第二章线性变换

1、1第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR教学重点教学重点: : 线性变换的概念线性变换的概念教学难点教学难点: : 线性变换的概念线性变换的概念2.1 线性变换的定义线性变换的定义教学目的教学目的: 理解线性变换的概念2第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR3第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR. )1( 是一个线性变换是一个线性变换微分运算微分运算D, 3012233xPaxaxaxap , x3中中在线性空间在线性空间P 例例1 1.,)( )2(0也也是是一一个个线线性性变变换换那那么么如如果果TapT ., 1)()3( 11性变换性变换但不

2、是线但不是线是个变换是个变换那么那么如果如果TpT 4第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR5第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR证明证明 ,3321321Rbbbaaa 332211,bababaTT 0 ,3232211bbaaba 0 ,0 ,32213221bbbaaa . TT 证毕证毕.例例 在在 中定义变换中定义变换则则 不是不是 的一个线性变换的一个线性变换 0 ,3221321xxxxxxT 3R3RT6第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR7第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR8第二章线性变换第二章线性变换Made

3、 By QQIR9第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR10第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR11第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR12第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR13第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIRriiik11( )()riiifk fW 14第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR一、一、 线性变换的乘积线性变换的乘积 二、二、 线性变换的和线性变换的和三、三、 线性变换的数量乘法线性变换的数量乘法四、四、 线性变换的逆线性变换的逆五、五、 线性变换的多项式线性变换的多项式 15第二

4、章线性变换第二章线性变换Made By QQIR1定义定义设为线性空间设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们, 一、一、 线性变换的乘积线性变换的乘积 的的乘积乘积 为：为： ,V 则则 也是也是V的线性变换的线性变换.16第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR则则 也是也是V的线性变换的线性变换. 二、二、 线性变换的和线性变换的和 1定义定义设为线性空间设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们, ,V 的的和和 为：为： 17第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR ,V 3负变换负变换设为线性空间设为线性空间V的线性

5、变换，定义变换为：的线性变换，定义变换为： 则则 也为也为V的线性变换，称之为的的线性变换，称之为的负变换负变换. 注：注：()0 18第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR ,kkV 三、三、 线性变换的数量乘法线性变换的数量乘法 1定义定义的的数量乘积数量乘积 为：为：k 则则 也是也是V的线性变换的线性变换.k 设为线性空间设为线性空间V的线性变换，定义的线性变换，定义 k 与与 ,kP 19第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR四、四、 线性变换的逆线性变换的逆 E 则称则称为可逆变换，称为的逆变换，记作为可逆变换，称为的逆变换，记作 1. 1定义定义设为线

6、性空间设为线性空间V的线性变换，若有的线性变换，若有V的变换使的变换使 2基本性质基本性质(1) 可逆变换的逆变换也是可逆变换的逆变换也是V的线性变换的线性变换. 1 20第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR,nn 当时，规定（单位变换）当时，规定（单位变换）.0n 0E 五、线性变换的多项式五、线性变换的多项式 1线性变换的幂线性变换的幂设为线性空间设为线性空间V的线性变换，的线性变换，n为自然数，定义为自然数，定义 称之为的称之为的n次幂次幂. 21第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR设为数域设为数域P上线性空间上线性空间V的一组基，的一组基， 12,n 为

7、为V的线性变换的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出基向量的象可以被基线性表出,设设用矩阵表示即为用矩阵表示即为 11 1212112122221122()()()nnnnnnnnnn 1 12 21线性变换的矩阵线性变换的矩阵 121212,nnnA 2.3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵22第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR其中其中 111212122212,nnnnnnA 矩阵矩阵A称为称为线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵. 12,n 23第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR线性变换运算与矩阵运算线性变换运算与矩阵运算定理定理 设设为数域为数域P

8、上线性空间上线性空间V的一组的一组12,n 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，基，在这组基下，V的每一个线性变换都与的每一个线性变换都与 中中n nP 线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵于逆矩阵.24第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR例例1. 设线性空间设线性空间 的

