通信原理第2章随机过程

1、通通 信信 原原 理理 电电 子子 教教 案案第第2 2章章 随机过程随机过程西西 北北 工工 业业 大大 学学2008.3第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-262第二章第二章 随机过程随机过程 本章是本书的数学基础。本章是本书的数学基础。 2.1 引言引言 2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 2.5 高斯过程高斯过程 2.6 窄带随机过程窄带随机过程 2.7 正弦波加正弦波加窄带随机过程窄带随机过程 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统第第

2、2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2632.1 引言引言 通信过程是通信过程是信号和噪声信号和噪声通过通过通信系统通信系统的过程，分析与研究的过程，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。 随机信号：随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不通信系统中的信号通常总带某种随机性。不可预测，不能用确定函数表示的信号。可预测，不能用确定函数表示的信号。 随机噪声：随机噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪声）。简称噪声。声）。简称噪声。 随机过程：随机过程：从统计学的观点看，随机信号和从统

3、计学的观点看，随机信号和 随机噪声统随机噪声统称为随机过程。称为随机过程。 统计学中的有关统计学中的有关随机过程的理论随机过程的理论可以运用到随机信号和噪可以运用到随机信号和噪声分析中来。声分析中来。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2642.2 2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述2.2.1 2.2.1 概念及定义概念及定义考察：考察： 假设假设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。试其输出。 得到得到一系列噪声波形一系列噪声波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t)、.。理想时，。理想时，波

4、形应一致，但实际不然波形应一致，但实际不然找不到两个完全相找不到两个完全相同的波形。同的波形。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-265讨论：讨论：每一条曲线每一条曲线i(t)都是一个随都是一个随机起伏的时间函数机起伏的时间函数随机随机函数函数。无穷多个随机函数的总体无穷多个随机函数的总体在统计学中称作随机函数的在统计学中称作随机函数的总集总集随机过程随机过程(t) 。每一条曲线每一条曲线i(t)都是随机过都是随机过程的程的一个实现一个实现/样本样本。在某一特定时刻在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值观察各台接收机的输出噪声值(t1) ，发，发现他们的值是不同的现他们

5、的值是不同的 是一个随机量（是一个随机量（随机变量随机变量）。）。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-266概括：概括： 随机过程随机过程(t)的含义属性的含义属性有两点：有两点： （1）(t)是是t 的函数；的函数； （2）(t)在任一时刻在任一时刻 t1上的取值上的取值(t1)不是确定的，是一个不是确定的，是一个随机变量随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。的。概率论：随机变量分析概率论：随机变量分析分布函数分布函数和和概率密度概率密度第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2672.2.2 2.2.

6、2 随机过程统计特征随机过程统计特征. . 分布函数和概率密度分布函数和概率密度（1 1）一维描述）一维描述 一维分布函数一维分布函数 随机过程随机过程(t)任一时刻任一时刻 t1 的取值是随机变量的取值是随机变量(t1)，则随机变，则随机变量量(t1)小于等于某一数小于等于某一数 值值 x1的概率的概率(t1) （2.2.1） 叫做随机过程叫做随机过程(t)的一维分布函数。的一维分布函数。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-268 一维概率密度函数一维概率密度函数 若一维分布函数对若一维分布函数对x1 1的偏导数存在，则的偏导数存在，则 叫做随机过程叫做随机过程(t)的一维

7、概率密度。的一维概率密度。 （2 2）二维描述）二维描述随机过程不同时刻取值之间的相互关系随机过程不同时刻取值之间的相互关系 二维分布函数二维分布函数 若随机过程若随机过程(t)在时刻在时刻 t1 的取值是随机变量的取值是随机变量(t1)，而在时，而在时刻刻t2的取值是随机变量的取值是随机变量(t2)，则，则(t2)与与(t2)构成一个二元随机构成一个二元随机变量变量(t1)，(t2)，称，称 F2（x1，x2；t1，t2）= P(t1)x1；(t2)x2 为随机过程为随机过程(t)的二维分布函的二维分布函数数111111,F x tfx tx第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-

