线性系统部分总复习(2015)

1、总复习：现代控制理论1主要学习内容主要学习内容Ch1 绪论绪论Ch2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 Ch3 线性系统的运动分析线性系统的运动分析Ch4 线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性Ch5 系统运动的稳定性系统运动的稳定性Ch6 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合总复习：现代控制理论21、输入、输入输出描述（外部描述）输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的是系统的外部描述；外部描述；(3)是对系统的不完全描述。是对系统的不完全描述。2、状态空间描述（内部描述）、状态空间描述（内部描述）

2、 (1)用状态空间表达式表征；用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描是系统的内部描述；述；(3)是对系统的完全描述。是对系统的完全描述。总复习：现代控制理论3建立状态空间表达式的方法主要有两种：建立状态空间表达式的方法主要有两种：能控标准型实现能控标准型实现能观测标准型实现能观测标准型实现总复习：现代控制理论41. 可控规范形实现可控规范形实现设设 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s则矩阵形式的则矩阵形式的可控规范形实现可控规范形实现为为Auy xx+bcx式中：式中：01101210100000100,000

3、101nnAaaaa b =c =友矩阵友矩阵上一页上一页 下一页下一页 返回返回主目录主目录 总复习：现代控制理论52）可观测规范形实现）可观测规范形实现Auy xxbcx1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s则矩阵形式的状态方程和输出方程为则矩阵形式的状态方程和输出方程为式中：式中：00112211000100010;0001001nnnaaAaabc友矩阵友矩阵上一页上一页 下一页下一页 返回返回主目录主目录 总复习：现代控制理论6设线性定常连续系统的状态空间描述为设线性定常连续系统的状态空间描述为：( )( )

4、( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：式为：1( )()G sC sABDI总复习：现代控制理论7 非奇异线性变换后系统非奇异线性变换后系统特征值不变、特征值不变、传递函传递函数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控能控性指数不变、能观测性指数不变、性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变稳定性不变. .线性系统等价状态空间描述线性系统等价状态空间描述四、四、 线性定常系统的坐标变换线性定常系统的坐标变换 对于线性定常系统，对于线性定常系统，两个代数等

5、价的状态空两个代数等价的状态空间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规范型、能控规范型和能观规范型。范型、能控规范型和能观规范型。总复习：现代控制理论8 对状态向量对状态向量x引入线性非奇异变换引入线性非奇异变换 ，则变换后的，则变换后的状态空间描述状态空间描述1xP xxAxBuyCxDun阶线性定常系统的状态空间描述为：阶线性定常系统的状态空间描述为：xAxBuyCxDu11,AP APBP BCCPDD其中：其中：称系统两种不同的状态空间描述称系统两种不同的状态空间描述(a)，(b)为为代数等价代数等价的，的，对于参数矩阵满足上述关系的系统称为

6、对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统代数等价系统。(a)(b)总复习：现代控制理论9 对角规范形对角规范形状态方程中的状态方程中的系统矩阵系统矩阵A具具 有对角形的形有对角形的形式。式。 约当规范形约当规范形状态方程中的状态方程中的系统矩阵系统矩阵A具具 有分块对角形有分块对角形的形式。的形式。3. 状态方程的对角规范形和约当规范形状态方程的对角规范形和约当规范形总复习：现代控制理论10已知已知n阶线性定常系统的状态方程为阶线性定常系统的状态方程为 xAxBu当系统矩阵当系统矩阵A具有具有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 时，时，可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形可以

7、通过线性非奇异变换变换为对角线规范形 。即以即以下下2种情况下可化为对角线规范形：种情况下可化为对角线规范形： 12,n （1）系统矩阵）系统矩阵A的的n个特征值两两互异；个特征值两两互异；（2）系统矩阵）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几有重特征值，且所有特征值的几何重数都等于其代数重数。何重数都等于其代数重数。 总复习：现代控制理论11 对于对于n阶线性定常系统阶线性定常系统当系统矩阵当系统矩阵A有重特征值，且矩阵有重特征值，且矩阵A的线性无关的的线性无关的特征向量个数少于特征向量个数少于n时时，则可以通过线性非奇异则可以通过线性非奇异变变换变换为约当规范形。换变换为约当规范形。 xA