9、线性变换为的线性变换为 3P1231212(,)(,)x xxx xxx 求在标准基下的矩阵求在标准基下的矩阵. 123, 解：解： 3()(0,0,1)(0,0,0) 1()(1,0,0)(1,0,1) 2()(0,1,0)(0,1,1) 1231231 0 0(,)(,) 0 1 01 1 0 25第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR例例2.3.1、已知、已知 的线性变换的线性变换 3( )P t2301232302132031()()()()()T aata ta taaaa taa taa t求求T在基在基 下的矩阵。下的矩阵。231, ,t tt2(1)1,Tt 22

10、()1,T tt 3( ),T ttt 33()1T tt 1010010110100101A 26第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR27第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR例例2.3.3、已知、已知 的两个线性变换的两个线性变换2 2R(), (),T XXN S XMX2 21011(,2011XRMN求（求（1） ,TS TS在自然基下的矩阵。在自然基下的矩阵。（2） T与与S是否可逆？若可逆，求其逆变换。是否可逆？若可逆，求其逆变换。 28第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR1100100011000100,00112000001102

11、00AB 2100110010001100,2011220002112200ABAB 29第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR11/ 21/ 2001/ 21/ 200001/ 21/ 2001/ 21/ 2A 12111112212234()(,)xxTXEEEEAxx 1212123434340.50.5120.50.5xxxxxxxxxxxx 30第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR1122( )nnfyyy 1212(,),TTnnyyyA x xx 31第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR32第二章线性变换第二章线性变换Made By

12、QQIRAPPB133第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR34第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR35第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR两类特殊的线性变换两类特殊的线性变换1. 正交变换正交变换2. 对称变换对称变换36第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR定义定义: : ( ), ( )( ,) 则称则称 为为正交变换正交变换. 若对任意的若对任意的 都有都有,V 设设 是是 维欧氏空间维欧氏空间V的线性变换的线性变换 n例例1:1: 为为 维欧氏空间维欧氏空间 的标准正交基的标准正交基12,n nV 为正交矩阵为正交矩阵,A1

13、212(,)(,)nnA 则则 为正交变换为正交变换. 37第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR则下列命题等价：则下列命题等价：定理定理设是设是 n 维欧氏空间维欧氏空间V的一个线性变换的一个线性变换. 4） 保持向量的长度不变保持向量的长度不变. 2） 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵; 1） 是正交变换；是正交变换； 3） 把标准正交基变为标准正交基把标准正交基变为标准正交基; 38第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR39第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR40第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR4

14、1第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR42第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR一、一、 特征值与特征向量特征值与特征向量 二、二、 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法三、三、 特征子空间特征子空间.特征值与特征向量特征值与特征向量43第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵一个对角矩阵?引入引入有限维线性空间有限维线性空间V中取定一组基后，中取定一组基后，V的

15、任一线性的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，为了研究线性变换性质，44第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR45第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR46第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR47第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR设设 是是V的一组基，的一组基，12dim,nVn 线性变换在这组基下的矩阵为线性变换在这组基下的矩阵为A. f二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 分析：分析：48第二章线性变

16、换第二章线性变换Made By QQIR以上分析说明：以上分析说明：若是的特征值，则若是的特征值，则00.EA 0 f反之，若满足反之，若满足0P 00,EA 则齐次线性方程组有非零解则齐次线性方程组有非零解. 0()0EA X 若是一个非零解，若是一个非零解，0()0EA X 01020(,)nxxx 特征向量特征向量.则向量就是的属于的一个则向量就是的属于的一个0110nnxx f0 49第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR设设 是一个文字，矩阵称为是一个文字，矩阵称为,n nAP EA 111212122212.( )nnnnnnAaaaaaaEAaaaf 称为称为A的的

17、特征多项式特征多项式. 1. 特征多项式的定义特征多项式的定义A的的特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式 （是数域（是数域P上的一个上的一个n次多项式）次多项式）( )Af 50第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR 1 111211kkkk ki ii ikiiini ii iaatrAaa 51第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR 11122( )nntrAtr Aaaa 21111311111111123133112122iiijij njijjnnnnnnnnnnnnaatrAaaaaaaaaaaaaaaaaaa 52第二章线性变换第二章线性变换Mad