8、6-269二维概率密度函数二维概率密度函数 若二维分布函数对若二维分布函数对x1和和x2二阶偏导数存在，则二阶偏导数存在，则2212122121212,; ,; ,Fxxt tfxxt txx 叫做随机过程叫做随机过程(t)的二维概率密度。的二维概率密度。同理，可以定义随机过程的同理，可以定义随机过程的多维分布函数多维分布函数及多维概率密及多维概率密度分别为度分别为 nnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf .,.,;,.,.,;,.,212121112112121122n,; , , ( )x , ( )x , , ( )x nnnnF x xx t ttPttt第第2 2章章 随

9、机过程随机过程通信原理2022-6-2610统计独立统计独立 对于任何对于任何n个随机变量个随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成，如果下式成立立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）则称这些变量是则称这些变量是统计独立的统计独立的，否则就是，否则就是不独立的不独立的或或相相关的。关的。意义：意义： 可以把随机过程可以把随机过程(t)当作一个多元的随机变量来看待，当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量而用这个多元随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函数或概的分布函数或概率密度来描述随机

10、过程的统计特性。率密度来描述随机过程的统计特性。 显然，显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。越大，对随机过程的描述越充分。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26112.数字特征引言引言 问题：问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必实际中：难；不必。 措施：措施：用随机过程的用随机过程的数字特征数字特征来描绘随机过程的统计特性，来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。更简单方便。 方法：方法：求随机过程数字特征的方法有求随机过程数字特征的方法有“统计

11、平均统计平均”和和“时时间平均间平均”两种。两种。 统计平均统计平均: 对随机过程对随机过程(t)某一特定时刻不同实现的可能某一特定时刻不同实现的可能取值取值(ti)随机变量随机变量 ，用，用统计方法统计方法得出的种种平均值叫统得出的种种平均值叫统计平均。计平均。 时间平均时间平均:对随机过程对随机过程(t)的某一的某一特定实现特定实现i(t) ，用数学分，用数学分析方法析方法对时间求平均对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。得出的种种平均值叫时间平均。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2612（一一）统计平均）统计平均1.均值均值 随机过程在任意时刻随机过程在任意时刻

12、t 的取值所组成随机变量的取值所组成随机变量(t)的均值的均值称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即注：注：t1t，x1 x 物理意义：物理意义：均值代表随机过程的均值代表随机过程的摆动中心摆动中心。2.均方值均方值 随机变量随机变量(t)的二阶原点矩的二阶原点矩1 ( )()( )(2.2.2)Etxfxt dxa t 记为，221 ( ) ()(2.2.2 )Etx f xt dxa，称为随机过程称为随机过程(t)的均方值。的均方值。相对于横轴的振动程度相对于横轴的振动程度 。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2

13、6133.3.方差方差 随机变量随机变量(t)的二阶中心矩的二阶中心矩2222212 ( ) ( ) ( ) ( )( )() ( )(2.2.4)DtEtEtEtEtx f xt dxa tt 记为，（）称为随机过程称为随机过程(t)的方差。的方差。 相对于均值的振动程度相对于均值的振动程度 。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26144.4.协方差与相关函数协方差与相关函数随机过程不同时刻取值之间的相互随机过程不同时刻取值之间的相互关系关系 衡量随机过程衡量随机过程(t)在任意在任意两个时刻两个时刻t1和和t2上获得的随机变量上获得的随机变量(t1)和和(t2)的统计相

14、关特性时，常用协方差函数的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相和相关函数关函数R(t1，t2)来表示。来表示。（1 1）相关函数）相关函数 (t1)和和(t2)的二阶原点混合矩的二阶原点混合矩称为随机过程称为随机过程( (t) )的相关函数的相关函数。（2）协方差函数）协方差函数2121222121212() ( ) ( )()(2.2.4)R ttEttx x fxxttdx dx ， ； ，第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2615称为随机过程称为随机过程(t)的协方差。的协方差。 显然，有以上两式可得显然，有以上两式可得 ） 若若E(t1)或或E(t2)

15、为零，则为零，则B(t1，t2)= R(t1，t2) 这里的这里的R(t1，t2)及及B(t1，t2)由于是衡量同一过程的相关程度，由于是衡量同一过程的相关程度，因此又常分别称为因此又常分别称为自相关函数自相关函数和和自协方差函数自协方差函数。 21211221222121212(2.2.() ( )( ) ( )( )( )( )()4)B ttEta tta txa txa tf xxtt dxdx ， ； ，（2）协方差函数）协方差函数(t1)和和(t2)的二阶中心混合矩的二阶中心混合矩第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26165.5.互协方差与互协方差与互相关函数互

