延迟时间通常动态性能指标包括延迟时间td、上升时间、上升时间tr、峰值时间、峰值时间tp、调节时间、调节时间ts、最大超调量、最大超调量 等，其定义均与连续系统等，其定义均与连续系统一致。一致。 稳态响应是时间稳态响应是时间 时系统的输出状态。一般认为输出时系统的输出状态。一般认为输出进入稳态值附近进入稳态值附近5或或2的范围内就可以表明动态过的范围内就可以表明动态过程已经结束。程已经结束。 t School of Electronic Engineering(1) 延迟时间

38、：响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间。 dtrt(2) 上升时间 ：响应曲线无振荡时定义为响应从其稳态值的10%上升到其稳态值的90%所需的时间。响应曲线有振荡时定义为响应从0第一次上升到其稳态值所需的时间。)(th)(h0t)(5.0hdt)(1.0h)(9.0hrtrt动态性能指标：动态性能指标：School of Electronic Engineering(3) 峰值时间：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需的时间。pt(4) 调节时间(过渡过程时间) ： 响应到达并保持在稳态值的5%或2%误差范围内所需的最短时间。st)(th)(h0tpt)(maxthst)(%2)(%5hor

39、hSchool of Electronic Engineering（5）最大超调量 ：输出最大值与输出稳态值的相对误差。 （6）振荡次数： 在调节时间内，输出量在稳态值附近上下波动的次数。 ()()100%()ph thh)(th)(h0tpt)(pthSchool of Electronic Engineering离散控制系统的动态性能指标离散控制系统的动态性能指标 用系统在用系统在单位阶跃单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。输入信号作用下的响应特性来描述。 超调量超调量 上升时间上升时间 峰值时间峰值时间 调节时间调节时间 系统阶跃响应的采样系统阶跃响应的采样 系统阶跃响应特性系统阶跃

40、响应特性School of Electronic Engineering 尽管动态性能指标的定义与连续系统相同，但在 Z 域分析时，所得到的只是各采样时刻的值，是连续系统暂态特性的近似，而在采样间隔内，系统的状态并不能被表示出来，因此不能精确描述和表达采样系统的真实特性。School of Electronic Engineering例10 已知计算机控制系统如下图所示，设采样周期T=1s ，试分析系统的单位阶跃响应特性。解 广义z传递函数为 112111e0.368(10.717)( )(1)(1)(10.368)TszzG zZsszz闭环z传递函数为 1212( )0.3680.264(

41、 )1( )10.632G zzzzG zzzSchool of Electronic Engineering1,20.5j0.618z12|0.7949zz系统闭环极点为 ，模为 ， 因此系统是稳定的系统的输出的z变换为 1212312345678910111213( )( ) ( )0.3680.264 121.6320.632 0.36470.8950.802+0.8680.993 1.0771.0811.0320.981+0.961Y zz R zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz1415160.9730.997zz12111231112111210.3680.

42、264lim()lim(1) ( )lim(1)121.6320.6320.3680.264 lim(1)1(1)(10.632)kzzzzzy kTzY zzzzzzzzzzz系统的输出的终值为 School of Electronic Engineering系统在单位阶跃输入作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，系统是稳定的。其超调量为40%，且峰值出现在第三、四个采样周期之间，约经过12个采样周期结束过渡过程，系统稳态值为1。num=0.368 0.264;den=1 -1 0.632;dstep(num,den,16)gridSchool of Electronic Engineerin

43、g离散系统频率特性定义离散系统频率特性定义 连续连续LTI系统的频域特性系统的频域特性在正弦信号在正弦信号作用下，系统的作用下，系统的稳态输出是同频率的正弦信号，稳态输出是同频率的正弦信号，但其幅度和相位取决于系统特性但其幅度和相位取决于系统特性。此定义同样。此定义同样适用于离散适用于离散LTI系统，只是对应的输入输出信号系统，只是对应的输入输出信号均为均为离散值离散值。n4.4 4.4 计算机控制系统的频率特性分析计算机控制系统的频率特性分析School of Electronic Engineering即离散系统频率特性相当于考察脉冲传函当 z 沿单位圆变化时的特性。TjezTjzGeG