8、xBu总复习：现代控制理论12 设设i为系统矩阵为系统矩阵A的一个特征值，且有的一个特征值，且有 det()( -)( )()0 iiiiisAss 则称则称i为特征值为特征值i的的代数重数代数重数。说明说明1：矩阵矩阵A的重特征值的重特征值i的重数的重数i 就是特征值就是特征值i的的 代数重数。代数重数。 说明说明2：若若n阶线性定常系统含有重特征值阶线性定常系统含有重特征值i且可化为且可化为 约当规范形时，约当规范形时， i的代数重数的代数重数i为该规范形中为该规范形中 所有属于特征值所有属于特征值i的约当小块的阶数之和。的约当小块的阶数之和。 总复习：现代控制理论13 设设i为系统矩阵为

9、系统矩阵A的一个特征值，的一个特征值，i的几何重的几何重数可由下式计算数可由下式计算 ()iinrankIA说明：说明：若若n阶线性定常系统含有重特征值阶线性定常系统含有重特征值i且可化且可化 为约当规范形时，为约当规范形时，i的几何重数的几何重数i为该规为该规 范形中特征值范形中特征值i对应的约当小块的个数。对应的约当小块的个数。总复习：现代控制理论14说明：约当规范形的特点说明：约当规范形的特点对包含重特征值的对包含重特征值的n维线性时不变系统，系统维线性时不变系统，系统矩阵矩阵 的的约当规范形是一个约当规范形是一个“嵌套式嵌套式”的对角块阵的对角块阵。“外层外层”反映整个矩阵，其形式是以

10、相应于各反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特个特征值征值的约当块为块元的对角线分块阵，的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个约当块的个数等于相异特征值个数数等于相异特征值个数l，约当块的维数等于相应约当块的维数等于相应特征值的代数重数特征值的代数重数。“中层中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元就是约当块，其形式是以约当小块为块元的对角线分块阵，的对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值约当小块的个数等于相应特征值的几何重数的几何重数。“内层内层”为约当小块，约当小块为为约当小块，约当小块为“以相应特征值以相应特征值为对角元，其右邻元均为为对角元，其右邻元均为1，其余元素均为，其余元素

11、均为0”的矩的矩阵。阵。 总复习：现代控制理论15p 组合系统：组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方由两个或两个以上的子系统按一定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。式相互联接而构成的系统称为组合系统。p 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈p三种组合系统三种组合系统总复习：现代控制理论16两个线性时不变子系统两个线性时不变子系统S1和和S2的状态空间描述分别为：的状态空间描述分别为： 11111111111ABSCD：xxuyxu22222222222ABSCD：xxuyxu1111222211212200ABABCCDDxxuxxxyux1(

12、 )( )NiisG sG总复习：现代控制理论171111221222112122120ABB CAB DD CCD Dxxuxxxyux11( )( )( )( )NNsGs GsG sG总复习：现代控制理论181111212122211200ABCBB CACxxuxxxyx1121( )( )( )( )ssssGIGGG1121( )( )( )( )ssssGGIGG或或总复习：现代控制理论19 线性定常系统线性定常系统的状态转移矩阵为：的状态转移矩阵为：0()00(),A t tttett( ),0Attet当当t0 = 0时，可将其表为时，可将其表为即对于线性定常系统来说，它的状

13、态转移矩阵就是即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是矩阵指数函数。矩阵指数函数。 000,( ),ABtttxxuxx总复习：现代控制理论201( )();tt ( )( )(0)tAtI( )Atte1）定义法）定义法0( )tAt （最常用）（最常用）)()(11AsLt3）拉氏反变换法）拉氏反变换法（）2）特征值法）特征值法总复习：现代控制理论21 00( )(),0tx ttBtdt xu1110( )( )() +( )tLX sLsABsxxU 总复习：现代控制理论22第第4章章 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性总复习：现代控制理论23线性定常系统线性定常