16、相关函数不同随机过程间的关系不同随机过程间的关系（1）互相关函数）互相关函数 设设(t)与与(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数定义为分别表示两个随机过程，则互相关函数定义为R(t1，t2)=E(t1)(t2) 如果两个随机过程的互相关函数为零，即下列条件成立如果两个随机过程的互相关函数为零，即下列条件成立R(t1，t2)= 0 则称它们是不相关的则称它们是不相关的-正交的随机过程。统计独立的两正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是不相关的。个随机过程是不相关的。（2）互协方差）互协方差 互协方差定义为互协方差定义为 B(t1，t2)=E(t1)-a(t1)E(t2)-a(t2) 若若

17、B(t1，t2)= 0 则两个过程是不相关的。则两个过程是不相关的。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2617（二）时间平均（二）时间平均 非周期函数平均值非周期函数平均值1.1.平均值平均值（或（或直流分量直流分量） 设设i(t)是随机过程是随机过程(t)的一个典型的样本函数，则样本的一个典型的样本函数，则样本函数的时间平均为函数的时间平均为注：注：结果与时间无关，为常数。结果与时间无关，为常数。2. 2. 均方值均方值（或（或总平均功率总平均功率） 221limTTTAdtT 221limTTiiTaAtt dtT 22221limTTiiTAttdtT 第第2 2章章

18、 随机过程随机过程通信原理2022-6-26183.3.方差方差（或交流功率）（或交流功率）4.4.自相关函数自相关函数 样本函数样本函数i(t)的自相关函数定义为的自相关函数定义为 222221limiTTiTAtatadtT 221limiiTTiiTRtAttttdtT 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2619自相关函数自相关函数的性质：的性质： 221limiiTTiiTRtAttttdtT 200RAtRRRR均方值（平均功率）均方值（平均功率）这是当然这是当然偶函数偶函数第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26202.3 2.3 平稳随机过程

19、平稳随机过程2.3.12.3.1定义定义1.1.狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程 假设一个随机过程假设一个随机过程(t)，如果它的任何，如果它的任何n维分布或概率密维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和和，随机过程，随机过程(t)的的n 维概率密度函数满足维概率密度函数满足fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）（2.2.2）则称则称(t)是是严平稳随机过程严平稳随机过程或或狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2621显见，

20、平稳随机过程具有如下显见，平稳随机过程具有如下特点：特点：统计特性将不随时间的推移而不同。它的统计特性将不随时间的推移而不同。它的一维分布与一维分布与t无无关关，二维分布仅与时间间隔二维分布仅与时间间隔有关有关。数字特征变得数字特征变得“平稳平稳”、简单：、简单：数学期望与数学期望与 t 无关无关：a(t)= a ；自相关函数只与自相关函数只与有关：有关：R(t1，t1+)=R().fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26222.2.广义平稳随机过程广义平稳随机过程

21、一随机过程一随机过程(t)，如果它满足：，如果它满足： （1）数学期望与）数学期望与 t 无关，即：无关，即：a(t)=a ； （2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔有关，即：有关，即： R(t1，t1+)=R()。 则则称称(t)是广义平稳的随机过程。是广义平稳的随机过程。意义：意义：平稳随机过程具有平稳随机过程具有各态历经性各态历经性十分有趣，非常有用十分有趣，非常有用。通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳的随通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳的随机过程。机过程。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2623 则说则说(t)为具有各态历经

22、性为具有各态历经性（遍历性）（遍历性）的平稳随机过程的平稳随机过程.。 2.各态历经的含义各态历经的含义 随机过程的任一实现（样本函数），都经历了随机过程的随机过程的任一实现（样本函数），都经历了随机过程的所有的可能状态。所有的可能状态。3.各态历经随机过程的特点各态历经随机过程的特点好处好处 任何一个实现都能代替整个随机过程。给实际测量、分析任何一个实现都能代替整个随机过程。给实际测量、分析计算带来极大方便。计算带来极大方便。 aaRR2.3.2 2.3.2 平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性1.1.各态历经随机过程各态历经随机过程 假设假设(t)是一个平稳随机过程，如果有下列