44、)()(线性计算机控制系统的频率特性可按下式计算School of Electronic Engineering1 计算机控制系统频率特性绘制方法 (1)数值计算法 例12 已知连续传递函数 ，相应的z传递函数为 ，设采样周期为T=0.5s ，试绘制其频率特性。 ， TTsTezesseZzG1111)(1( )1G ss连续系统：连续系统：离散系统：离散系统：School of Electronic EngineeringMatlab符号语言实现符号语言实现Gs=sym(1/(s+1)；%传递函数F(s)T=0.5；numGs,denGs=numden(Gs)；%提取分子分母%将分母转化为一

45、般多项式pnumGs=sym2poly(numGs)；pdenGs=sym2poly(denGs)；%Z变换pnumGz,pdenGz=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,zoh)；w=0:0.1:19；mag,pha=bode(pnumGs,pdenGs,w)；dmag,dpha=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；for i=1:1:190if dpha(i)=-180dpha(i)=dpha(i)+360；endendfigure(1);plot(w,mag,blue);hold on;plot(w,dmag,red);Grid on;axis(0,19,0,1.2)

46、;figure(2);plot(w,pha,blue);hold on;plot(w,dpha,red);Grid on;axis(0,19,-200,200);School of Electronic EngineeringSchool of Electronic Engineering将脉冲传函写成零极点形式设m =1，n =2，即)()()(00 njjTjmiiTjTjpezeeG )()(211pepezeeGTjTjTjTj (2)几何作图法 School of Electronic Engineering相应的幅频特性为211211)()(llrpepezeeGTjTjTjTj

47、)()()()(211pepezeeGTjTjTjTj 相频特性为相频特性为jeTSchool of Electronic Engineering2 计算机控制系统频率特性分析方法 (1)极坐标法将计算机控制系统频率特性写成实部加虚部的形式： j T(e)( )j ( )GUV可在平面直角坐标上绘制频率特性曲线，然后应用奈氏稳定判据，进行计算机控制系统稳定性的分析。 School of Electronic Engineering例例13 设单位反馈系统开环传函为设单位反馈系统开环传函为 采样周期 T 0.1 ，试绘制系统的奈氏图，并分析系统的稳定性。)242.0)(1()1()( zzzkz

48、G解解 绘制奈氏图绘制奈氏图School of Electronic Engineering 系统稳定时的开环增益范围为00.758kSchool of Electronic Engineering(2)对数频率特性法 ( )G zzw已知计算机控制系统的开环脉冲传递函数 ，对其作 双线性变换，即 11wzw得到开环w传递函数 11( )( )wzwG wG z。称为虚拟频率或者伪率，这里的变到由平面的虚轴沿着，让复数变量再令vvvwwjvw开环频率特性为 j(j )( )wvG vG w根据计算机控制系统的伯德图，判断系统稳定性的判据。 School of Electronic Engine

49、ering 例14 : 计算机控制系统同例12，试绘制系统在 时的Bode图，并分析系统的稳定性。 198. 0k0.198(1)( )(1)(0.242)zG zzz11wzw0.261(1)( )(1 1.639 )wG www0.261(1j )(j )j (1 1.639j )vG vvv解 因为系统的开环传递函数为令得到代入上式，得：将jvw School of Electronic Engineering例13系统伯德图 增益裕量为11.7dB相位裕量约为53.8Matlab命令命令num=0.198 0.198;den=1 -1.242 0.242;w=logspace(-2,2);dbode(num,den,0.02,w)gridBode DiagramFrequency (rad/sec)-20020406080System: sysGain Margin (dB): 11.7At frequency (rad/sec): 66.3Closed Loop Stable? YesMagnitude (dB)10-210-1100101