14、系统 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全能控的充分必要条件是完全能控的充分必要条件是 1ncrankQrank B ABABn 其中其中: n为矩阵为矩阵A的维数，的维数， 称为系统的能控性判别阵。称为系统的能控性判别阵。1ncQB ABAB 注：注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。总复习：现代控制理论24线性定常系统线性定常系统 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全能控的充分必要条件是：对矩阵完全能控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特的所有特征值征值 ， (1,2, )iin1,2,irankI

15、ABnin均成立均成立，或等价地表示为或等价地表示为,rank sIABnsC 注：注：当系统矩阵当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，此时可考虑用可能不太方便，此时可考虑用PBH秩判据试一下。秩判据试一下。总复习：现代控制理论25 当当矩阵矩阵A的特征值的特征值 为两两相异为两两相异时，时，线性定常连续系统线性定常连续系统完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型 12,n 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt12nxxBu中，中， 不包含元素全为零的不包含元素全为零的。B总复习：现代控制理论26

16、 当当系统矩阵系统矩阵A有重特征值时有重特征值时，线性定常连，线性定常连续系统续系统完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型规范型 中，中， 中与同一特征值的各中与同一特征值的各约当块对应的各子块的约当块对应的各子块的最后一行最后一行组成的矩阵是组成的矩阵是线性无关的。线性无关的。0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxtABxxuB总复习：现代控制理论27总复习：现代控制理论28 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是完全可观测的充分必要条件是:或或0(0)0 xAxxxtyCx1onCCArankQranknCA1(

17、)TTTTnTorankQrank CA CACn其中：其中：n是系统的维数，是系统的维数，Qo称为系统的能观测性判别称为系统的能观测性判别阵，简称能观测性阵。阵，简称能观测性阵。总复习：现代控制理论29 线性定常系统线性定常系统完全能观测的充分必要条件是：对矩阵完全能观测的充分必要条件是：对矩阵A的所的所有特征值有特征值 ，均有，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(niiIrank;1,2,iAninCI sAranknsCC ，成立。或等价地表示为成立。或等价地表示为总复习：现代控制理论3012,nxxyCx 当矩阵当矩阵A的特征值的特征值 为两两相异时为两两相异时，线性定常连

18、续系统线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型 12,n 中，中， 不包含元素全为零的不包含元素全为零的。0(0)0 xAxxxtyCxC总复习：现代控制理论31 当当系统矩阵系统矩阵A有重特征值时有重特征值时，线性定常连，线性定常连续系统续系统完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型当规范型中，中， 0(0)0 xAxxxtyCxACxxy =xC总复习：现代控制理论32 考虑连续时间线性时变系统考虑连续时间线性时变系统 线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：线性时变系统的对偶系统的

19、状态空间描述为：（1 1）（2 2）( )( ) ( ) xA t xB t uyC t x： ( )( ) ( ) TTTTTdTTTAtCtBt ：四、对偶性四、对偶性1.1.对偶系统：对偶系统：2.2.对偶原理：对偶原理： 线性时变系统的完全能控等同于其线性时变系统的完全能控等同于其对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同于其对偶系统的完全能控。观测等同于其对偶系统的完全能控。 总复习：现代控制理论331.1.能控规范形的定义：能控规范形的定义： 对对完全能控完全能控的的单输入单输出单输入单输出线性时不变系统，线性时不变系统，如果其状态

20、空间描述具有如下形式如果其状态空间描述具有如下形式 cccAbycxxux其中：其中：01-10101cnA001cb 则称此状态空间描述为则称此状态空间描述为能控规范形能控规范形。五五. .能控能观规范形能控能观规范形总复习：现代控制理论34结论：结论：对于对于完全能控完全能控的单输入单输出线性时不变系统的单输入单输出线性时不变系统Abycxxux其中：其中：A为为nn常阵，常阵，b，c分别为分别为n维列向量和维列向量和n维行维行向量。设系统的特征多项式为向量。设系统的特征多项式为1110( )det()nnnssIAsss引入非奇异线性变换阵引入非奇异线性变换阵P：2.化化SISO能控系统