23、式子成立是一个平稳随机过程，如果有下列式子成立第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26242.3.3 2.3.3 平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数 特别重要，特别重要，因为：因为： （1 1）平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关）平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述；函数来描述； （2 2）相关函数揭示了随机过程的频谱特性。）相关函数揭示了随机过程的频谱特性。1.1.相关函数的性质相关函数的性质 设设(t)为实平稳随机过程，相关函数为实平稳随机过程，相关函数R()=E(t)(t+)具有如下具有如下性质：性质：（1） R(0)=

24、E2 (t)= s -(t)的的平均功率平均功率。（2） R()=R(-) -R()是是偶函数偶函数。 （3） | R()|R(0) - R() 的的上界上界。（4） R()=E2(t)=a2 -(t)的的直流功率直流功率。（5） R(0)R()=2 -方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2625（3） | R()|R(0) - R() 的的上界。上界。证：证：由于由于 E(t)(t+)2 0 从而从而 E(t)(t+)2 = E2(t)+2(t+)2(t)(t+) = E2(t)+ E2(t+)2E(t)(t+); -平稳平稳 = 2

25、R(0)2R()0 所以，得所以，得 R(0)R() 即即 |R()|R(0)第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2626（4） R()=E2(t)=a2 -(t)的的直流功率直流功率。证：证：注：注：这里利用了当这里利用了当时时(t)与与(t+)变得变得没有没有依赖关系，依赖关系，即统计独立，且认为即统计独立，且认为(t)不不含有周期分量。含有周期分量。2()lim( )lim ( ) () ( ) () ( )RREttEtEtEt 平 稳，（5） R(0)- R()= 2 -方差，方差，(t)的的交流功率交流功率。证：证： 由由 D(t)= E(t)-E(t)2 =E2

26、(t) -2(t)E(t)+ E2(t) = E2(t) -E2(t)=R(0)- a2 得得 2= R(0)- R()第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26272.3.4 2.3.4 平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的自相关函数R()与与功率谱密度功率谱密度P()的关系的关系 -相关函数相关函数R()的又一重要性质。的又一重要性质。 设：设：(t)平稳，平稳，R()绝对可积绝对可积Rd 则则简记为：简记为：P()R()意义：意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。傅里叶关系。 2.4.912.4.1

27、02jjPRedRPed第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2628证：分三步来考虑：证：分三步来考虑：(1) 对于任一确知能量信号对于任一确知能量信号f(t)，根据瑞利能量定理，有，根据瑞利能量定理，有dFdttfE22)(21)(第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2629(2) 假设假设f(t)为时间无限信号（功率信号），若用为时间无限信号（功率信号），若用 fT(t)代表代表f(t)在在-T/2tT/2区间上的区间上的短截函数短截函数， 即即其 它，02)()(TttftfTf(t)fT(t)-T/2 0 T/2 t-T/2 0 T/2 t只要只要T

28、为有限值为有限值fT(t)就具有就具有有限的能量有限的能量，即，即dttfE)(2第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2630若若FT ()fT(t)，则根据，则根据瑞利定理瑞利定理：dFdttfETT22)(21)(根据根据平均功率平均功率的定义：的定义：2222)(lim21)(1limTTTTTTdTFdttfTs 当当T时，时，F FT T( () )2/T/T趋于一个极限，趋于一个极限，并将其定义为功率谱密度，用符号并将其定义为功率谱密度，用符号Ps()表示，即表示，即第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2631) 6 . 4 . 2()(lim)

29、(2TFPTTs单位为单位为瓦瓦/赫。赫。因此信号的平均功率可写成因此信号的平均功率可写成dPss)(21（）（）某一某一实现实现的功率谱密度，的功率谱密度，不能不能作为作为过程过程的功率谱密度。应：过程的功的功率谱密度。应：过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱功率谱Ps()的的统计平均统计平均，即，即第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2632其中：其中：P()-为为(t)的的功率谱密度功率谱密度； (t)的某一实现的短截函数为的某一实现的短截函数为(t)且且(t)F ()。(t)的平均功率：的平均功率：).()(lim)()(7422

