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文档简介

1、17世纪微积分的创造开始了高等数学时期世纪微积分的创造开始了高等数学时期 -变量数学变量数学时期时期微积分最初解决的四类问题:微积分最初解决的四类问题: 1 运动物体的瞬时速度与加速度运动物体的瞬时速度与加速度 2 求曲线上任意点处的切线求曲线上任意点处的切线 3 求函数的最大小值问题求函数的最大小值问题 4 求曲线长,面积,体积,物体重心等求曲线长,面积,体积,物体重心等第二章第二章 导数与极限导数与极限2.1 导数的概念导数的概念2.2 极限极限2.3 函数的连续性函数的连续性2.4 导数的计算导数的计算2.5 高阶导数高阶导数2.1 导数的概念导数的概念1 问题的引出问题的引出2 导数的

2、定义导数的定义3 由定义求导数由定义求导数4 导数的几何意义和物理意义导数的几何意义和物理意义一、问题的提出一、问题的提出-瞬时速度问题瞬时速度问题设作直线运动的质点,它的路程规律是设作直线运动的质点,它的路程规律是s=s(t),求它在任意时刻求它在任意时刻t0的速度的速度v(t0)芝诺,古希腊哲学家。“飞矢不动”箭在每一时刻都占有一个确定的位置,因而它每一个时刻都没有动。既然每一个时刻都没有动,它就应该是静止不动的了。核心概念:什么叫动,什么叫不动?动与不动,要看它在两个不同时刻的位动与不动,要看它在两个不同时刻的位置。置。“速度”的概念一、问题的提出一、问题的提出-瞬时速度问题瞬时速度问题

3、s=s(t).0S)(0ts)(0tts s 时间时间:ttt 00路程路程:)()(00tsttss 第一步第一步第二步第二步在这段时间间隔内的平均速度在这段时间间隔内的平均速度tsv _ttstts )()(00)(0tv 最后最后)(,000tvtt的瞬时速度得到取极限令 tsvtvtt 0_00limlim)(ttsttst )()(lim000切线问题切线问题播放播放切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在

4、点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 小结:小结:过程和形式完全一样过程和形式完全一样二、导数的定义二、导数的定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即xxfxxfyx )()(lim0即即.)

5、()(lim)(0hxfhxfxfh 或或三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 例例.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数kkxxf 四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法

6、线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 2.物理意义物理意义.dtdsv .dtdqi 在均匀情况下,凡是用除法定义的物理概念,在均匀情况下,凡是用除法定义的物理概念,在不均匀情况下,绝大多数是导数在不均匀情况下,绝大多数是导数均匀均匀不均匀不均匀速度速度tsv 加速度加速度tva dtdva 电流强度电流强度.tqi 线密度线密度 角速度角速度.,0慢程度而增加的快因变量随自变量的增加反映了它处的瞬时增加率点导数是因变量在点 x关于导数的说明:关于导数的说明:xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000五小结五小结1. 导数的实质导数的

7、实质: 增量比的极限增量比的极限;2. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;3. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.2.2 极限极限 1 数列极限的定义数列极限的定义 2 函数极限的定义函数极限的定义2.2.1 数列的极限数列的极限1 数列的定义数列的定义2 数列极限的定义数列极限的定义3 数列极限的性质数列极限的性质一尺之棰,日取其半,万世不竭一尺之棰,日取其半,万世不竭一根一尺长的木棒,每天拿去剩下的一半,却一根一尺长的木棒,每天拿去剩下的一半,却永远拿不完。永远拿不完。;,21,81,41,21n21n. 021lim nn 31.333

8、3333333. 03.3333333333. 0331 9999999. 0999. 099. 09 . 0 一、数列的定义一、数列的定义定义定义:按某种顺序排列的无穷多个数按某种顺序排列的无穷多个数 ,21nxxx 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).记为记为nx. 的函数。的函数。 有界性有界性无界无界有界有界有界有界 单调性单调性满足条件满足条件如果数列如果数列nx递增数列递增数列递减数列递减数列二、数列的极限二、数列的极限. 01,无限接近于无限增大时当nxnn 问题问题:“无限接近无限接

9、近”意味着什么意味着什么?如何用数如何用数学语言刻划它学语言刻划它.A, 0, 0Alim nnnxNnNx恒有恒有时时使使:定义定义N .)(,)A,A(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NxNnn 几何解释几何解释:数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意:注意:例

10、例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于其本身常数列的极限等于其本身.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 1

11、0 q若若,lnlnqn , 10 对对例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn , axNnNn时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a 子数列子数列 .knnxxkxxkknnnnkkk 项项,显显然然,中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项,是是第第中中,一一般般项项在在子子数数列列注意:注意:定理定理1 1 以下三个命题等价以下三个命题等价 ;收敛于)数列(Lan1;2Laaknn都收敛于都收敛于的任一子列的任一子列)数列)数列(;都收敛于都收敛于和和)子数列)子数列(Laann3122 有一子列发散的数列必发散有一子列发散的数列必发散或两个子列都收敛但收敛于不同或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散,例值的数列也发散,例)1(n 定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 a

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