21、为能控规范形能控系统为能控规范形111111111111 11nnnnnnPAbAb bb AbAb总复习：现代控制理论35作变换作变换 ，即可导出，即可导出能控规范形能控规范形为：为：1Pxx式中：式中：1101210110100000100;000101ccncnAP APbP bccP 其中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcbcccAbycxxux总复习：现代控制理论363.3.能观测规范形的定义：能观测规范形的定义： 对对完全能观测完全能观测的的单输入单输出单输入单输出线性时不变系统，线性时不变系统，如果其状态空间描述具有如下形式如果其状态空间描述

22、具有如下形式其中：其中： 则称此状态空间描述为则称此状态空间描述为能观测规范形能观测规范形。 oooxA xb uyc x01-10011onA001oc 总复习：现代控制理论37结论：结论：对于对于完全能观测完全能观测的单输入单输出的单输入单输出线性时不变系统线性时不变系统Abycxxux其中：其中：A为为nn常阵，常阵，b，c分别为分别为n维列向量和维列向量和n维行维行向量。设系统的特征多项式为向量。设系统的特征多项式为1110( )det()nnnssIAsss引入非奇异线性变换阵引入非奇异线性变换阵Q：4.化化SISO能观测系统为能观测规范形能观测系统为能观测规范形1111111111

23、111nnnnnnccAAQcAAccc总复习：现代控制理论38作变换作变换 ，即可导出，即可导出能观测规范形能观测规范形为：为：Qxx式中：式中：其中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb00111-111001,10 0 1oonnoAQAQbQbccQ oooxA xb uyc x总复习：现代控制理论39 结论结论：对不完全能控的系统，：对不完全能控的系统，rankQc=kn，引，引入线性非奇异变换入线性非奇异变换 ，即可导出系统按，即可导出系统按能能控性控性结构分解的规范表达式结构分解的规范表达式xPx1200cccccccccccxxAABuxxA

24、xyCCxP P 矩阵如矩阵如何确定？何确定？六、连续时间线性时不变系统的结构分解六、连续时间线性时不变系统的结构分解1. 线性定常系统按能控性的结构分解线性定常系统按能控性的结构分解总复习：现代控制理论401）从能控性判别阵）从能控性判别阵Qc中任意的选取中任意的选取k个线性无关个线性无关的的列列向量，记为向量，记为 。2）在）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的维实数空间中任意选取尽可能简单的(n- -k)个列向量（个列向量（注：注：所谓尽可能简单是指这所谓尽可能简单是指这(n-k)个列个列向量中有尽可能多的元素为零，非零元素取值为向量中有尽可能多的元素为零，非零元素取值为1），记为），记

25、为 ，使它们和，使它们和 线性线性无关。这样就可以构成无关。这样就可以构成nn非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵12,kq qq12,kknqqq12,kq qq1121kknPqqqqq总复习：现代控制理论411200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx式中：式中： 为为k维能控状态子向量，维能控状态子向量， 为为(n-k)维不能控维不能控状态子向量，并且状态子向量，并且 cxcx121()()0ckcn kkn kAAAPAPA行行列列()0ckn kkBBPB行行列1()qcckn kCCPCC行列列进行非奇异线性变换：进行非奇异线性变换：ccPxx= x =x即可

26、得到系统按能控性分解的规范表达式：即可得到系统按能控性分解的规范表达式：总复习：现代控制理论42 结论结论：对不完全能观的系统，：对不完全能观的系统，rankQo=mn，引引入线性非奇异变换入线性非奇异变换 ，即可导出系统按能观，即可导出系统按能观性结构分解的规范表达式性结构分解的规范表达式xFx2100oooooooooooxxBAuxxBAAxyCxF 矩阵如矩阵如何确定？何确定？2. 线性定常系统按能观测性的结构分解线性定常系统按能观测性的结构分解总复习：现代控制理论431. 从从Qo中任意的选取中任意的选取m个线性无关的个线性无关的行行向量，记为向量，记为 。12,mh hh2. 在在

27、n维实数空间中任意选取尽可维实数空间中任意选取尽可能 简 单 的能 简 单 的 ( n - m ) 个个 n 维 行 向维 行 向量量 ，使它们和，使它们和 线性无关。构成线性无关。构成nn非奇异变换非奇异变换矩阵矩阵11mmnFhhhh12,mmnhhh12,mh hh总复习：现代控制理论44即可得到系统按能观测性分解的规范表达式：即可得到系统按能观测性分解的规范表达式：210oooooooooooBACBAA0 xxxu,y =xxx式中：式中： 为为m维能观测状态子向量，维能观测状态子向量， 为为(n- m)维维不能观测状态子向量，并且不能观测状态子向量，并且 oxox121()()om