30、TFEPEPTTs ).()(lim)(84221221 TFEdPsTT 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2633考察：考察： 22222222222()221( )( )1( )( )1()TTTjwtjwtTTTTTTjwtjwtTTTTjw t tTTE FwEt edtt edtTTEt edtt edtTR tt edt dtT第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2634利用二重积分换元法利用二重积分换元法(略略)化简上式化简上式所以所以 deRTdeRTwFEjwTTjwTTT 2).)()()(lim)(lim)(94202 RdeRde

31、RTFEPjTTjTTT 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2635利用付氏对称性，可得利用付氏对称性，可得：所以：所以：P()R() （2.4.10）归纳：归纳：验证验证平稳平稳具有具有随机过程随机过程 各态历经性：各态历经性： 时间平均时间平均统计平均统计平均P P(w) R()(w) R() 121021平平均均功功率率 sdwwPRdwewPRjwt 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2636归纳：归纳：时间平均时间平均验证验证平稳平稳具有具有随机过程随机过程各态历经性：各态历经性：统计平均统计平均P() R()例例2.4.1 某随机相位信号某随

32、机相位信号(t)=sin(0t+)，其中：，其中：0为常数，随为常数，随机相位机相位在（在（0，2）内均匀分布。求）内均匀分布。求(t)的自相关函数、功率的自相关函数、功率谱密度和平均功率。谱密度和平均功率。（1） R(0)=E2 (t)= s -平均功率平均功率（2） R()=E2(t)=a2 -直流功率直流功率/均值均值（3） R(0)R()=2 -方差，方差，交流功率交流功率第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2637解：解：（1）验证）验证(t)的平稳性的平稳性200021)sin()()()()(dtdfttEta-与与t无关。无关。)(cos21)()(),(0R

33、ttEttR -仅与仅与有关。有关。 故故(t)是广义平稳的随机过程。是广义平稳的随机过程。例例2.4.1 某随机相位信号某随机相位信号(t)=sin(0t+)，其中：，其中：0为常数，为常数，随机相位随机相位在（在（0，2）内均匀分布。求）内均匀分布。求(t)的自相关函数、功的自相关函数、功率谱密度和平均功率。率谱密度和平均功率。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2638（2 2）根据平稳随机过程的性质）根据平稳随机过程的性质，得，得01( )cos2R 0011(0)cos22SR 00()( )()()()2PRP 第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6

34、-26392.4 2.4 高斯过程高斯过程2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 1.1.定义定义 一随机过程一随机过程(t)，若它的任意，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则维概率密度呈正态分布，则称其为高斯过程。又称正态随机过程。称其为高斯过程。又称正态随机过程。 数学表达式数学表达式见式见式（2.5.1） 一维时：一维时：21111211()1( , )exp22xaf x t第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26402.2.性质性质由定义可分析出由定义可分析出（1）高斯过程）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳若广义平稳，则必狭义平稳 。（2）高斯过程中的随机变量）高

35、斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间之间若不相若不相关关，则它们也是，则它们也是统计独立统计独立的。的。 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） f1（x1，t1）f2（x2，t2）.，fn（xn，tn） （2.5.3）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线从系统（线性系统）角度。性系统）角度。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2641221()( )exp(2.5.4)22xafx 则称则称为服从正态分布的

36、随机变量则称为服从正态分布的随机变量则称为服从正态分为服从正态分布的随机变量布的随机变量 2.4.2 2.4.2 高斯过程中的一维分布高斯过程中的一维分布随机变量研究随机变量研究1.1.一维概率密度函数一维概率密度函数（1）高斯随机变量）高斯随机变量 若随机变量若随机变量的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2642（2 2）性质）性质1）对称于直线）对称于直线x=a; 2）在）在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a点处达到极大值点处达到极大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf x dxf

37、 x dxf x dx，3） 4）a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定时一定时，。5）当）当a0 ， 时，相应的正态分布称为标准化正态分时，相应的正态分布称为标准化正态分布：布： 121( )exp()22xf x第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26432.2.正态分布函数正态分布函数（1 1）一般表示式）一般表示式已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为： 22222/ 21()exp221()exp( )( )221(2.5.8 )2xxxatxzadzzazadFx