18、e By QQIR定理定理2.6.1: n阶方阵阶方阵A的特征多项式可以写的特征多项式可以写成如下形式：成如下形式： 0|1nkkn kAkfEAtrA53第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR i) 在在V中任取一组基中任取一组基 写出写出 在这组基下在这组基下f12,n 就是的全部特征值就是的全部特征值.fii) 求求A的特征多项式的特征多项式 在在P上的全部根它们上的全部根它们EA 2. 求特征值与特征向量的一般步骤求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵的矩阵A .iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组()0EA X 并求出它的一组基础解系并求出

19、它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值它们就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量在基的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标下的坐标.) 12,n 54第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR 1,1,2,niijjjcir 则则就是属于这个特征值就是属于这个特征值 的全部线性的全部线性无关的特征向量无关的特征向量. 0 而而1122,rrkkk （其中，不全为零（其中，不全为零） 12,rk kkP 就是的属于就是的属于 的全部特征向量的全部特征向量.0 f111212122212(,),(,),(,)nnrrrnccccccccc如果特征值如果特征值 对应方程组的基础解系

20、为：对应方程组的基础解系为：0 55第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR1 2 22 1 2 ,2 2 1A 解：解：A的特征多项式的特征多项式 122212221EA 2(1) (5) 例例1.设线性变换在基设线性变换在基 下的矩阵是下的矩阵是 123, 求特征值与特征向量求特征值与特征向量. 故的特征值为：（二重）故的特征值为：（二重） 121,5 56第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 1 ()0,EA X 123123123222022202220 xxxxxxxxx 即即 1230 xxx 它的一个基础解系为

21、它的一个基础解系为： (1,0, 1), (0,1, 1)因此，属于因此，属于 的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为1 113223, 而属于而属于 的全部特征向量为的全部特征向量为1 1 12212,(,)kkk kP 不全为零不全为零 57第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR因此，属于因此，属于5的一个线性无关的特征向量为的一个线性无关的特征向量为 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 5 ()0,EA X 解得它的一个基础解系为：解得它的一个基础解系为： (1,1,1)3123而属于而属于5的全部特征向量为的全部特征向量为3333,(,)kkPk 0

22、0 123123123422024202240 xxxxxxxxx 58第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR VfV,00定义：称定义：称 特征子空间的维数特征子空间的维数 为特为特征值征值 的的几何重数几何重数；而特征值；而特征值 在特征在特征多项式中的根的重数称为特征值多项式中的根的重数称为特征值 的的代数代数重数重数。0dimV0V00059第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR注：注：的解空间的维数，且由方程组的解空间的维数，且由方程组(* *)得到的属于的得到的属于的0 若在若在n维线性空间维线性空间V的某组基下的矩阵为的某组基下的矩阵为A，则，则f00

23、dim()VnEA 秩秩即特征子空间即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组的维数等于齐次线性方程组0V 0()0EA X (* *)全部线性无关的特征向量就是全部线性无关的特征向量就是 的一组基的一组基.0V 60第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR定理定理2.6.2 设线性变换设线性变换 ，则，则 的的任意特征值的几何重数不大于它的代数重数。任意特征值的几何重数不大于它的代数重数。 nVLf f61第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR62第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR63第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR当特征向量系所含

24、的向量个数为当特征向量系所含的向量个数为n时，称为时，称为完全特征向量系。完全特征向量系。 定理定理2.6.5 线性变换线性变换f的矩阵在某一个基下是的矩阵在某一个基下是对角形矩阵的充分且必要条件为对角形矩阵的充分且必要条件为f有完全特征有完全特征向量系。向量系。 定理定理2.6.6 矩阵可以对角化的充分必要条件是矩阵可以对角化的充分必要条件是的所有特征值的几何重数与代数重数相等。的所有特征值的几何重数与代数重数相等。 64第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR1、设是维线性空间设是维线性空间V的线性变换，的线性变换，W是是V 的的 n子空间，子空间， 为为W的一组基，把它扩允为的一组基，把它扩允为12,k V的一组基：的一组基：121,.kkn 在基在基 下的矩阵具有下列形状下的矩阵具有下列形状: 12,n 123.0AAA不变子空间与线性变换的矩阵化简则则65第二章线性变换第二章线性变换Made By QQIR反之，若反之，若 1212123,0nnAAA 1.k kAP 则由则由 生成的子空间必为生成的子空间必为 的的12,k 不变子空间不变子空间. 事实上，因为事实上，因为W是是V的不变子空间的不变子空间. 12(), ()