28、on mmn mAAFAFAA0行行列列()omon mmBBFBB行行列1()qomn mCCFC0行列列进行非奇异线性变换进行非奇异线性变换ooxx =Fxx总复习：现代控制理论45七七. 最小实现（补充）最小实现（补充）1最小实现的定义：最小实现的定义：传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)的一个维的一个维数最低的实现，称为数最低的实现，称为G(s)的最小实现或不可约简的最小实现或不可约简实现。实现。3定理定理1：设设(A,B,C)为传递函数矩阵的一个为传递函数矩阵的一个n维维实现，则其为最小实现的充要条件是实现，则其为最小实现的充要条件是A,B可控可控且且A,C可观测。可观测。总复习：现代控

29、制理论463. 设设单输入单输出单输入单输出线性定常系统线性定常系统(A,b,c)的传递函的传递函数为：数为：11( )( )()()( )( )N sG ssIAadj sIAsscbcb式中：式中： 是系统的特征多项式；是系统的特征多项式；( )det()ssIA( )()N sadj sIAcb ，其中，其中adj(sI-A)为特征矩阵为特征矩阵sI-A的伴随矩阵。的伴随矩阵。 定理定理2：系统实现系统实现(A,b,c)为最小实现，即为可控为最小实现，即为可控且可观测的充要条件是，且可观测的充要条件是， 与与 互质。互质。( ) s( )N s给出给出SISO线性定常系统的传递函数写出其

30、最小实现：线性定常系统的传递函数写出其最小实现：对传递函数对传递函数G(s)化简，使其分子分母互质，然后直接化简，使其分子分母互质，然后直接写出其能控或能观规范型即为最小实现的一种形式。写出其能控或能观规范型即为最小实现的一种形式。总复习：现代控制理论47外部稳定性外部稳定性通过系统输入通过系统输入输出关系来描输出关系来描述系统稳定性述系统稳定性内部稳定性内部稳定性通过零输入下状通过零输入下状态运动的响应来态运动的响应来描述系统稳定性描述系统稳定性描述稳定性的两种方法描述稳定性的两种方法第第5 5章章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性一、一、总复习：

31、现代控制理论481.1.外部稳定性外部稳定性 对于一个因果系统，假定对于一个因果系统，假定系统的初始条件为零系统的初始条件为零，如果对应于任意一个如果对应于任意一个有界的有界的p维输入维输入u(t)，所产生的，所产生的q维输出维输出y(t)均是有界的均是有界的，则称此系统是外部稳定的。则称此系统是外部稳定的。也称为有界输入也称为有界输入-有界输出稳定有界输出稳定(BIBO稳定稳定)。2.2.内部稳定性内部稳定性00( )( ) , ( )xA t xB t u x tx令外输入令外输入u=0=0，如果对于给定的任意初始状态，系统，如果对于给定的任意初始状态，系统的零输入响应均满足下列关系式的零

32、输入响应均满足下列关系式：则称该系统为内部稳定，或渐近稳定。则称该系统为内部稳定，或渐近稳定。0tlim( )0uxt 总复习：现代控制理论49二、线性定常系统内部稳定性和外部稳定性的关系二、线性定常系统内部稳定性和外部稳定性的关系外外部部稳稳定定性性内内部部稳稳定定性性既能控又能观时既能控又能观时总复习：现代控制理论50三、李雅普诺夫第二法主要定理三、李雅普诺夫第二法主要定理1. 结论结论5.11 (定常系统大范围渐近稳定判别定理定常系统大范围渐近稳定判别定理1) 对于定常系统对于定常系统其中其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数标量函数V(