38、ztdtdzedtfzadz ， 令， 则这个积分不易计算，常引入这个积分不易计算，常引入概率积分函数概率积分函数或或误差函数误差函数（可查（可查表）表）来表述。来表述。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2644（2 2）用概率积分函数表示）用概率积分函数表示 定义概率积分函数定义概率积分函数( (简称简称概率积分概率积分) )为为2/ 21( )(2.5.9)2xzxedz22/ 221()1exp( )( )222xxaxtzadzeF xf z dzdt则正态分布函数可表示为 ( )(2.5.8)xaF x （）第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2

39、645（3) 3) 用误差函数表示用误差函数表示 正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。 1 1）误差函数定义）误差函数定义20( )2xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(误差函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：22/221()1exp( )( )222xx axtzadzeF xf z dzdt第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26462 2）误差函数的性质）误差函数的性质误差函数是递增函数误差函数是递增函数，它具有如下性质：，它具有如下性质： )()(xerfxerf1)(erf)(

40、1)(xerfcxerfc0)(erfc11)(2xexxerfcx，互补误差函数是递减函数互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：202( )xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26473 3）用误差函数表示正态分布函数）用误差函数表示正态分布函数 xa 时：时：22220( )( )( )( )11()exp22211211()2.5.12222xaxaxaxatFxfz dzfz dzfz dzzadzedtxaerf 20,222( )xzzat dzdterf xedz202( )xze

41、rf xedz第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2648 xa( )( )( )( )11()2.5.1322xxF xf z dzf z dzf z dzxaerfc22( )zxerfc xedz22/ 221()1exp( )( )222xxaxtzadzeF xf z dzdt综上：综上：2211221()2( )exp122122xxaerfxazaF xdzxaerfcxa，第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2649ffS()-fc 0 fc f (a)s(t)缓慢变化的包络a(t)频率近似为fc(b)t图2-4 窄带波形的频谱及示意波形2.

42、5 2.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带过程窄带过程2.5.12.5.1窄带随机过程的概念窄带随机过程的概念1.1.什么叫窄带随机过程？ 频谱频谱: 所占频带较窄，满足所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫。的随机过程叫。 时域：时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。位随机缓慢变化的近似正弦。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2650221( )=a ( ) cos( )(t)(t)=a ( )sin( )(t)( )( )( )(t)( )(t)cscssctttttatttttg 同 相 分 量正

43、 交的的分 量随 机 包 络的的 随 机 相 位问：问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的的? ( )( )cos(t),0( )cos(t)sin(2.6.1/2) cccsctattattt2. 2. 表达式表达式两种！两种！第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26512.5.2 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性的统计特性结论结论1 1若若(t)：均值为：均值为0 0、方差为、方差为2 2、窄带、平稳、高斯、窄带、平稳、高斯随机过程。随机过程。则：则：（1）c(t)、s(t)同样

44、是同样是平稳高斯平稳高斯随机过程；随机过程；（2） E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同均值相同(都为都为0)； （3）c2=s2=2=2方差相同，同于方差相同，同于(t) ；（4）在同一时刻（即在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的c及及s互互相关函数为相关函数为0，即，即c与与s互不相关，或说互不相关，或说统计独立统计独立。(0)=0,(,)= ()()cscscsRfff( )( )cos(t)sinccsctttt第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26522.5.3 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求 a(t)、(t)的统计特性的统计特性 结论结论2

45、2若若(t)：均值为：均值为0、方差为、方差为2、窄带平稳高斯、窄带平稳高斯随机过程。随机过程。则：则： （1）其）其包络包络a(t)的一维的一维pdf 呈呈瑞利分布瑞利分布；（2）其）其相位相位(t)的一维的一维pdf呈呈均匀分布均匀分布；（3） a(t)与与(t)统计独立。统计独立。222222()=exp,02.6.201(),(, )(2.6.21) 21(,)=exp()() ()2aaf aafaaf af a f ( )( )cos(t),0cta tta第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26532.6 宽带随机过程宽带随机过程2.6.1 2.6.1 白噪声白