33、x), V(0) = 0，并且对于状态空间，并且对于状态空间X中中的一切非零点的一切非零点x满足如下条件：满足如下条件： 1） V(x)为正定；为正定； 2） 为负定；为负定； 3） 当当 时，时， 。则系统的原点平衡状态是则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。( )0ftxx，( )V xx( )V x总复习：现代控制理论512. 结论结论5.12 (定常系统大范围渐近稳定判别定理定常系统大范围渐近稳定判别定理2) 对于定常系统对于定常系统其中其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数标量函数V(x), V(0) = 0，并且

34、对于状态空间，并且对于状态空间X中中的一切非零点的一切非零点x满足如下条件：满足如下条件： 1） V(x)为正定；为正定； 2） 为负半定；为负半定； 3） 对于任意对于任意 非零非零 ； 4） 当当 时，时， 。则系统的原点平衡状态是则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。( )0ftxx，( )V xx( )V x00,( ( ;,0)0XVt x x总复习：现代控制理论520(0)0Atxxxx，1、结论、结论5.22 特征值判据特征值判据 ：考虑线性定常自治系统考虑线性定常自治系统系统的系统的每一个每一个平衡状态是平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定李亚普诺夫意义下稳定的充

35、分必要条件为：系统矩阵的充分必要条件为：系统矩阵A的的所有所有特征值均具特征值均具有有非正非正(负或零负或零)实部实部，且，且实部为零的特征值实部为零的特征值是是A的的最小多项式最小多项式的的单根单根。四、线性时不变系统的特征值稳定判据四、线性时不变系统的特征值稳定判据(sI-A)-1中所有元素的最小公分母中所有元素的最小公分母总复习：现代控制理论530(0)0Atxxxx，2、结论、结论5.23 特征值判据特征值判据 ：考虑线性定常自治系统考虑线性定常自治系统系统的系统的唯一唯一平衡态平衡态xe=0是是渐近稳定渐近稳定的充要条件是：的充要条件是：系统矩阵系统矩阵A的的所有所有特征值均具有特征

36、值均具有负实部负实部。 对于零初始条件的对于零初始条件的p维输入和维输入和q维输出连续时间维输出连续时间线性线性定常定常系统，系统，G(s)为其传递函数矩阵，则系统为其传递函数矩阵，则系统为为BIBO稳定的充分必要条件为稳定的充分必要条件为真或严真的传递函真或严真的传递函数矩阵数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部的所有极点均具有负实部。结论结论5.3 ：线性定常系统：线性定常系统BIBO稳定判据稳定判据总复习：现代控制理论54结论结论5.24 线性定常系统线性定常系统0(0)0Atxxxx，0exTA PPAQ 的原点平衡状态的原点平衡状态 为渐近稳定的充分必要条为渐近稳定的充分必要条件是，对

37、于任意给定的一个正定对称矩阵件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵Q，李亚，李亚普诺夫矩阵方程普诺夫矩阵方程有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解P。 注意：注意：使用中常选取使用中常选取Q阵为单位阵或正定对角阵。阵为单位阵或正定对角阵。五、线性时不变系统的李亚普诺夫稳定判据五、线性时不变系统的李亚普诺夫稳定判据总复习：现代控制理论55一一 . . 两种常用反馈结构两种常用反馈结构u v Kx vFvFC xuy(),xA BK x Bvy Cx()xABFCxBvyC x,总复习：现代控制理论56二二 . .反馈结构对系统性能的影响反馈结构对系统性能的影响1. 对系统可控性和可观测性的影响对

38、系统可控性和可观测性的影响结论结论6.1/6.2：状态反馈不改变系统的可控性，但状态反馈不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。可能改变系统的可观测性。结论结论6.3：输出反馈不改变系统的能控性和能观输出反馈不改变系统的能控性和能观测性。测性。总复习：现代控制理论570, (0),0ABxx t xxuvKux()ABKBvxx对于线性定常受控系统对于线性定常受控系统如果可以找到状态反馈控制律如果可以找到状态反馈控制律使得通过反馈构成的闭环系统使得通过反馈构成的闭环系统是渐近稳定的，即是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均具有负的特征值均具有负实部，实部，则称系统则称系统实现了状态反馈镇