46、噪声 1.1.定义：定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即：称为白噪声。即： 双边谱密度：双边谱密度： 单边谱密度：单边谱密度：( )()2onnP ( )(0)noPn其中：其中：n0为常数，为常数，W/Hz。一般一般默认白噪声为平稳默认白噪声为平稳的。的。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26542.2.自相关函数自相关函数据据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。 2)(2)(00nRnPnn图图2-5 白噪声的功率谱密度与自相关函数白

47、噪声的功率谱密度与自相关函数 结论：结论：对白噪声而言，只有当对白噪声而言，只有当=0时（同一时刻）才相关，而时（同一时刻）才相关，而在在0的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。问：问：高斯白高斯白噪声？噪声？第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2655000,(,)( )20,nffP其它2.6.2 2.6.2 带限带限白白噪声噪声1.1.定义定义 白噪声经理想带通滤波器白噪声经理想带通滤波器(-f0，f0) )后而形成的噪声，被后而形成的噪声，被称为称为带限白带限白噪声，即其功率谱密度为：噪声，即其功率谱密度为：第第2 2章章 随机过

48、程随机过程通信原理2022-6-26562.2.自相关函数自相关函数000000000()( )1( )2212fjfPRnRednSanf Sa 据 ：（）（）N-噪声平均功率，噪声平均功率，取决于取决于n 0 f0 -P()的的面积。面积。 00(0)Rn fN特别：第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2657结论：结论：按抽样定理对带限白噪声抽样的话，各抽样值是互按抽样定理对带限白噪声抽样的话，各抽样值是互不相关的随机变量不相关的随机变量( (各抽样点处的随机变量是互不相关的各抽样点处的随机变量是互不相关的) )。问：问：窄带、高斯、白噪声的含义。窄带、高斯、白噪声的含

49、义。第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26582.7 2.7 正弦信号加窄带高斯噪声正弦信号加窄带高斯噪声2.7.1 2.7.1 合成信号表达式合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号合成信号可表示为：可表示为：cos()cAt其中：其中：( )cos()( )(2.7.1)cr tAtn t( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt-正弦载波正弦载波: :假定假定A、c为常数为常数;为随机变量，其一维为随机变量，其一维pdf 均匀分布，即：均匀分布，即： f()=1/(2)， 02-窄带随机过程窄带随机过程: nc(t)

50、-n(t)之同相分量；之同相分量； ns(t)-n(t)之正交分量。之正交分量。( )( )cos( )sinccscttttt第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2659代入，整理：代入，整理： cos()( )coscossinsin( )cos( )sincos( )( )co( ) cos sin( )ss( )sincosincccccscccsccscccAtn tAtAtn ttn ttAn ttAr tz ttz ttz tttn tt221( )( )(, )( )( )(2)csscz tztztztttgzt ，z0,合成波包络-合成波相位，0其中：其中

51、：-r(t)-r( )c(os( )( )s n( )t)icccsz tAn tz tAn t合成同相分量波的；合成波的正交分量；第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-26602.7.2 统计特性统计特性（1 1）同相分量和正交分量的统计特性）同相分量和正交分量的统计特性( )cos( )( )sin( )cccsz tAn tz tAn t结论结论1若：若：n(t) 均值为均值为0、方差为、方差为2、窄带平稳高斯、窄带平稳高斯随机过程随机过程; 给定。给定。则：则：（1）zc(t)、zs(t)同样是同样是窄带平稳高斯窄带平稳高斯随机过程；随机过程；（2）且）且zc2=zs2

52、=n2=2方差相同，同于方差相同，同于n(t) ；（3）但：）但：Ezc(t)= Ezs(t)=（4）在同一时刻（即）在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的zc及及zs互相关函数为互相关函数为0，即，即zc与与zs互不相关，或说统计独立。互不相关，或说统计独立。 ( )( )cos( )sincosccsccr tz ttz ttz ttt第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2022-6-2661（2 2）合成信号振幅合成信号振幅z(t)和相位和相位 (t)的统计特性的统计特性统计特性统计特性可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性：有如下统计特性： 1）随机包络服从广义瑞利分布随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（也称莱斯（Rice）分布）分布）-(2.7-3)(2.7-3)。 2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分不再是均匀分布了布了。当。当信噪比很小时，它接近于均匀分布信噪比很