39、定实现了状态反馈镇定。结论结论6.16: 当且仅当线性定常系统的当且仅当线性定常系统的渐近稳定渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。时，系统是状态反馈可镇定的。2. 反馈结构对系统稳定性的影响反馈结构对系统稳定性的影响总复习：现代控制理论58总结总结: : (1)(1)完全能控完全能控的线性定常系统一定是状态反馈可镇的线性定常系统一定是状态反馈可镇定的。定的。 (2)(2)线性定常系统线性定常系统不完全能控不完全能控，但，但不能控部分是渐不能控部分是渐近稳定的近稳定的（即不能控部分的极点均具有负实（即不能控部分的极点均具有负实部），则系统一定是状态反馈可镇定的。部），则系统一定是状态反馈可镇定的

40、。 (3)(3)线性定常系统线性定常系统不完全能控不完全能控，但不能控部分是不但不能控部分是不稳定的稳定的（即不能控部分的极点具有非负实部），（即不能控部分的极点具有非负实部），则系统一定不能通过状态反馈镇定。则系统一定不能通过状态反馈镇定。总复习：现代控制理论59三、三、 系统的极点配置系统的极点配置结论结论6.4：利用状态反馈任意配置闭环极点的充利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。分必要条件是被控系统可控。 注：注：若系统不完全能控即不满足上述结论条件，若系统不完全能控即不满足上述结论条件，但系统不能控部分特征值属于期望闭环特征值，但系统不能控部分特征值属于期望闭环特

41、征值，那么仍能配置系统的全部闭环极点。那么仍能配置系统的全部闭环极点。总复习：现代控制理论60 给定给定n维受控系统维受控系统(A,b)和一组任意期望闭环特和一组任意期望闭环特征值征值 , 要确定要确定(1n)维的反馈增益向量维的反馈增益向量k,使闭环系统矩阵使闭环系统矩阵(A-bk)的特征值为的特征值为 。*12,n *12,n 12nkkkk设设(1) 计算期望的特征多项式：计算期望的特征多项式：*1*1110( )()()nnnnssssss总复习：现代控制理论61(2) 用待定系数计算闭环系统的特征多项式：用待定系数计算闭环系统的特征多项式：1110( )det( I)nnnssA b

42、ksss (3) 由下列由下列n个方程计算反馈矩阵个方程计算反馈矩阵k的元素：的元素：*11221100nnnn，系统完全能控，单输入系统的极点配系统完全能控，单输入系统的极点配置有唯一解；置有唯一解；系统不完全能控，若期望极点中包系统不完全能控，若期望极点中包含所有不能控极点，极点配置有解（可通过上述含所有不能控极点，极点配置有解（可通过上述通用的计算方法求出反馈增益阵通用的计算方法求出反馈增益阵K），），否则无解。否则无解。总复习：现代控制理论621110( )det ( I)nnnssAsss(1) 计算矩阵计算矩阵A的特征多项式的特征多项式:(2) 计算期望的特征多项式计算期望的特征多

43、项式:*12*1*110( )()()()nnnnsssssss(3) 计算计算(能控规范型能控规范型)反馈矩阵反馈矩阵 :*001111nnkk总复习：现代控制理论631kkP(6) 计算原系统的反馈增益阵：计算原系统的反馈增益阵：(4) 计算变换矩阵计算变换矩阵P:1111111111111 1nnnnnnPAbAb bb AbAb(5) 计算计算P- -1：总复习：现代控制理论64矩阵的循环性矩阵的循环性循环矩阵定义：循环矩阵定义：矩阵矩阵A的特征多项式等于其最小多项式的特征多项式等于其最小多项式循环矩阵性质：循环矩阵性质：结论结论6.5：当且仅当矩阵当且仅当矩阵A的约当规范形中的约当规范形中相应于每个相应于每个不同特征值仅有不同特征值仅有一个一个约当小块时约当小块时，矩阵，矩阵A为循环矩阵。为循环矩阵。结论结论6.6：若系统矩阵若系统矩阵A的的n个特征值个特征值两两互异两两互异，则矩阵，则矩阵A为循环矩阵为循环矩阵。总复习：现代控制理论65结论结论6.11：对完全能控对完全能控n维单输入单输出线性时不维单输入单输出线性时不变系统，